Binomial coefficient (original) (raw)
Kombinační číslo je matematická funkce, která udává počet kombinací, tzn. způsobů, jak vybrat -prvkovou podmnožinu z -prvkové množiny ( a jsou čísla přirozená). Kombinační čísla zapisujeme (čte se „n nad k“), někdy se používá také značení , či . Hodnotu kombinačních čísel lze vyjádřit pomocí faktoriálu: Platí rovnost Kombinační čísla se používají hlavně v kombinatorice, velice důležité je využití v binomické větě (přičemž je zde označováno jako binomický koeficient), v Leibnizově pravidle nebo při výpočtu pravděpodobnosti v binomickém rozdělení.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | En matemàtiques, un coeficient binomial és qualsevol dels coeficients dels termes del polinomi que resulta de desenvolupar el binomi de Newton, és a dir del desenvolupament de . El coeficient del terme -èsim d'aquest polinomi, quan és el grau del polinomi, s'escriu , que es llegeix com " sobre ". Per tant El seu valor és on significa el factorial de . També podem escriure Si es disposen aquests coeficients binomials en files centrades per successius valors de , començant per i de manera que en aquestes files els valors de variïn entre i , s'obté l'anomenat triangle de Pascal (o triangle de Tartaglia, o triangle aritmètic), que pot generar-se recursivament de manera molt senzilla, ja que cada coeficient és la suma dels dos que te a sobre. (ca) Kombinační číslo je matematická funkce, která udává počet kombinací, tzn. způsobů, jak vybrat -prvkovou podmnožinu z -prvkové množiny ( a jsou čísla přirozená). Kombinační čísla zapisujeme (čte se „n nad k“), někdy se používá také značení , či . Hodnotu kombinačních čísel lze vyjádřit pomocí faktoriálu: Platí rovnost Kombinační čísla se používají hlavně v kombinatorice, velice důležité je využití v binomické větě (přičemž je zde označováno jako binomický koeficient), v Leibnizově pravidle nebo při výpočtu pravděpodobnosti v binomickém rozdělení. (cs) في الرياضيات، معاملات ذات الحدين هي أعداد صحيحة موجبة تظهر معاملاتٍ في مبرهنة ذو الحدين. يعرف بالنسبة لعددين صحيحين n وk ويرمز إليه عادة ب ، و يعطى بالصيغة مثلا: حيث ، إلخ... (ar) Στα μαθηματικά, οι διωνυμικοί συντελεστές είναι μια οικογένεια θετικών ακεραίων αριθμών που προκύπτουν ως συντελεστές στο διωνυμικό θεώρημα. Ένας διωνυμικός συντελεστής αναπροσαρμόζεται από δύο φυσικούς αριθμούς n και k, που συνήθως γράφονται και είναι ο συντελεστής του x k όρου στην πολυωνυμική διεύρυνση της διωνυμικής δύναμης (1 + x) n. Υπό κατάλληλες συνθήκες, η τιμή του συντελεστή δίνεται από την έκφραση . Η διάταξη των διωνυμικών συντελεστών σε σειρές διαδοχικών τιμών του n, όπου το k κυμαίνεται από το 0 έως το n, δίνει μια τριγωνική διάταξη που ονομάζεται τρίγωνο του Πασκάλ. Αυτή η οικογένεια αριθμών προκύπτει και σε πολλούς άλλους τομείς των μαθηματικών πέραν της άλγεβρας, ειδικά στην Συνδυαστική. συχνά προφέρεται ως "n ανά k», επειδή υπάρχουν τρόποι για να επιλεγούν k στοιχεία από ένα σύνολο n στοιχείων. Οι ιδιότητες των διωνυμικών συντελεστών έχουν ως συνέπεια την επέκταση της έννοιας του συμβόλου πέραν από τη βασική περίπτωση όπου οι n και k είναι φυσικοί αριθμοί, στο γενικότερο k ≤ n. Τέτοιες εκφράσεις εξακολουθούν να ονομάζονται διωνυμικοί συντελεστές. Ο συμβολισμός εισήχθη από τον το 1826, αν και οι αριθμοί αυτοί ήταν ήδη γνωστοί αιώνες πριν (βλέπε τρίγωνο του Πασκάλ). Η αρχαιότερη γνωστή λεπτομερή αναφορά στους διωνυμικούς συντελεστές είναι ένα σχόλιο του 10ου αιώνα, από τον Halayudha, σε ένα αρχαίο σανσκριτικό κείμενο, το Pingala's Chandaḥśāstra. Περίπου το 1150, ο Ινδός μαθηματικός Bhaskaracharya έκανε ένα εγχειρίδιο λειτουργίας των διωνυμικών συντελεστών στο τέταρτο κεφάλαιο της έκτης ενότητας του βιβλίου του Lilavati. Εναλλακτικές σημειογραφίες περιλαμβάνουν C(n, k), Cn,k , nCk , nCk , Ckn, Cnk, σε όλες τις οποίες το C σημαίνει συνδυασμοί ή επιλογές. Πολλοί υπολογιστές χρησιμοποιούν παρόμοιες παραλλαγές της σημειογραφίας C, ώστε να αναπαρασταθεί σε μια γραμμή οθόνης, κατά το δυνατόν. (el) En matematiko, binoma koeficiento aŭ duterma koeficiento aŭ simbolo de Newton (legu kiel "n inter k") estas