Овал Кассини | это... Что такое Овал Кассини? (original) (raw)

Овалы Кассини (a=0.6c, 0.8c, c, 1.2c, 1.4c, 1.6c)

Овал Кассини — геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату некоторого числа .

Частным случаем овала Кассини при фокусном расстоянии равном является Лемниската Бернулли. Сам овал является лемнискатой с двумя фокусами.

Кривая была придумана астрономом Джовании Кассини. Он ошибочно считал, что она точнее определяет орбиту Земли, чем эллипс [1]. Хотя эту линию называют овалом Кассини, она не всегда овальна (см. ниже — Особенности формы).

Кривая постоянной суммы расстояний между двумя точками — эллипс, постоянного отношения — окружность Аполлония, постоянной разности — гипербола.

Уравнения

Расстояние между фокусами .

В прямоугольных координатах:

$\textstyle (x^2+y^2)^2-2c^2(x^2-y^2)=a^4-c^4$

Вывод
Фокусы — и . Возьмём произвольную точку , найдём расстояние от фокусов до неё и приравняем его к : $\textstyle \sqrt{(x+c)^2+y^2}\cdot\sqrt{(x-c)^2+y^2}=a^2$ Возводим в квадрат обе части равенства: $\textstyle \Big((x+c)^2+y^2\Big)\cdot\Big( (x-c)^2+y^2\Big)=a^4$ Раскрываем скобки в левой части: $\textstyle (x^2-c^2)^2+y^4+2y^2(x^2+c^2)=a^4$ Раскрываем скобки, свёртываем новый квадрат суммы и выносим общий множитель: $\textstyle (x^2+y^2)^2-2c^2(x^2-y^2)=a^4-c^4$

Вывод

Фокусы —

. Возьмём произвольную точку M(x;y)

, найдём расстояние от фокусов до неё и приравняем его к a^2

: $\textstyle \sqrt{(x+c)^2+y^2}\cdot\sqrt{(x-c)^2+y^2}=a^2$ Возводим в квадрат обе части равенства: $\textstyle \Big((x+c)^2+y^2\Big)\cdot\Big( (x-c)^2+y^2\Big)=a^4$ Раскрываем скобки в левой части: $\textstyle (x^2-c^2)^2+y^4+2y^2(x^2+c^2)=a^4$ Раскрываем скобки, свёртываем новый квадрат суммы и выносим общий множитель: $\textstyle (x^2+y^2)^2-2c^2(x^2-y^2)=a^4-c^4$

Явное уравнение в прямоугольных координатах:

$\textstyle y=\pm\sqrt{\sqrt{a^4+4c^2x^2}-x^2-c^2}$

Вывод
$\textstyle (x^2+y^2)^2-2c^2(x^2-y^2)=a^4-c^4$ Возводим в квадрат и раскрываем скобки: $\textstyle x^4+2x^{2}y^2+y^4-2c^{2}x^2+2c^{2}y^2=a^4-c^4$ Приводим к виду $\textstyle y^4+2y^{2}(x^2+c^2)+x^4-2c^{2}x^2-a^4+c^4=0$ Это квадратное уравнение относительно . Решив его, получим $\textstyle y^2=-(x^2+c^2)\pm\sqrt{a^4+4x^{2}c^2}$ Взяв корень и отбросив вариант с отрицательным вторым слагаемым, получим: $\textstyle y=\pm\sqrt{\sqrt{a^4+4x^2 c^2}-x^2-c^2}$ где положительный вариант определяет верхнюю половину кривой, отрицательный — нижнюю.

Вывод

$\textstyle (x^2+y^2)^2-2c^2(x^2-y^2)=a^4-c^4$ Возводим в квадрат и раскрываем скобки: $\textstyle x^4+2x^{2}y^2+y^4-2c^{2}x^2+2c^{2}y^2=a^4-c^4$ Приводим к виду $\textstyle y^4+2y^{2}(x^2+c^2)+x^4-2c^{2}x^2-a^4+c^4=0$ Это квадратное уравнение относительно y^2

. Решив его, получим $\textstyle y^2=-(x^2+c^2)\pm\sqrt{a^4+4x^{2}c^2}$ Взяв корень и отбросив вариант с отрицательным вторым слагаемым, получим: $\textstyle y=\pm\sqrt{\sqrt{a^4+4x^2 c^2}-x^2-c^2}$ где положительный вариант определяет верхнюю половину кривой, отрицательный — нижнюю.

В полярной системе координат:

$\rho^4-2c^2\rho^2\cos{2\varphi}=a^4-c^4$

Вывод
$\textstyle (x^2+y^2)^2-2c^2(x^2-y^2)=a^4-c^4$ Используя формулы перехода к полярной системе координат $x=\rho\cos\varphi,\,y=\rho\sin\varphi,$ получим: $\Big(\rho^2\cos^{2}\varphi+\rho^2\sin^{2}\varphi\Big)^2-2c^2\Big(\rho^2\cos^2\varphi-\rho^2\sin^2\varphi\Big)=a^4-c^4$ Выносим общие множители и используем тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ : $\textstyle\rho^4-2c^2\rho^2(cos^2\varphi-\sin^2\varphi)=a^4-c^4$ Используем ещё одно тождество: $\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = cos 2\alpha$ : $\textstyle\rho^4-2c^2 \rho^2\cos 2\varphi=a^4-c^4$

