Лемниската Бута | это... Что такое Лемниската Бута? (original) (raw)

Лемниската Бута — плоская алгебраическая кривая четвёртого порядка, частный случай кривой Персея. Названа в честь Джеймса Бута.

Уравнение в прямоугольных декартовых координатах:

(x^2 + y ^2)^2 - (2m^2 + c)x^2 + (2m^2 - c)y^2 = 0.

Виды

Форма кривой зависит от соотношения между параметрами и . Если c > 2m^2 , то уравнение лемнискаты принимает вид

(x^2 + y ^2)^2 = a^2x^2 + b^2y^2 , где a^2 = 2m^2 + c и b^2 = c - 2m^2.

В этом случае лемниската Бута является подерой эллипса относительно его центра и называется эллиптической. Её уравнение в полярных координатах имеет вид

$\rho^2 = a^2cos^2 \phi + b^2sin^2\phi.$

Если c < 2m^2 , то уравнение лемнискаты принимает вид

(x^2 + y ^2)^2 = a^2x^2 - b^2y^2 , где a^2 = 2m^2 + c и b^2 = 2m^2 - c.

В этом случае лемниската Бута является подерой гиперболы относительно её центра и называется гиперболической. Её уравнение в полярных координатах имеет вид

$\rho^2 = a^2cos^2 \phi - b^2sin^2\phi.$

Частные случаи

Свойства

Площадь

С помощью полярного уравнения лемнискаты можно определить площадь, которую она ограничивает. Для эллиптической лемнискаты:

$2\int\limits_0^\frac{\pi}{2} (a^2cos^2\phi + b^2sin^2\phi) d\phi = \frac{\pi}{2}(a^2+b^2).$

Для гиперболической лемнискаты:

$\int\limits_0^{arctg\frac{a}{b}} (a^2cos^2\phi - b^2sin^2\phi) d\phi = \frac{a^2 - b^2}{2}arctg\frac{a}{b} + \frac{ab}{2}.$

См. также

Литература

А. А. Савелов Кривые Персея // Плоские кривые: систематика, свойства, применение / под ред. А. П. Нордена. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1960. — С. 144—146. — 294 с.
Математическая энциклопедия / под. ред. И. М. Виноградова. — «Советская энциклопедия», 1977. — Т. 1. — С. 566.
Weisstein, Eric W. Hippopede (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Courbe de Booth (фр.)

Кривые
Определения	Аналитическая • Жордана • Канторова • Урысона • Овал • Спрямляемая Радиус кривизны
Преобразованные	Эволюта • Эвольвента • Подера • Антиподера • Параллельная • Дуальная • Каустика
Неплоские	Винтовая линия • Линия откоса • Локсодрома • Ортодромия • Губка
Плоские алгебраические
Конические сечения	Гипербола • Парабола • Эллипс (Окружность)
3-й порядок	Эллиптические: Эллиптическая кривая • Функции Якоби • Интеграл • Функции Другие: Верзьера Аньези • Декартов лист • Кубика • Полукубическая парабола • Строфоида • Циссоида Диокла
Лемнискаты	Бернулли (Овал Кассини) • Бута • Жероно
Аппроксимационные	Сплайн (B-сплайн • Кубический • Моносплайн • Эрмита) • Безье
Циклоидальные	Кардиоида • Нефроида • Дельтоида • Астроида • Улитка Паскаля
Плоские трансцендентные
Спирали	Архимедова (Ферма) • Гиперболическая • «Жезл» • Клотоида • Логарифмическая
Циклоидальные	Циклоида • Эпициклоида • Гипоциклоида • Трохоида (Удлинённая + Укороченная циклоида) • Эпитрохоида (Удлинённая + Укороченная эпициклоида • («Роза») • Гипотрохоида • Скорейшего спуска (Брахистохрона, дуга циклоиды)
Другие	Квадратриса • Погони (Трактриса) • Трохоида • Цепная линия (перевёрнутая арочная) • Постоянной ширины • Синусоида
Фрактальные
Простые	Коха • Леви • Минковского • Пеано
Топологические	Салфетка + Ковёр Серпинского • Губка Менгера