funkcio de du argumentoj, malnegativaj entjeraj nombroj difinita kiel: kie n! signifas faktorialon. Valoron de simbolo de Newton oni povas esprimi per rikura formulo: Ĝi estas homologa al difino, do oni povas uzi kiel alian difinon de binoma koeficiento. Binoma koeficiento aperas en binomo de Newton kiel koeficiento en k-nomo de n-potenca disvolvo de binomo de Newton. Simbolo de Newton estas kvanto de n-eraj subaroj en k-era aro. (eo) In mathematics, the binomial coefficients are the positive integers that occur as coefficients in the binomial theorem. Commonly, a binomial coefficient is indexed by a pair of integers n ≥ k ≥ 0 and is written It is the coefficient of the xk term in the polynomial expansion of the binomial power (1 + x)n; this coefficient can be computed by the multiplicative formula which using factorial notation can be compactly expressed as For example, the fourth power of 1 + x is and the binomial coefficient is the coefficient of the x2 term. Arranging the numbers in successive rows for gives a triangular array called Pascal's triangle, satisfying the recurrence relation The binomial coefficients occur in many areas of mathematics, and especially in combinatorics. The symbol is usually read as "n choose k" because there are ways to choose an (unordered) subset of k elements from a fixed set of n elements. For example, there are ways to choose 2 elements from namely and The binomial coefficients can be generalized to for any complex number z and integer k ≥ 0, and many of their properties continue to hold in this more general form. (en) Der Binomialkoeffizient ist eine mathematische Funktion, mit der sich eine der Grundaufgaben der Kombinatorik lösen lässt. Er gibt an, auf wie viele verschiedene Arten man aus einer Menge von verschiedenen Objekten jeweils Objekte auswählen kann (ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge). Der Binomialkoeffizient ist also die Anzahl der -elementigen Teilmengen in der Potenzmenge einer -elementigen Grundmenge. „49 über 6“ in Deutschland bzw. „45 über 6“ in Österreich und der Schweiz ist z. B. die Anzahl der möglichen Ziehungen beim Lotto (ohne Berücksichtigung der Zusatzzahl). Ein Binomialkoeffizient hängt von zwei natürlichen Zahlen und ab. Er wird mit dem Symbol geschrieben und als „n über k“, „k aus n“ oder „n tief k“ gesprochen. Die englische Abkürzung nCr für n choose r findet sich als Beschriftung auf Taschenrechnern. Den Namen erhielten diese Zahlen, da sie als Koeffizienten in den Potenzen des Binoms auftreten; es gilt der sogenannte binomische Lehrsatz: Eine Erweiterung des aus der Kombinatorik stammenden Binomialkoeffizienten stellt der allgemeine Binomialkoeffizient dar, der in der Analysis verwendet wird. (de) Konbinatorian, koefiziente binomialak binomio bateko berreketa garatzen duten koefizienteak dira, Pascalen hirukia erabiliz. Honela definitzen dira: Adibidez: (eu) En mathématiques, les coefficients binomiaux, définis pour tout entier naturel n et tout entier naturel k inférieur ou égal à n, donnent le nombre de parties de k éléments dans un ensemble de n éléments. On les note (lu « k parmi n ») ou Ckn (lu « nombre de combinaisons de k parmi n »). Les deux notations sont préconisées par la norme ISO/CEI 80000-2:2009 : la première est celle du « coefficient binomial » (2-10.4) et la seconde celle du « nombre de combinaisons sans répétition » (2-10.6). Cette quantité s'exprime à l'aide de la fonction factorielle : . Les coefficients binomiaux interviennent dans de nombreux domaines des mathématiques : développement du binôme en algèbre, dénombrements, développement en série, lois de probabilités, etc. On peut les généraliser, sous certaines conditions, aux nombres complexes. (fr) En matemáticas, los coeficientes binomiales, números combinatorios o combinaciones son números estudiados en combinatoria que corresponden al número de formas en que se puede extraer subconjuntos a partir de un conjunto dado. Sin embargo, dependiendo del enfoque que tenga la exposición, se pueden usar otras definiciones equivalentes. (es) 数学における二項係数（にこうけいすう、英: binomial coefficients）は二項展開において係数として現れる正の整数の族である。