Cardinal number (original) (raw)
V matematice se pojem kardinální číslo, někdy též kardinál, pojí s čísly používanými pro popis velikosti množin. Jelikož se matematika zabývá i nekonečnými objekty, kardinální čísla a mohutnosti množin popisují i nekonečné množiny.
| Property | Value | ||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| dbo:abstract | V matematice se pojem kardinální číslo, někdy též kardinál, pojí s čísly používanými pro popis velikosti množin. Jelikož se matematika zabývá i nekonečnými objekty, kardinální čísla a mohutnosti množin popisují i nekonečné množiny. (cs) En matemàtiques, els nombres cardinals, o senzillament cardinals, són els nombres usats per a expressar la quantitat d'elements d'un conjunt. En el cas dels conjunts finits els nombres cardinal són els nombres naturals: 0, 1, 2, 3, 4, ... En llengua es distingeix els cardinals dels ordinals que s'utilitzen per indicar l'ordre: primer, segon, tercer ... A partir de la teoria de conjunts establerta per Georg Cantor, les matemàtiques, generalitzen els nombres naturals incorporant els cardinals transfinits per expressar les diferents mides dels conjunts amb infinits elements. La cardinalitat mesura el nombre d'elements d'un conjunt X i es denota amb alguna de les notacions següents: card(X), #X o bé |X | . Per exemple, si A és un conjunt amb 5 elements, escriurem card(A)=5, #A=5 o bé | A | =5. Pels denotar cardinals transfinits s'utilitza la lletra àlef La seqüència dels nombres cardinals és: Per comparar les mides dels conjunts s'utilitza el concepte de funció bijectiva. Es considera que dos conjunts tenen la mateixa cardinalitat si existeix una correspondència 1 a 1 entre els elements dels dos conjunts, llavors es diu que són equipotents. Utilitzant aquesta noció Georg Cantor va establir la moderna teoria de conjunts i en particular el seu teorema fonamental que demostra que el conjunt dels nombres reals és "més gran" que el conjunt dels nombres naturals , tot i ser infinits ambdós. Amb aquest concepte de cardinalitat pot succeir que un subconjunt propi d'un conjunt infinit tingui la mateixa cardinalitat que el conjunt original cosa que no pot passar amb els subconjunts propis de conjunts finits. Per exemple: dins el conjunt dels nombres naturals (sense el zero) , podem considerar el subconjunt dels nombres parells , com que podem establir una correspondència 1 a 1 entre cada natural i el seu doble, els dos conjunts tenen la mateixa cardinalitat (ca) Kardinalzahlen (lat. numeri cardinales „vorzügliche Zahlen“, „Hauptzahlen“) sind in der Mathematik eine Verallgemeinerung der natürlichen Zahlen zur Beschreibung der Mächtigkeit (oder auch Kardinalität) von Mengen. Die Mächtigkeit einer endlichen Menge ist stets eine natürliche Zahl, nämlich die Anzahl der Elemente in der Menge. Der Mathematiker Georg Cantor, der Begründer der Mengenlehre, beschrieb, wie man dieses Konzept innerhalb der Mengenlehre auf unendliche Mengen verallgemeinern und wie man mit unendlichen Kardinalzahlen rechnen kann. Unendliche Mengen können unterschiedliche Mächtigkeiten haben. Diese werden mit dem Symbol (Aleph, dem ersten Buchstaben des hebräischen Alphabets), und einem (anfangs ganzzahligen) Index bezeichnet. Die Mächtigkeit der natürlichen Zahlen , die kleinste Unendlichkeit, ist in dieser Schreibweise . Eine natürliche Zahl kann für zwei Zwecke benutzt werden: zum einen, um die Anzahl der Elemente einer endlichen Menge zu beschreiben, und zum anderen, um die Position eines Elements in einer endlich-geordneten Menge anzugeben. Während diese beiden Konzepte für endliche Mengen übereinstimmen, muss man sie für unendliche Mengen unterscheiden. Die Beschreibung der Position in einer geordneten Menge führt zum Begriff der Ordinalzahl, während die Größenangabe zu Kardinalzahlen führt, die hier beschrieben sind. (de) الأعداد الأصلية هي تعميم لمفهوم الأعداد الطبيعية مستعمل لقياس أصلية المجموعات في الرياضيات. وأصل المجموعة المنتهية هو عدد طبيعي: عدد العناصر في المجموعة. والعدد الأصلي فوق المنتهي تصف أحجام مجموعة غير منتهية. (ar) Στα μαθηματικά, οι πληθικοί αριθμοί , ή πληθάριθμοι για συντομία, είναι μια γενίκευση των φυσικών αριθμών που χρησιμοποιούνται για να μετρήσουν την πληθικότητα (μέγεθος) των συνόλων. Η πληθικότητα ενός πεπερασμένου συνόλου είναι ένας φυσικός αριθμός: ο αριθμός των στοιχείων του συνόλου.