Вывод

$\textstyle (x^2+y^2)^2-2c^2(x^2-y^2)=a^4-c^4$ Используя формулы перехода к полярной системе координат $x=\rho\cos\varphi,\,y=\rho\sin\varphi,$ получим: $\Big(\rho^2\cos^{2}\varphi+\rho^2\sin^{2}\varphi\Big)^2-2c^2\Big(\rho^2\cos^2\varphi-\rho^2\sin^2\varphi\Big)=a^4-c^4$ Выносим общие множители и используем тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ : $\textstyle\rho^4-2c^2\rho^2(cos^2\varphi-\sin^2\varphi)=a^4-c^4$ Используем ещё одно тождество: $\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = cos 2\alpha$ : $\textstyle\rho^4-2c^2 \rho^2\cos 2\varphi=a^4-c^4$

Особенности формы

Меняется параметр

В уравнении кривой содержатся два независимых параметра: — половина расстояния между фокусами и — произведение расстояний от фокусов до любой точки кривой. С точки зрения формы наиболее существенно отношение параметров, а не их величины, которые при неизменном отношении определяют лишь размер фигуры. Можно выделить шесть разновидностей формы в зависимости от величины отношения $\textstyle\frac{c}{a}$ :

Кривая вырождается в две точки, которые совпадают с фокусами. При $c\to\infty$ форма кривой стремится к двум точкам.

Кривая распадается на два отдельных овала, каждый из которых вытянут в направлении другого и по форме напоминает яйцо.

Правая часть уравнения в прямоугольных координатах (см. выше) обращается в ноль, и кривая становится лемнискатой Бернулли.

У кривой появляются четыре симметричные точки перегиба (по одной в каждой координатной четверти). Кривизна в точках пересечения с осью стремится к нулю, когда стремится к и к бесконечности, когда стремится к $c\sqrt{2}$ .

Кривая становится овалом, то есть выпуклой замкнутой кривой.

По мере увеличения (то есть стремления отношения $\textstyle\frac{c}{a}$ к нулю) кривая стремится к окружности радиуса . Если c=0 , то отношение $\textstyle\frac{c}{a}$ достигает нуля, и в этом случае кривая вырождается в окружность.

Свойства

Чёрная окружность — множество максимумов и минимумов; синяя лемниската — множество точек перегиба

Овал Кассини — алгебраическая кривая четвёртого порядка.
Она симметрична относительно середины отрезка между фокусами.
При $0<a< c\sqrt{2}$ имеет два абсолютных максимума и два минимума:

$\begin{cases}x=\pm\frac{\sqrt{4c^4-a^4}}{2c} \\ y=\pm\frac{a^2}{2c}\end{cases}$

Геометрическое место точек абсолютных максимумов и минимумов — окружность радиуса с центром в середине отрезка между фокусами.

При $c<a\leqslant c\sqrt{2}$ кривая имеет четыре точки перегиба. Их полярные координаты:

$\begin{cases}\rho=\sqrt[4]{\frac{a^4-c^4}{3}} \\ \cos 2\varphi =-\sqrt{\frac{1}{3}\left (\frac{a^4}{c^4}-1\right )}\end{cases}$

Геометрическое место точек перегиба — лемниската с вершинами $\left (0;\pm c\right )$ .

Радиус кривизны для представления в полярных координатах:

$R=\frac{a^2\rho}{\rho^2+c^2\cos{2\varphi}}=\frac{2a^2\rho^3}{c^4-a^4+3\rho^4}$

См. также

Литература

Математическая энциклопедия (в 5-и томах), Москва, «Советская Энциклопедия», 1982, т. 2 Д-Коо, стр. 759.
Маркушевич А. И. Замечательные кривые, Популярные лекции по математике, выпуск 4, Гостехиздат 1952 г., 32 стр.

Примечания

↑ Космические овалы Кассини Е. Скляревский

Кривые
Определения	Аналитическая • Жордана • Канторова • Урысона • Овал • Спрямляемая Радиус кривизны
Преобразованные	Эволюта • Эвольвента • Подера • Антиподера • Параллельная • Дуальная • Каустика
Неплоские	Винтовая линия • Линия откоса • Локсодрома • Ортодромия • Губка
Плоские алгебраические
Конические сечения	Гипербола • Парабола • Эллипс (Окружность)
3-й порядок	Эллиптические: Эллиптическая кривая • Функции Якоби • Интеграл • Функции Другие: Верзьера Аньези • Декартов лист • Кубика • Полукубическая парабола • Строфоида • Циссоида Диокла
Лемнискаты	Бернулли (Овал Кассини) • Бута • Жероно
Аппроксимационные	Сплайн (B-сплайн • Кубический • Моносплайн • Эрмита) • Безье
Циклоидальные	Кардиоида • Нефроида • Дельтоида • Астроида • Улитка Паскаля
Плоские трансцендентные
Спирали	Архимедова (Ферма) • Гиперболическая • «Жезл» • Клотоида • Логарифмическая
Циклоидальные	Циклоида • Эпициклоида • Гипоциклоида • Трохоида (Удлинённая + Укороченная циклоида) • Эпитрохоида (Удлинённая + Укороченная эпициклоида • («Роза») • Гипотрохоида • Скорейшего спуска (Брахистохрона, дуга циклоиды)
Другие	Квадратриса • Погони (Трактриса) • Трохоида • Цепная линия (перевёрнутая арочная) • Постоянной ширины • Синусоида
Фрактальные
Простые	Коха • Леви • Минковского • Пеано
Топологические	Салфетка + Ковёр Серпинского • Губка Менгера