二項係数は二つの非負整数で添字付けられ、添字 n, k を持つ二項係数はふつう とか (n¦k) と書かれる（これは二項冪 (1 + x)n の展開における xk の項の係数である。適当な仮定の下で、この係数の値は で与えられる）。二項係数を、連続する整数 n に対する各行に k を 0 から n まで順に並べて得られる三角形状の数の並びをパスカルの三角形と呼ぶ。 この整数族は代数学のみならず数学の他の多くの分野、特に組合せ論において現れる。n-元集合から k-個の元を（その順番を無視して）選ぶ方法が 通りである。二項係数の性質を用いて、記号 の意味を、もともとの n および k が k ≤ n なる非負整数であった場合を超えて拡張することが可能で、そのような場合もやはり二項係数と称する。 (ja) In matematica, il coefficiente binomiale (che si legge " su ") è un numero intero non negativo definito dalla seguente formula dove è il fattoriale di . Può essere calcolato anche facendo ricorso al triangolo di Tartaglia. Esso fornisce il numero delle combinazioni semplici di elementi di classe . Per esempio: è il numero di combinazioni di elementi presi alla volta. (it) 조합론에서 이항 계수(二項係數, 영어: binomial coefficient)는 이항식을 이항 정리로 전개했을 때 각 항의 계수이며, 주어진 크기의 (순서 없는) 조합의 가짓수이다. (ko) Symbol Newtona, współczynnik dwumianowy (dwumienny) Newtona – funkcja dwóch argumentów całkowitych nieujemnych, zdefiniowana jako: dla gdzie oznacza silnię liczby całkowitej nieujemnej Symbol odczytuje się n nad k, n po k lub k z n. Symbol Newtona można równoważnie wyrazić wzorem rekurencyjnym: Symbol Newtona pojawia się we wzorze dwumiennym Newtona jako współczynnik w -tym wyrazie rozwinięcia -tej potęgi sumy dwu składników – stąd jego druga nazwa współczynnik dwumienny Newtona. (pl) Een binomiaalcoëfficiënt, geschreven als (spreek uit: n boven k of n over k) is een grootheid uit de combinatoriek die aangeeft op hoeveel manieren men uit (verschillende) objecten er zonder terugleggen kan kiezen. Zo'n mogelijke keuze heet combinatie of greep.Een binomiaalcoëfficiënt is gedefinieerd als het natuurlijke getal: en Omdat de keuze van objecten uit ook opgevat kan worden als de keuze objecten, eigenlijk de niet-gekozen objecten, moet gelijk zijn aan . En inderdaad volgt uit de definitie: (nl) O coeficiente binomial, também chamado de número binomial, de um número n, na classe k, consiste no número de combinações de n termos, k a k. O número binomial de um número n, na classe k, pode ser escrito como: (pt) Inom matematiken definieras binomialkoefficienten eller binomialtalet kombinatoriskt för det naturliga talet n och heltalet k som antalet oordnade urval av k olika element ur en mängd med n olika element, det vill säga antalet k-delmängder av en n-mängd. Det går att visa att detta är ekvivalent med för där '!' betecknar fakultet och för eller . Den sista likheten beror på att det inte går att välja ut ett negativt antal element ur en n-mängd och inte heller fler än n element. Denna algebraiska framställning generaliserades av Isaac Newton till en allmännare algebraisk definition, där för varje reellt tal a och varje naturligt tal k sätts . Senare har denna definition utvidgats, genom att a tillåts vara ett godtyckligt komplext tal. Binomialkoefficienterna är koefficienterna i utvecklingen av potenser av binomet : Denna utveckling är generaliserad genom den allmänna binomialsatsen, vilken tillåter att exponenten n är negativ eller till och med ett godtyckligt komplext tal. Binomialkoefficeinterna är också viktiga inom bland annat kombinatoriken och sannolikhetsteorin. (sv) Біноміальні коефіцієнти — коефіцієнти в розкладі по степенях (так званий біном Ньютона): Біноміальний коефіцієнт є узагальненням кількості невпорядкованих виборів , що визначена тільки для невід'ємних цілих чисел , , тобто та У явному вигляді для : , де та — факторіали чисел і . (uk) Биномиальный коэффициент — коэффициент перед членом разложения бинома Ньютона по степеням . Коэффициент при обозначается или и читается «биномиальный коэффициент из по » (или «число сочетаний из по »): для натуральных степеней . Биномиальные коэффициенты могут быть также определены для произвольных действительных показателей . В случае произвольного действительного числа биномиальные коэффициенты определяются как коэффициенты разложения выражения в бесконечный степенной ряд: , где в случае неотрицательных целых все коэффициенты при обращаются в нуль и поэтому данное разложение является конечной суммой. В комбинаторике биномиальный коэффициент для неотрицательных целых чисел и интерпретируется как количество сочетаний из по , то есть как количество всех (нестрогих) подмножеств (выборок) размера в -элементном множестве. Биномиальные коэффициенты часто возникают в задачах комбинаторики и теории вероятностей. Обобщением биномиальных коэффициентов являются мультиномиальные коэффициенты. (ru) 在數學上，二項式係數是二項式定理中各項的係數。