Οι άπειροι πληθικοί αριθμοί περιγράφουν τα μεγέθη των άπειρων συνόλων. Η πληθικότητα ορίζεται με βάση συναρτήσεις που είναι . Δύο σύνολα έχουν την ίδια πληθικότητα, αν, και μόνο αν, υπάρχει μια ένα-προς-ένα και επί αντιστοιχία (αμφίεση) μεταξύ των στοιχείων των δύο συνόλων. Στην περίπτωση των πεπερασμένων συνόλων, αυτό συμφωνεί με τη διαισθητική έννοια του μεγέθους. Στην περίπτωση άπειρων συνόλων, η συμπεριφορά είναι πιο περίπλοκη. Το θεμελιώδες θεώρημα του Georg Cantor δείχνει ότι είναι δυνατόν άπειρα σύνολα να έχουν διαφορετικές πληθικότητες, και ιδίως η πληθικότητα του συνόλου των πραγματικών αριθμών είναι μεγαλύτερη από την πληθικότητα του συνόλου των φυσικών αριθμών. Είναι επίσης δυνατό ένα κατάλληλο υποσύνολο ενός απείρου συνόλου να έχει την ίδια πληθικότητα με το αρχικό σύνολο, κάτι που δεν μπορεί να συμβεί με την κατάλληλα υποσύνολα των πεπερασμένων συνόλων. Υπάρχει μια άπειρη ακολουθία πληθικών αριθμών: Αυτή η ακολουθία αρχίζει με τους φυσικούς αριθμούς συμπεριλαμβανομένου του μηδενός (πεπερασμένοι πληθάριθμοι), τους οποίους ακολουθούν οι aleph αριθμοί (άπειροι πληθάριθμοι των καλά διατεταγμένων συνόλων). Οι aleph αριθμοί περιέχονται στους διατακτικούς αριθμούς. Υπό την παραδοχή ότι ισχύει το αξίωμα της επιλογής, αυτή η άπειρη ακολουθία περιλαμβάνει κάθε πληθικό αριθμό. Αν κάποιος απορρίψει αυτό το αξίωμα, η κατάσταση είναι πιο περίπλοκη, με επιπλέον άπειρους πληθικούς αριθμούς, πέραν των alephs. Η πληθικότητα μελετάται ως μέρος της θεωρίας συνόλων. Είναι επίσης ένα εργαλείο που χρησιμοποιείται σε κλάδους των μαθηματικών, συμπεριλαμβανομένων των θεωρία μοντέλων, συνδυαστική ανάλυση, αφηρημένη άλγεβρα, μαθηματική ανάλυση. Οι πληθικοί αριθμοί αποτελούν τον σκελετό στην θεωρία κατηγοριών. (el) In mathematics, cardinal numbers, or cardinals for short, are a generalization of the natural numbers used to measure the cardinality (size) of sets. The cardinality of a finite set is a natural number: the number of elements in the set. The transfinite cardinal numbers, often denoted using the Hebrew symbol (aleph) followed by a subscript, describe the sizes of infinite sets. Cardinality is defined in terms of bijective functions. Two sets have the same cardinality if, and only if, there is a one-to-one correspondence (bijection) between the elements of the two sets. In the case of finite sets, this agrees with the intuitive notion of size. In the case of infinite sets, the behavior is more complex. A fundamental theorem due to Georg Cantor shows that it is possible for infinite sets to have different cardinalities, and in particular the cardinality of the set of real numbers is greater than the cardinality of the set of natural numbers. It is also possible for a proper subset of an infinite set to have the same cardinality as the original set—something that cannot happen with proper subsets of finite sets. There is a transfinite sequence of cardinal numbers: This sequence starts with the natural numbers including zero (finite cardinals), which are followed by the aleph numbers (infinite cardinals of well-ordered sets). The aleph numbers are indexed by ordinal numbers. Under the assumption of the axiom of choice, this transfinite sequence includes every cardinal number. If one rejects that axiom, the situation is more complicated, with additional infinite cardinals that are not alephs. Cardinality is studied for its own sake as part of set theory. It is also a tool used in branches of mathematics including model theory, combinatorics, abstract algebra and mathematical analysis. In category theory, the cardinal numbers form a skeleton of the category of sets. (en) Zenbaki kardinala multzo bat osatzen duten elementu kantitatea adierazten duen zenbakia da, kantitate hori finitua edo infinitua izanda. Izan bedi A multzoa. A multzoa finitua dela esango dugu A = ∅ bada edo existitzen bada n ∈ N zeinentzako A multzoa eta {1,...,n} multzoa ekipotenteak diren. Multzo hutsaren kardinala 0 dela diogu, eta bestelako kasuan, n horri A-ren kardinala esaten zaio, eta a | A | = Card(A) = n gisa adieraziko dugu. A multzo infinitua dela diogu finitua ez bada. (eu) El cardinal indica el número o cantidad de elementos de un conjunto, sea esta cantidad finita o infinita. Los números cardinales constituyen una generalización interesante del concepto de número natural, permitiendo comparar la cantidad de elementos de