一般而言，二項式係數由兩個非負整數 n 和 k 為參數決定，寫作 ，定義為 的多項式展開式中，項的係數，因此一定是非負整數。如果將二項式係數 寫成一行，再依照 順序由上往下排列，則構成帕斯卡三角形。 二項式係數常見於各數學領域中，尤其是組合數學。事實上，可以被理解為從個相異元素中取出個元素的方法數，所以 大多讀作「取」。二項式係數 的定義可以推廣至是複數的情況，而且仍然被稱為二項式係數。 (zh) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/Pascal's_triangle_5.svg?width=300 |
| dbo:wikiPageExternalLink | http://www.cecm.sfu.ca/organics/papers/granville/Binomial/toppage.html https://web.archive.org/web/20071118193434/http:/www.springer.com/east/home/generic/search/results%3FSGWID=5-40109-22-141358322-0 https://web.archive.org/web/20150923201436/http:/www.cecm.sfu.ca/organics/papers/granville/Binomial/toppage.html https://archive.org/details/concretemathemat00grah_444 https://archive.org/details/concretemathemat00grah_444/page/n165 https://archive.org/details/handbookofwritin0000high https://archive.org/details/handbookofwritin0000high/page/25 https://www.springer.com/east/home/generic/search/results%3FSGWID=5-40109-22-141358322-0 |
| dbo:wikiPageID | 4668 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 66001 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1123126930 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbc:Triangles_of_numbers dbr:Power_set dbr:Python_(programming_language) dbr:Sanskrit dbr:Scheme_(programming_language) dbr:SciPy dbr:Līlāvatī dbr:Macaulay_representation_of_an_integer dbr:Monomial dbr:Pascal's_rule dbr:Beta_function dbr:Binomial_(polynomial) dbr:Binomial_theorem dbr:David_Singmaster dbr:Derivative dbr:Hypergeometric_function dbr:Julia_(programming_language) dbr:Little_o_notation dbr:Permutation dbr:Delannoy_number dbr:Cardinal_Number dbr:Double_counting_(proof_technique) dbr:Integer-valued_polynomial dbr:Pochhammer_symbol dbc:Factorial_and_binomial_topics dbr:Mathematica dbr:Mathematical_induction dbr:Mathematics dbr:Maxima_(software) dbr:Ordinary_generating_function dbr:Star_of_David_theorem dbr:Q-analog dbr:Gamma_function dbr:Gaussian_binomial_coefficient dbr:German_tank_problem dbr:Greatest_common_divisor dbr:Multinomial_theorem dbr:Multiset dbr:Andreas_von_Ettingshausen dbr:MATLAB dbr:Sir_Isaac_Newton dbr:Statistics dbr:Stirling's_approximation dbr:Subroutine dbr:Combination dbr:Combinatorial_proof dbr:Combinatorics dbr:Commutative_ring dbr:Computer_terminal dbr:Zeckendorf's_theorem dbr:Halayudha dbr:String_(computer_science) dbr:Axiom_of_Choice dbr:C_(programming_language) dbr:Trigonometric_functions dbr:Trinomial_expansion dbr:Dixon's_identity dbr:Logarithmic_differentiation dbr:J_programming_language dbr:Al-Karaji dbr:Almost_all dbc:Combinatorics dbc:Integer_sequences dbr:Ernst_Kummer dbr:Euler's_formula dbr:Euler–Mascheroni_constant dbr:Exponential_generating_function dbr:Exponentiation dbr:Fibonacci_number dbr:Field_(mathematics) dbr:Finite_difference dbr:Finite_differences dbr:Formal_power_series dbr:Base_2 dbr:PARI/GP dbr:Partial_fraction_decomposition dbr:Partial_sum dbr:Pascal's_triangle dbr:Cardinality dbr:Central_binomial_coefficient dbr:Differential_equation dbr:Fractional_part dbr:Typewriter dbr:Recurrence_relation dbr:Recursion dbr:APL_programming_language dbr:Harmonic_number dbr:Java_(programming_language) dbr:Taylor_series dbr:Table_of_Newtonian_series dbc:Articles_with_example_C_code dbc:Articles_with_example_Python_(programming_language)_code dbr:Characteristic_(algebra) dbr:Binary_entropy_function dbr:Binomial_distribution dbr:Binomial_transform dbr:Bit dbc:Articles_with_example_Scheme_(programming_language)_code dbc:Operations_on_numbers dbr:Coefficient dbr:Hockey-stick_identity dbr:The_American_Mathematical_Monthly dbr:Pingala dbr:Polynomial dbr:Society_for_Industrial_and_Applied_Mathematics dbr:Integer dbr:Natural_logarithm dbr:Natural_number dbr:Catalan_number dbr:R_(programming_language) dbr:Radius_of_convergence dbr:Rational_number dbr:List_of_factorial_and_binomial_topics dbr:Mathematical_Association_of_America dbr:Series_(mathematics) dbr:Eulerian_number dbr:Factorial dbr:Programming_language dbr:Sun's_curious_identity dbr:Narayana_number dbr:Motzkin_number dbr:Polynomial_expansion dbr:Stirling_numbers_of_the_first_kind dbr:Series_multisection dbr:Chu–Vandermonde_identity dbr:Bhaskaracharya dbr:Falling_factorial dbr:Falling_factorial_power dbr:Bivariate_generating_function dbr:Pascal's_identity dbr:Closed_formula dbr:File:Pascal's_triangle_-_1000th_row.png dbr:Binomial_formula dbr:Multiplicities_of_entries_in_Pascal's_triangle dbr:File:Binomial_theorem_visualisation.svg dbr:File:Pascal's_triangle_5.svg |
| dbp:caption | Pascal's triangle, rows 0 through 7. Equation for is illustrated in rows 3 and 6 as (en) |
| dbp:id | p/b016410 (en) |
| dbp:title | Binomial Coefficient (en) Binomial coefficient is an integer (en) Binomial coefficients (en) Generalized binomial coefficients (en) Upper and lower bounds to binomial coefficient (en) |
| dbp:urlname | Binomialcoefficient (en) Generalizedbinomialcoefficients (en) Nchooserisaninteger (en) UpperandLowerBoundstoBinomialCoefficient (en) |
| dbp:width | 395 (xsd:integer) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Springer dbt:Citation dbt:Cite_book dbt:Cite_journal dbt:Div_col dbt:Div_col_end dbt:Harv dbt:Image_frame dbt:Main dbt:Math dbt:Mvar dbt:NumBlk dbt:Redirect dbt:Refbegin dbt:Refend dbt:Reflist dbt:Rp dbt:See_also dbt:Short_description dbt:Tmath dbt:Why dbt:EquationRef dbt:EquationNote dbt:Diagonal_split_header dbt:Pascal_triangle_extended.svg dbt:SilverC dbt:PlanetMath_attribution |
| dct:subject | dbc:Triangles_of_numbers dbc:Factorial_and_binomial_topics dbc:Combinatorics dbc:Integer_sequences dbc:Articles_with_example_C_code dbc:Articles_with_example_Python_(programming_language)_code dbc:Articles_with_example_Scheme_(programming_language)_code dbc:Operations_on_numbers |
| rdf:type | owl:Thing yago:WikicatTrianglesOfNumbers yago:WikicatSpecialFunctions yago:Abstraction100002137 yago:Arrangement107938773 yago:Attribute100024264 yago:DefiniteQuantity113576101 yago:Figure113862780 yago:Function113783816 yago:Group100031264 yago:Integer113728499 yago:MathematicalRelation113783581 yago:Measure100033615 yago:Number113582013 yago:Ordering108456993 yago:PlaneFigure113863186 yago:Polygon113866144 yago:Polynomial105861855 yago:Relation100031921 yago:WikicatIntegerSequences yago:WikicatIntegers yago:Sequence108459252 yago:Series108457976 yago:Shape100027807 yago:Triangle113879320 yago:WikicatPolynomials |
| rdfs:comment | Kombinační číslo je matematická funkce, která udává počet kombinací, tzn. způsobů, jak vybrat -prvkovou podmnožinu z -prvkové množiny ( a jsou čísla přirozená). Kombinační čísla zapisujeme (čte se „n nad k“), někdy se používá také značení , či . Hodnotu kombinačních čísel lze vyjádřit pomocí faktoriálu: Platí rovnost Kombinační čísla se používají hlavně v kombinatorice, velice důležité je využití v binomické větě (přičemž je zde označováno jako binomický koeficient), v Leibnizově pravidle nebo při výpočtu pravděpodobnosti v binomickém rozdělení. (cs) في الرياضيات، معاملات ذات الحدين هي أعداد صحيحة موجبة تظهر معاملاتٍ في مبرهنة ذو الحدين. يعرف بالنسبة لعددين صحيحين n وk ويرمز إليه عادة ب ، و يعطى بالصيغة مثلا: حيث ، إلخ... (ar) En matematiko, binoma koeficiento aŭ duterma koeficiento aŭ simbolo de Newton (legu kiel "n inter k") estas funkcio de du argumentoj, malnegativaj entjeraj nombroj difinita kiel: kie n! signifas faktorialon. Valoron de simbolo de Newton oni povas esprimi per rikura formulo: Ĝi estas homologa al difino, do oni povas uzi kiel alian difinon de binoma koeficiento. Binoma koeficiento aperas en binomo de Newton kiel koeficiento en k-nomo de n-potenca disvolvo de binomo de Newton. Simbolo de Newton estas kvanto de n-eraj subaroj en k-era aro. (eo) Konbinatorian, koefiziente binomialak binomio bateko berreketa garatzen duten koefizienteak dira, Pascalen hirukia erabiliz. Honela definitzen dira: Adibidez: (eu) En matemáticas, los coeficientes binomiales, números combinatorios o combinaciones son números estudiados en combinatoria que corresponden al número de formas en que se puede extraer subconjuntos a partir de un conjunto dado. Sin embargo, dependiendo del enfoque que tenga la exposición, se pueden usar otras definiciones equivalentes. (es) 数学における二項係数（にこうけいすう、英: binomial coefficients）は二項展開において係数として現れる正の整数の族である。