conjuntos infinitos. Dado un conjunto , el cardinal de este conjunto se simboliza mediante , , o . Por ejemplo, si A tiene 3 elementos, el cardinal se indica así: | A | = 3. (es) En linguistique, les nombres entiers naturels zéro, un, deux, trois, etc. s’appellent des adjectifs numéraux cardinaux. En théorie des ensembles, le nombre cardinal ou cardinal d'un ensemble E (fini ou infini) est, intuitivement, le « nombre » d'éléments lui appartenant. On peut définir formellement ce « nombre » comme la classe de tous les ensembles équipotents à E (c'est-à-dire en bijection avec E), ou, de manière fort différente, comme le plus petit ordinal équipotent à E. (fr) Bilangan kardinal adalah sebuah bilangan yang menunjukkan sebuah kuantitas. Bilangan ini digunakan untuk menyatakan hitungan dalam menghitung benda, menghitung umur, menghitung waktu, menghitung anggota suatu himpunan, dan lain-lain. Bilangan-bilangan tersebut seperti 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 dan seterusnya. Bilangan ini pertama kali ditemukan oleh Georg Cantor pada tahun 1874. (in) 数学において基数（きすう、cardinal number または cardinal）とは、集合の濃度（cardinality、大きさ、サイズ）を測るために定義された自然数の一般化である。有限集合の濃度つまり有限集合の要素の個数は自然数で表される。無限集合の濃度が一つではないことはゲオルク・カントールによって示された。基数は、集合論で活発に研究されている。また、組合せ論や抽象代数学、解析学を含めた数学の各分野の道具としても使われる。圏論では、基数は集合の圏の を形成する。 (ja) 수학에서 기수(基數, 영어: cardinal number)는 집합의 크기를 나타내는 수이다. 유한 집합의 크기는 자연수로 나타내어지는데, 이를 무한 집합에 대하여 일반화한 개념이다. 무한 집합의 진부분집합은 자신이 포함된 집합 전체와 같은 크기를 가질 수도 있다. 모든 무한 집합이 같은 크기를 갖는 것은 아니며, 무한히 많은 서로 다른 크기의 무한 집합들이 있다. (ko) In matematica, i numeri cardinali sono una generalizzazione dei numeri naturali e sono utilizzati per indicare la grandezza di un insieme. Mentre per gli insiemi finiti la grandezza è indicata da un numero naturale, e cioè il numero di elementi, i numeri cardinali (la cardinalità) classificano oltre a questi anche diversi tipi di infinito. Da un lato è possibile che un sottoinsieme proprio di un insieme infinito abbia la stessa cardinalità dell'insieme che lo contiene, d'altra parte non è detto che tutti gli insiemi infiniti abbiano la stessa grandezza. Esiste una caratterizzazione formale di come alcuni insiemi infiniti siano più piccoli di altri insiemi infiniti. Il concetto di cardinalità è utilizzato in molte branche della matematica, ed è anche studiato nella teoria degli insiemi, particolarmente per descrivere le proprietà dei . (it) In de wiskunde is een kardinaalgetal (kort kardinaal), of machtigheid, een veralgemening van een natuurlijk getal die gebruikt wordt om de kardinaliteit (grootte) van een verzameling weer te geven. De kardinaliteit van een eindige verzameling is een natuurlijk getal, namelijk het aantal elementen in de verzameling. De transfiniete kardinaalgetallen beschrijven de groottes van oneindige verzamelingen. Twee verzamelingen met dezelfde kardinaliteit, eindig of oneindig, heten gelijkmachtig. (nl) O cardinal indica o número ou quantidade dos elementos constituintes de um conjunto. É interessante destacar que se diferencia do ordinal, porque o ordinal introduz ordem e dá ideia de hierarquia: Primeiro, segundo, terceiro, etc. O cardinal, por sua vez, nomeia o número de elementos constituintes e esse é o nome do conjunto correspondente. Para a nomenclatura destes números ver nomes dos números. Os numerais podem ser cardinais ou ordinais. O número cardinal é aquele que expressa uma quantidade única, enquanto o número ordinal indica a ordem ou a série em que determinado número se encontra. Em geral, aprendemos e nos acomodamos tão facilmente a passar do ponto de vista cardinal para o ordinal que quase não distinguimos mais essa diferença. Num exemplo simples: o mês de setembro é composto de 30 dias. O número 30 indica o total, a quantidade absoluta, de dias desse mês. Trata-se, portanto, de um número cardinal. Porém, empregamos outro ponto de vista quando dizemos "dia 30 de outubro". Nesse caso o número 30 não está sendo usado para indicar os 30 dias do mês, mas o trigésimo dia de outubro, especificando o seu lugar na ordem de sucessão dos dias desse mês, explicando uma ordem. Trata-se, então, de uma utilização ordinal. Dado um conjunto A, o cardinal deste conjunto é simbolizado por | A | Por exemplo: Se A tem 3 elementos o cardinal indica-se | A | = 3 Existe uma relação entre o cardinal de um conjunto e o conjunto de partes ou conjunto potência: Onde | P(A) | é o cardinal do conjunto de partes. Os números cardinais de alguns conjuntos representam-se com símbolos especiais: * O cardinal dos números reais: card = c (contínuo) * O cardinal dos números naturais: card = (alef-0) A teoria dos conjuntos define rigorosamente o que significa e e, em consequência, os demais símbolos de comparação; por exemplo: * quando existe uma bijeção entre A e B * quando existe uma função injetiva de A para B O teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder mostra que, se e então Ao se considerar os axiomas de Zermelo-Fraenkel com o axioma da escolha, pode-se provar que, se A e B são conjuntos, então Junto com o teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder,qualquer conjunto formado por cardinais é bem ordenado, o que permite escrever qualquer cardinal infinito da forma sendo um ordinal. A hipótese do continuum diz que c (cardinal dos números reais) é igual a e sua negação diz que existe um conjunto X tal que (pt) Kardinaltal är ett begrepp inom mängdteorin, och betecknar antalet element i en mängd. Det är ett sätt att generalisera talbegreppet. Ibland skriver man lodstreck kring mängden för att beteckna antalet element (kardinaliteten). | M | är alltså antalet element i M. (sv) Кардинальним числом (кардиналом) в теорії множин називається об'єкт, який характеризує потужність множини. Кардинальне число деякої множини позначається як або . Георг Кантор давав таке визначення кардинального числа: "Потужністю даної множини А називається та загальна ідея, яка залишається у нас, коли ми, мислячи про цю множину, відволікаємося як від всіх властивостей її елементів, так і від їх порядку".Для скінченної множини A кардинальним числом | A | є натуральне число, яким позначається кількість елементів цієї множини. Для нескінченних множин кардинальне число є узагальненням поняття числа елементів. Хоча кардинальні числа нескінченних множин не мають відображення в натуральних числах, але їх можна порівнювати: Нехай A і B нескінченні множини, тоді логічно можливі такі чотири випадки: 1. * Існує взаємно однозначна відповідність між A і B, тобто A ~ B і | A |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/Bijection.svg?width=300 | ||||||||||||||||||
| dbo:wikiPageExternalLink | https://archive.org/details/georgcantorhisma0000daub | ||||||||||||||||||
| dbo:wikiPageID | 6173 (xsd:integer) | ||||||||||||||||||
| dbo:wikiPageLength | 26430 (xsd:nonNegativeInteger) | ||||||||||||||||||
| dbo:wikiPageRevisionID | 1124870393 (xsd:integer) | ||||||||||||||||||
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Cardinality_of_the_continuum dbr:Cartesian_product dbr:Power_set dbr:Principia_Mathematica dbr:Proper_class dbr:Proper_subset dbr:Model_theory dbr:New_Foundations dbr:Von_Neumann_cardinal_assignment dbr:Beth_number dbr:Paul_Halmos dbr:Dedekind-infinite_set dbr:Cantor–Bernstein–Schroeder_theorem dbr:Cardinal_number_(linguistics) dbr:Easton's_theorem dbr:Infinite_set dbr:Commutative dbr:Countable_set dbr:Mathematical_analysis dbr:Mathematics dbr:Nominal_number dbr:One-to-one_correspondence dbr:Ordinal_numbers dbr:Class_(set_theory) dbr:Empty_function dbr:Function_(mathematics) dbr:Generalized_continuum_hypothesis dbr:Georg_Cantor dbr:Bounded_set dbr:Continuum_hypothesis dbr:Logic dbr:Bijective dbr:Combinatorics dbr:Zermelo–Fraenkel_set_theory dbr:Ordered_pair dbr:Successor_ordinal dbr:Axiom_of_limitation_of_size dbr:Axiomatic_set_theory dbr:Category_of_sets dbr:Transfinite_sequence dbr:Type_theory dbr:Disjoint_sets dbr:Hartogs_number dbr:Large_cardinal dbr:Aleph_(Hebrew) dbr:Aleph_null dbr:Aleph_number dbr:Algebraic_number dbr:Dana_Scott dbr:Finite_set dbr:Cardinality dbr:Hilbert's_paradox_of_the_Grand_Hotel dbr:Rank_(set_theory) dbr:Regular_cardinal dbr:Hans_Hahn_(mathematician) dbr:Hebrew dbr:Hebrew_alphabet dbr:Counting dbr:Paul_Cohen_(mathematician) dbr:Arithmetic dbr:Abstract_algebra dbc:Cardinal_numbers dbr:Bijection dbr:Cofinality dbr:Transfinite_number dbr:ZFC dbr:Distributivity dbr:Axiom_of_choice dbr:Inclusion–exclusion_principle dbr:Injective_function dbr:Kurt_Gödel dbr:König's_theorem_(set_theory) dbr:Natural_number dbr:Natural_numbers dbr:Associative dbr:Ordinal_number dbr:Cantor's_diagonal_argument dbr:Cantor's_paradox dbr:Category_theory dbr:Rational_number dbr:Real_number dbr:Set_(mathematics) dbr:Set_theory dbr:Map_(mathematics) dbr:Skeleton_(category_theory) dbr:Union_(set_theory) dbr:Nested_intervals dbr:Naive_Set_Theory_(book) dbr:Injective dbr:Topological_space dbr:Well-ordering_principle dbr:Transfinite_cardinal_numbers dbr:Springer-Verlag dbr:Bijective_function dbr:Counting_number dbr:If,_and_only_if dbr:Dedekind-finite dbr:Dedekind-infinite dbr:Cardinal_invariant dbr:Names_of_numbers_in_English dbr:On_a_Property_of_the_Collection_of_All_Real_Algebraic_Numbers dbr:Well-ordering dbr:File:Bijection.svg dbr:File:Aleph0.svg | ||||||||||||||||||
| dbp:id | p/c020370 (en) | ||||||||||||||||||
| dbp:title | Cardinal number (en) | ||||||||||||||||||
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Springer dbt:Set_theory dbt:About dbt:Citation dbt:Cite_book dbt:Details dbt:Div_col dbt:Div_col_end dbt:Portal dbt:Reflist dbt:Short_description dbt:Isbn dbt:Mathematical_logic dbt:Number_systems | ||||||||||||||||||
| dcterms:subject | dbc:Cardinal_numbers | ||||||||||||||||||
| rdfs:comment | V matematice se pojem kardinální číslo, někdy též kardinál, pojí s čísly používanými pro popis velikosti množin. Jelikož se matematika zabývá i nekonečnými objekty, kardinální čísla a mohutnosti množin popisují i nekonečné množiny. (cs) الأعداد الأصلية هي تعميم لمفهوم الأعداد الطبيعية مستعمل لقياس أصلية المجموعات في الرياضيات. وأصل المجموعة المنتهية هو عدد طبيعي: عدد العناصر في المجموعة. والعدد الأصلي فوق المنتهي تصف أحجام مجموعة غير منتهية. (ar) Zenbaki kardinala multzo bat osatzen duten elementu kantitatea adierazten duen zenbakia da, kantitate hori finitua edo infinitua izanda. Izan bedi A multzoa. A multzoa finitua dela esango dugu A = ∅ bada edo existitzen bada n ∈ N zeinentzako A multzoa eta {1,...,n} multzoa ekipotenteak diren. Multzo hutsaren kardinala 0 dela diogu, eta bestelako kasuan, n horri A-ren kardinala esaten zaio, eta a |A | = Card(A) = n gisa adieraziko dugu. A multzo infinitua dela diogu finitua ez bada. (eu) El cardinal indica el número o cantidad de elementos de un conjunto, sea esta cantidad finita o infinita. Los números cardinales constituyen una generalización interesante del concepto de número natural, permitiendo comparar la cantidad de elementos de conjuntos infinitos. Dado un conjunto , el cardinal de este conjunto se simboliza mediante , , o . Por ejemplo, si A tiene 3 elementos, el cardinal se indica así: | A | = 3. (es) En linguistique, les nombres entiers naturels zéro, un, deux, trois, etc. s’appellent des adjectifs numéraux cardinaux. En théorie des ensembles, le nombre cardinal ou cardinal d'un ensemble E (fini ou infini) est, intuitivement, le « nombre » d'éléments lui appartenant. On peut définir formellement ce « nombre » comme la classe de tous les ensembles équipotents à E (c'est-à-dire en bijection avec E), ou, de manière fort différente, comme le plus petit ordinal équipotent à E. (fr) Bilangan kardinal adalah sebuah bilangan yang menunjukkan sebuah kuantitas. Bilangan ini digunakan untuk menyatakan hitungan dalam menghitung benda, menghitung umur, menghitung waktu, menghitung anggota suatu himpunan, dan lain-lain. Bilangan-bilangan tersebut seperti 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 dan seterusnya. Bilangan ini pertama kali ditemukan oleh Georg Cantor pada tahun 1874. (in) 数学において基数（きすう、cardinal number または cardinal）とは、集合の濃度（cardinality、大きさ、サイズ）を測るために定義された自然数の一般化である。有限集合の濃度つまり有限集合の要素の個数は自然数で表される。無限集合の濃度が一つではないことはゲオルク・カントールによって示された。基数は、集合論で活発に研究されている。また、組合せ論や抽象代数学、解析学を含めた数学の各分野の道具としても使われる。圏論では、基数は集合の圏の を形成する。 (ja) 수학에서 기수(基數, 영어: cardinal number)는 집합의 크기를 나타내는 수이다. 유한 집합의 크기는 자연수로 나타내어지는데, 이를 무한 집합에 대하여 일반화한 개념이다. 무한 집합의 진부분집합은 자신이 포함된 집합 전체와 같은 크기를 가질 수도 있다. 모든 무한 집합이 같은 크기를 갖는 것은 아니며, 무한히 많은 서로 다른 크기의 무한 집합들이 있다. (ko) In de wiskunde is een kardinaalgetal (kort kardinaal), of machtigheid, een veralgemening van een natuurlijk getal die gebruikt wordt om de kardinaliteit (grootte) van een verzameling weer te geven. De kardinaliteit van een eindige verzameling is een natuurlijk getal, namelijk het aantal elementen in de verzameling. De transfiniete kardinaalgetallen beschrijven de groottes van oneindige verzamelingen. Twee verzamelingen met dezelfde kardinaliteit, eindig of oneindig, heten gelijkmachtig. (nl) Kardinaltal är ett begrepp inom mängdteorin, och betecknar antalet element i en mängd. Det är ett sätt att generalisera talbegreppet. Ibland skriver man lodstreck kring mängden för att beteckna antalet element (kardinaliteten). | M | är alltså antalet element i M. (sv) 在日常交流中，基數或量數是對應量詞的數，例如「一顆蘋果」中的「一」。