二項係数は二つの非負整数で添字付けられ、添字 n, k を持つ二項係数はふつう とか (n¦k) と書かれる（これは二項冪 (1 + x)n の展開における xk の項の係数である。適当な仮定の下で、この係数の値は で与えられる）。二項係数を、連続する整数 n に対する各行に k を 0 から n まで順に並べて得られる三角形状の数の並びをパスカルの三角形と呼ぶ。 この整数族は代数学のみならず数学の他の多くの分野、特に組合せ論において現れる。n-元集合から k-個の元を（その順番を無視して）選ぶ方法が 通りである。二項係数の性質を用いて、記号 の意味を、もともとの n および k が k ≤ n なる非負整数であった場合を超えて拡張することが可能で、そのような場合もやはり二項係数と称する。 (ja) In matematica, il coefficiente binomiale (che si legge " su ") è un numero intero non negativo definito dalla seguente formula dove è il fattoriale di . Può essere calcolato anche facendo ricorso al triangolo di Tartaglia. Esso fornisce il numero delle combinazioni semplici di elementi di classe . Per esempio: è il numero di combinazioni di elementi presi alla volta. (it) 조합론에서 이항 계수(二項係數, 영어: binomial coefficient)는 이항식을 이항 정리로 전개했을 때 각 항의 계수이며, 주어진 크기의 (순서 없는) 조합의 가짓수이다. (ko) Symbol Newtona, współczynnik dwumianowy (dwumienny) Newtona – funkcja dwóch argumentów całkowitych nieujemnych, zdefiniowana jako: dla gdzie oznacza silnię liczby całkowitej nieujemnej Symbol odczytuje się n nad k, n po k lub k z n. Symbol Newtona można równoważnie wyrazić wzorem rekurencyjnym: Symbol Newtona pojawia się we wzorze dwumiennym Newtona jako współczynnik w -tym wyrazie rozwinięcia -tej potęgi sumy dwu składników – stąd jego druga nazwa współczynnik dwumienny Newtona. (pl) Een binomiaalcoëfficiënt, geschreven als (spreek uit: n boven k of n over k) is een grootheid uit de combinatoriek die aangeeft op hoeveel manieren men uit (verschillende) objecten er zonder terugleggen kan kiezen. Zo'n mogelijke keuze heet combinatie of greep.Een binomiaalcoëfficiënt is gedefinieerd als het natuurlijke getal: en Omdat de keuze van objecten uit ook opgevat kan worden als de keuze objecten, eigenlijk de niet-gekozen objecten, moet gelijk zijn aan . En inderdaad volgt uit de definitie: (nl) O coeficiente binomial, também chamado de número binomial, de um número n, na classe k, consiste no número de combinações de n termos, k a k. O número binomial de um número n, na classe k, pode ser escrito como: (pt) Біноміальні коефіцієнти — коефіцієнти в розкладі по степенях (так званий біном Ньютона): Біноміальний коефіцієнт є узагальненням кількості невпорядкованих виборів , що визначена тільки для невід'ємних цілих чисел , , тобто та У явному вигляді для : , де та — факторіали чисел і . (uk) 在數學上，二項式係數是二項式定理中各項的係數。一般而言，二項式係數由兩個非負整數 n 和 k 為參數決定，寫作 ，定義為 的多項式展開式中，項的係數，因此一定是非負整數。如果將二項式係數 寫成一行，再依照 順序由上往下排列，則構成帕斯卡三角形。 二項式係數常見於各數學領域中，尤其是組合數學。事實上，可以被理解為從個相異元素中取出個元素的方法數，所以 大多讀作「取」。二項式係數 的定義可以推廣至是複數的情況，而且仍然被稱為二項式係數。 (zh) En matemàtiques, un coeficient binomial és qualsevol dels coeficients dels termes del polinomi que resulta de desenvolupar el binomi de Newton, és a dir del desenvolupament de . El coeficient del terme -èsim d'aquest polinomi, quan és el grau del polinomi, s'escriu , que es llegeix com " sobre ". Per tant El seu valor és on significa el factorial de . També podem escriure (ca) Der Binomialkoeffizient ist eine mathematische Funktion, mit der sich eine der Grundaufgaben der Kombinatorik lösen lässt. Er gibt an, auf wie viele verschiedene Arten man aus einer Menge von verschiedenen Objekten jeweils Objekte auswählen kann (ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge). Der Binomialkoeffizient ist also die Anzahl der -elementigen Teilmengen in der Potenzmenge einer -elementigen Grundmenge. „49 über 6“ in Deutschland bzw. „45 über 6“ in Österreich und der Schweiz ist z. B. die Anzahl der möglichen Ziehungen beim Lotto (ohne Berücksichtigung der Zusatzzahl). (de) Στα