與序數相對，序數是對應排列的數，例如「第一名」中的「一」及「二年級」中的「二」。 在數學上，基數或势，即集合中包含的元素的「个数」（參見势的比较），是日常交流中基數的概念在數學上的精確化（並使之不再受限於有限情形）。有限集合的基數，其意義與日常用語中的「基數」相同，例如的基數是3。無限集合的基數，其意義在於比較兩個集的大小，例如整數集和有理數集的基數相同；整數集的基數比實數集的小。 (zh) En matemàtiques, els nombres cardinals, o senzillament cardinals, són els nombres usats per a expressar la quantitat d'elements d'un conjunt. En el cas dels conjunts finits els nombres cardinal són els nombres naturals: 0, 1, 2, 3, 4, ... En llengua es distingeix els cardinals dels ordinals que s'utilitzen per indicar l'ordre: primer, segon, tercer ... A partir de la teoria de conjunts establerta per Georg Cantor, les matemàtiques, generalitzen els nombres naturals incorporant els cardinals transfinits per expressar les diferents mides dels conjunts amb infinits elements. (ca) Kardinalzahlen (lat. numeri cardinales „vorzügliche Zahlen“, „Hauptzahlen“) sind in der Mathematik eine Verallgemeinerung der natürlichen Zahlen zur Beschreibung der Mächtigkeit (oder auch Kardinalität) von Mengen. Die Mächtigkeit einer endlichen Menge ist stets eine natürliche Zahl, nämlich die Anzahl der Elemente in der Menge. Der Mathematiker Georg Cantor, der Begründer der Mengenlehre, beschrieb, wie man dieses Konzept innerhalb der Mengenlehre auf unendliche Mengen verallgemeinern und wie man mit unendlichen Kardinalzahlen rechnen kann. (de) Στα μαθηματικά, οι πληθικοί αριθμοί , ή πληθάριθμοι για συντομία, είναι μια γενίκευση των φυσικών αριθμών που χρησιμοποιούνται για να μετρήσουν την πληθικότητα (μέγεθος) των συνόλων. Η πληθικότητα ενός πεπερασμένου συνόλου είναι ένας φυσικός αριθμός: ο αριθμός των στοιχείων του συνόλου.Οι άπειροι πληθικοί αριθμοί περιγράφουν τα μεγέθη των άπειρων συνόλων. Υπάρχει μια άπειρη ακολουθία πληθικών αριθμών: (el) In mathematics, cardinal numbers, or cardinals for short, are a generalization of the natural numbers used to measure the cardinality (size) of sets. The cardinality of a finite set is a natural number: the number of elements in the set. The transfinite cardinal numbers, often denoted using the Hebrew symbol (aleph) followed by a subscript, describe the sizes of infinite sets. There is a transfinite sequence of cardinal numbers: (en) In matematica, i numeri cardinali sono una generalizzazione dei numeri naturali e sono utilizzati per indicare la grandezza di un insieme. Mentre per gli insiemi finiti la grandezza è indicata da un numero naturale, e cioè il numero di elementi, i numeri cardinali (la cardinalità) classificano oltre a questi anche diversi tipi di infinito. (it) O cardinal indica o número ou quantidade dos elementos constituintes de um conjunto. É interessante destacar que se diferencia do ordinal, porque o ordinal introduz ordem e dá ideia de hierarquia: Primeiro, segundo, terceiro, etc. O cardinal, por sua vez, nomeia o número de elementos constituintes e esse é o nome do conjunto correspondente. Para a nomenclatura destes números ver nomes dos números. Os numerais podem ser cardinais ou ordinais. O número cardinal é aquele que expressa uma quantidade única, enquanto o número ordinal indica a ordem ou a série em que determinado número se encontra. (pt) Кардинальним числом (кардиналом) в теорії множин називається об'єкт, який характеризує потужність множини. Кардинальне число деякої множини позначається як або . Георг Кантор давав таке визначення кардинального числа: "Потужністю даної множини А називається та загальна ідея, яка залишається у нас, коли ми, мислячи про цю множину, відволікаємося як від всіх властивостей її елементів, так і від їх порядку".Для скінченної множини A кардинальним числом | A | є натуральне число, яким позначається кількість елементів цієї множини. (uk) | |||||||||||
| rdfs:label | Cardinal number (en) عدد أصلي (ar) Nombre cardinal (ca) Kardinální číslo (cs) Kardinalzahl (Mathematik) (de) Πληθικός αριθμός (el) Zenbaki kardinal (eu) Número cardinal (es) Bilangan kardinal (in) Nombre cardinal (fr) Numero cardinale (it) 基数 (ja) 기수 (수학) (ko) Kardinaalgetal (nl) Número cardinal (pt) Kardinaltal (sv) 基数 (数学) (zh) Кардинальне число (uk) | ||||||||||||||||||
| owl:sameAs | freebase:Cardinal number wikidata:Cardinal number dbpedia-ar:Cardinal number dbpedia-az:Cardinal number http://bn.dbpedia.org/resource/অঙ্কবাচক_সংখ্যা dbpedia-ca:Cardinal number dbpedia-cs:Cardinal number dbpedia-cy:Cardinal number dbpedia-da:Cardinal number dbpedia-de:Cardinal number dbpedia-el:Cardinal number dbpedia-es:Cardinal number dbpedia-et:Cardinal number dbpedia-eu:Cardinal number dbpedia-fa:Cardinal number dbpedia-fr:Cardinal number dbpedia-gl:Cardinal number dbpedia-he:Cardinal number dbpedia-hu:Cardinal number http://hy.dbpedia.org/resource/Կարդինալ_թվեր dbpedia-id:Cardinal number dbpedia-io:Cardinal number dbpedia-is:Cardinal number dbpedia-it:Cardinal number dbpedia-ja:Cardinal number dbpedia-ko:Cardinal number dbpedia-lmo:Cardinal number dbpedia-mk:Cardinal number dbpedia-nl:Cardinal number dbpedia-nn:Cardinal number dbpedia-no:Cardinal number dbpedia-pt:Cardinal number dbpedia-ro:Cardinal number http://scn.dbpedia.org/resource/Nùmmaru_cardinali dbpedia-simple:Cardinal number dbpedia-sk:Cardinal number dbpedia-sl:Cardinal number dbpedia-sr:Cardinal number dbpedia-sv:Cardinal number dbpedia-tr:Cardinal number dbpedia-uk:Cardinal number dbpedia-vi:Cardinal number dbpedia-zh:Cardinal number https://global.dbpedia.org/id/cgcF | ||||||||||||||||||
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Cardinal_number?oldid=1124870393&ns=0 | ||||||||||||||||||
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/Aleph0.svg wiki-commons:Special:FilePath/Bijection.svg | ||||||||||||||||||
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Cardinal_number | ||||||||||||||||||
| is dbo:wikiPageDisambiguates of | dbr:Cardinal | ||||||||||||||||||
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Cardinal_arithmetic dbr:Cardinal_multiplication dbr:Cardinal_Number dbr:Cardinal_addition dbr:Cardinal_numbers dbr:Aleph_exponentiation dbr:Cardinal_(mathematics) dbr:Cardinal_exponentiation dbr:Cardinal_scale dbr:Cardinal_sum | ||||||||||||||||||
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Cantor's_paradise dbr:Cardinal_arithmetic dbr:Cardinal_multiplication dbr:Cardinality_of_the_continuum dbr:Prüfer_group dbr:Quenya dbr:Schröder–Bernstein_theorem dbr:List_of_first-order_theories dbr:Mirsky's_theorem dbr:Model_theory dbr:New_Foundations dbr:Lévy_hierarchy dbr:Löwenheim_number dbr:Ulam_matrix dbr:Von_Neumann_cardinal_assignment dbr:Slovene_numerals dbr:Basis_(linear_algebra) dbr:Bench_language dbr:Bertrand_Russell's_philosophical_views dbr:Degeneracy_(graph_theory) dbr:Algebraic_closure dbr:Almost_disjoint_sets dbr:HyperTalk dbr:John_von_Neumann dbr:Beth_number dbr:Beyond_Infinity_(mathematics_book) dbr:Riesz_space dbr:Ultrafilter_(set_theory) dbr:De_Bruijn–Erdős_theorem_(graph_theory) dbr:Degree_of_a_field_extension dbr:Cardinal dbr:Cardinal_Number dbr:Cardinal_addition dbr:Cardinal_numbers dbr:Descriptive_set_theory dbr:Easton's_theorem dbr:Inclusion_order dbr:Index_of_a_subgroup dbr:Infinitary_combinatorics dbr:Infinite_set dbr:Infinity_plus_one dbr:Invariant_(mathematics) dbr:Kuratowski's_free_set_theorem dbr:Number dbr:Von_Neumann_algebra dbr:Levantine_Arabic_grammar dbr:Limit_cardinal dbr:Limit_ordinal dbr:Lindelöf_space dbr:List_of_letters_used_in_mathematics_and_science dbr:List_of_mathematical_logic_topics dbr:List_of_set_theory_topics dbr:Transfinite_induction dbr:Romanian_numbers dbr:Strong_cardinal dbr:Constructivism_(philosophy_of_mathematics) dbr:Continuum_(set_theory) dbr:Ancestral_relation dbr:Andamanese_languages dbr:Mathematical_constant dbr:Mathematical_logic dbr:Measurable_cardinal dbr:Saharon_Shelah dbr:Esperanto_grammar dbr:Noetherian_ring dbr:Normal_function dbr:Numbering_scheme dbr:Opus_number dbr:Timeline_of_mathematical_logic dbr:Timeline_of_mathematics dbr:1895_in_science dbr:From_Here_to_Infinity_(book) dbr:Georg_Cantor dbr:Gimel_function dbr:Glossary_of_category_theory dbr:Glossary_of_group_theory dbr:Glossary_of_history dbr:Glossary_of_mathematical_symbols dbr:Glossary_of_set_theory dbr:Graph_(discrete_mathematics) dbr:Multiplication dbr:Multiset dbr:Naive_set_theory dbr:Concrete_category dbr:Conjecture dbr:Continuum_function dbr:Continuum_hypothesis dbr:Critical_point_(set_theory) dbr:Epsilon_number dbr:Equinumerosity dbr:Equivalents_of_the_Axiom_of_Choice dbr:Erdős–Dushnik–Miller_theorem dbr:Milner–Rado_paradox dbr:Aristotelian_realist_philosophy_of_mathematics dbr:Arity dbr:Aronszajn_tree dbr:Baumgartner's_axiom dbr:Lycian_language