μαθηματικά, οι διωνυμικοί συντελεστές είναι μια οικογένεια θετικών ακεραίων αριθμών που προκύπτουν ως συντελεστές στο διωνυμικό θεώρημα. Ένας διωνυμικός συντελεστής αναπροσαρμόζεται από δύο φυσικούς αριθμούς n και k, που συνήθως γράφονται και είναι ο συντελεστής του x k όρου στην πολυωνυμική διεύρυνση της διωνυμικής δύναμης (1 + x) n. Υπό κατάλληλες συνθήκες, η τιμή του συντελεστή δίνεται από την έκφραση . Η διάταξη των διωνυμικών συντελεστών σε σειρές διαδοχικών τιμών του n, όπου το k κυμαίνεται από το 0 έως το n, δίνει μια τριγωνική διάταξη που ονομάζεται τρίγωνο του Πασκάλ. (el) In mathematics, the binomial coefficients are the positive integers that occur as coefficients in the binomial theorem. Commonly, a binomial coefficient is indexed by a pair of integers n ≥ k ≥ 0 and is written It is the coefficient of the xk term in the polynomial expansion of the binomial power (1 + x)n; this coefficient can be computed by the multiplicative formula which using factorial notation can be compactly expressed as For example, the fourth power of 1 + x is and the binomial coefficient is the coefficient of the x2 term. (en) En mathématiques, les coefficients binomiaux, définis pour tout entier naturel n et tout entier naturel k inférieur ou égal à n, donnent le nombre de parties de k éléments dans un ensemble de n éléments. On les note (lu « k parmi n ») ou Ckn (lu « nombre de combinaisons de k parmi n »). Les deux notations sont préconisées par la norme ISO/CEI 80000-2:2009 : la première est celle du « coefficient binomial » (2-10.4) et la seconde celle du « nombre de combinaisons sans répétition » (2-10.6). Cette quantité s'exprime à l'aide de la fonction factorielle : . (fr) Биномиальный коэффициент — коэффициент перед членом разложения бинома Ньютона по степеням . Коэффициент при обозначается или и читается «биномиальный коэффициент из по » (или «число сочетаний из по »): для натуральных степеней . Биномиальные коэффициенты могут быть также определены для произвольных действительных показателей . В случае произвольного действительного числа биномиальные коэффициенты определяются как коэффициенты разложения выражения в бесконечный степенной ряд: , (ru) Inom matematiken definieras binomialkoefficienten eller binomialtalet kombinatoriskt för det naturliga talet n och heltalet k som antalet oordnade urval av k olika element ur en mängd med n olika element, det vill säga antalet k-delmängder av en n-mängd. Det går att visa att detta är ekvivalent med för där '!' betecknar fakultet och för eller . Den sista likheten beror på att det inte går att välja ut ett negativt antal element ur en n-mängd och inte heller fler än n element. . Senare har denna definition utvidgats, genom att a tillåts vara ett godtyckligt komplext tal. (sv) |
| rdfs:label | معامل ذات الحدين (ar) Coeficient binomial (ca) Kombinační číslo (cs) Binomialkoeffizient (de) Διωνυμικός συντελεστής (el) Binoma koeficiento (eo) Binomial coefficient (en) Koefiziente binomial (eu) Coeficiente binomial (es) Coefficiente binomiale (it) Coefficient binomial (fr) 二項係数 (ja) 이항 계수 (ko) Binomiaalcoëfficiënt (nl) Symbol Newtona (pl) Coeficiente binomial (pt) Биномиальный коэффициент (ru) Binomialkoefficient (sv) 二項式係數 (zh) Біноміальний коефіцієнт (uk) |
| rdfs:seeAlso | dbr:Combination |
| owl:sameAs | freebase:Binomial coefficient yago-res:Binomial coefficient http://d-nb.info/gnd/4145586-1 wikidata:Binomial coefficient dbpedia-ar:Binomial coefficient dbpedia-az:Binomial coefficient dbpedia-bg:Binomial coefficient http://bn.dbpedia.org/resource/দ্বিপদী_সহগ dbpedia-ca:Binomial coefficient http://ckb.dbpedia.org/resource/ھاوکۆلکەی_دوو_ڕادەیی dbpedia-cs:Binomial coefficient http://cv.dbpedia.org/resource/Бином_коэффициенчĕсем dbpedia-da:Binomial coefficient dbpedia-de:Binomial coefficient dbpedia-el:Binomial coefficient dbpedia-eo:Binomial coefficient dbpedia-es:Binomial coefficient dbpedia-eu:Binomial coefficient dbpedia-fa:Binomial coefficient dbpedia-fi:Binomial coefficient dbpedia-fr:Binomial coefficient dbpedia-he:Binomial coefficient