dbr:Löwenheim–Skolem_theorem dbr:Caliber_(mathematics) dbr:Sindarin dbr:Club_filter dbr:Club_set dbr:Clubsuit dbr:Commensurability_(economics) dbr:Compactness_theorem dbr:Complete_Boolean_algebra dbr:Dense_set dbr:Zermelo–Fraenkel_set_theory dbr:Zero_sharp dbr:Functional_analysis dbr:Orthonormal_basis dbr:PCF_theory dbr:Paradoxes_of_set_theory dbr:Pocket_set_theory dbr:Proper_forcing_axiom dbr:Mahlo_cardinal dbr:Successor_cardinal dbr:Superstrong_cardinal dbr:Suslin_cardinal dbr:Mathematics,_Form_and_Function dbr:Axiom_of_limitation_of_size dbr:Bulgarian_language dbr:Actual_infinity dbr:Additively_indecomposable_ordinal dbr:Admissible_ordinal dbr:Total_order dbr:Date_and_time_notation_in_the_Czech_Republic dbr:Welfare_economics dbr:Well-order dbr:Where_Mathematics_Comes_From dbr:Dixit–Stiglitz_model dbr:Dozen dbr:Hartogs_number dbr:Hedgehog_space dbr:Jónsson_cardinal dbr:Jónsson_function dbr:Large_cardinal dbr:Law_of_trichotomy dbr:Linear_map dbr:Logistic_regression dbr:Shelah_cardinal dbr:Stability_spectrum dbr:5 dbr:Acronym dbr:Addition dbr:Additive_inverse dbr:Akkadian_language dbr:Aleph_exponentiation dbr:Aleph_number dbr:Alfred_Tarski dbr:Analytic_philosophy dbr:Danish_language dbr:Date_and_time_notation_in_Hungary dbr:Date_and_time_notation_in_Mongolia dbr:East_Asian_age_reckoning dbr:Equivalence_relation dbr:Exponentiation dbr:Felix_Hausdorff dbr:First-order_logic dbr:Fraction dbr:Numeral_(linguistics) dbr:Cardinal_and_Ordinal_Numbers dbr:Cardinal_characteristic_of_the_continuum dbr:Cardinal_function dbr:Cardinal_numeral dbr:Cardinal_tree dbr:Cardinal_voting dbr:Cardinality dbr:Cecilia_Krieger dbr:Cichoń's_diagram dbr:Fodor's_lemma dbr:Formalism_(linguistics) dbr:Glossary_of_topology dbr:History_of_mathematical_notation dbr:Karel_Hrbáček dbr:Reflection_principle dbr:Regular_cardinal dbr:Group_structure_and_the_axiom_of_choice dbr:Haven_(graph_theory) dbr:Hebrew_alphabet dbr:Hilbert_space dbr:Jack_Silver dbr:Counting dbr:Coupling_from_the_past dbr:Hyperreal_number dbr:Jech–Kunen_tree dbr:Set_theory_of_the_real_line dbr:Abelian_group dbr:Absoluteness dbr:Abstract_elementary_class dbr:Accessible_category dbr:Chinese_numerals dbr:Johannes_de_Groot dbr:Kappa dbr:Lagrange's_theorem_(group_theory) dbr:Latin_numerals dbr:Bijection dbr:Surjective_function dbr:Cofinality dbr:Collapsing_algebra dbr:Collectively_exhaustive_events dbr:Tav_(number) dbr:Tensor_product_of_Hilbert_spaces dbr:Transfinite_number dbr:Weakly_compact_cardinal dbr:Woodin_cardinal dbr:Remarkable_cardinal dbr:Diamond_principle dbr:Dimension_theorem_for_vector_spaces dbr:Axiom_of_choice dbr:Axiom_of_determinacy dbr:Axiom_schema_of_replacement dbr:Bornology dbr:Pigeonhole_principle dbr:Free_Boolean_algebra dbr:Free_abelian_group dbr:Free_lattice dbr:Huge_cardinal dbr:Hume's_principle dbr:Inaccessible_cardinal dbr:Ineffable_cardinal dbr:Infinitesimal dbr:Infinity dbr:Infinity_(philosophy) dbr:Infinity_symbol dbr:Injective_function dbr:König's_theorem_(set_theory) dbr:Minimum_overlap_problem dbr:Natural_number dbr:Okurigana dbr:Old_Irish_grammar dbr:Operation_(mathematics) dbr:Ordinal_number dbr:Cantor's_diagonal_argument dbr:Cantor's_paradox dbr:Categorical_theory dbr:Category_of_modules dbr:Real_number dbr:Chang's_model dbr:Semiring dbr:Set_theory dbr:Rowbottom_cardinal dbr:Sania dbr:Singular_cardinals_hypothesis dbr:Singular dbr:Skeleton_(category_theory) dbr:Unfoldable_cardinal dbr:Ramsey_cardinal dbr:Saturated_model dbr:Expected_utility_hypothesis dbr:Extendible_cardinal dbr:Implementation_of_mathematics_in_set_theory dbr:List_of_theorems dbr:List_of_types_of_numbers dbr:Rule_of_product dbr:Finitism dbr:First_uncountable_ordinal dbr:Nakamura_number dbr:Scott–Potter_set_theory dbr:Morse–Kelley_set_theory dbr:Polyadic_space dbr:Vectorial_Mechanics dbr:Set-theoretic_definition_of_natural_numbers dbr:Simple_theorems_in_the_algebra_of_sets dbr:Singapore_Armed_Forces_ranks dbr:Proleptic_Julian_calendar dbr:Outline_of_logic dbr:Outline_of_mathematics dbr:Shrewd_cardinal dbr:Subquotient dbr:Subset dbr:Tychonoff_cube dbr:Sylvester_Medal dbr:Stationary_set dbr:Wait-for_graph dbr:Uncountable_set dbr:Tangut_numerals dbr:Worldly_cardinal dbr:Cardinal_(mathematics) dbr:Cardinal_exponentiation dbr:Cardinal_scale dbr:Cardinal_sum | ||||||||||||||||||
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Cardinal_number |