http://hi.dbpedia.org/resource/द्विपद_गुणांक dbpedia-hr:Binomial coefficient dbpedia-hu:Binomial coefficient dbpedia-io:Binomial coefficient dbpedia-it:Binomial coefficient dbpedia-ja:Binomial coefficient dbpedia-ko:Binomial coefficient http://ky.dbpedia.org/resource/Бином_коэфициенти dbpedia-la:Binomial coefficient http://lv.dbpedia.org/resource/Binomiālkoeficients dbpedia-nl:Binomial coefficient dbpedia-no:Binomial coefficient dbpedia-pl:Binomial coefficient dbpedia-pt:Binomial coefficient dbpedia-ro:Binomial coefficient dbpedia-ru:Binomial coefficient dbpedia-sh:Binomial coefficient dbpedia-sk:Binomial coefficient dbpedia-sl:Binomial coefficient dbpedia-sq:Binomial coefficient dbpedia-sr:Binomial coefficient dbpedia-sv:Binomial coefficient http://ta.dbpedia.org/resource/ஈருறுப்புக்_குணகம் dbpedia-uk:Binomial coefficient dbpedia-zh:Binomial coefficient https://global.dbpedia.org/id/zcTd |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Binomial_coefficient?oldid=1123126930&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/Binomial_theorem_visualisation.svg wiki-commons:Special:FilePath/Pascal's_triangle_-_1000th_row.png wiki-commons:Special:FilePath/Pascal's_triangle_5.svg |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Binomial_coefficient |
| is dbo:wikiPageDisambiguates of | dbr:Binomial |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:A_choose_b dbr:Binomial_coefficients dbr:(n_k) dbr:Binomial_Coefficient dbr:N_choose_k dbr:Vandermonde's_convolution_formula dbr:Choose_function dbr:Choose_notation dbr:Choose_operation dbr:Choose_operator dbr:NCk dbr:Generalised_binomial_coefficient dbr:Generalized_binomial_coefficient dbr:Combinatorial_coefficient dbr:Combinatorial_coefficients dbr:N_choose_r |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Calkin–Wilf_tree dbr:Carlson's_theorem dbr:A_choose_b dbr:Bell_number dbr:Power_of_two dbr:Power_set dbr:Proofs_That_Really_Count dbr:Quicksort dbr:Schuette–Nesbitt_formula dbr:Enumerative_combinatorics dbr:Meixner_polynomials dbr:Macaulay_representation_of_an_integer dbr:Method_of_distinguished_element dbr:Monomial dbr:Monomial_basis dbr:One-third_hypothesis dbr:Partition_algebra dbr:Pascal's_rule dbr:Summation_by_parts dbr:Bernoulli_number dbr:Bernoulli_polynomials dbr:Beta_function dbr:Binomial_(polynomial) dbr:Binomial_coefficients dbr:Binomial_series dbr:Binomial_theorem dbr:Birthday_problem dbr:Blaise_Pascal dbr:Bose–Einstein_statistics dbr:Bracket dbr:De_Moivre's_formula dbr:Ali_Akansu dbr:Alignments_of_random_points dbr:Aperture_synthesis dbr:Hodge_star_operator dbr:Bertrand's_ballot_theorem dbr:Bertrand's_postulate dbr:Beta_distribution dbr:Betti_number dbr:List_of_prime_numbers dbr:List_of_regular_polytopes_and_compounds dbr:Pentatope_number dbr:Permutation dbr:Rencontres_numbers dbr:Cyclic_sieving dbr:Volume_of_an_n-ball dbr:De_numeris_triangularibus_et_inde_de_p...onibus_arithmeticis:_Magisteria_magna dbr:Double_counting_(proof_technique) dbr:Integer-valued_polynomial dbr:Integer_sequence dbr:Intelligent_Mail_barcode dbr:Invariant_factorization_of_LPDOs dbr:Inverse_problem_for_Lagrangian_mechanics dbr:Kurtosis dbr:List_of_inequalities dbr:List_of_mathematical_functions dbr:List_of_mathematical_series dbr:Nørlund–Rice_integral dbr:Nuclear_structure dbr:Stanley_symmetric_function dbr:Sparse_distributed_memory dbr:Random_permutation_statistics dbr:Trinomial_triangle dbr:(n_k) dbr:126_(number) dbr:1653_in_science dbr:Combinatorial_explosion dbr:Cross-polytope dbr:Error_threshold_(evolution) dbr:Choice_(disambiguation) dbr:General_Leibniz_rule dbr:Genetic_drift dbr:Genus–degree_formula dbr:Lozanić's_triangle dbr:Niccolò_Fontana_Tartaglia dbr:Orientation_(vector_space) dbr:Ordered_Bell_number dbr:Quadratic_growth dbr:Timeline_of_mathematics dbr:Timeline_of_number_theory dbr:Clifford_algebra dbr:Eisenstein's_criterion dbr:Eisenstein_series dbr:Emanuel_Sperner dbr:Enterprise_application_integration dbr:Frobenius_endomorphism dbr:Gamma_function dbr:Generating_function dbr:Geometrical_properties_of_polynomial_roots dbr:German_tank_problem dbr:Gerolamo_Cardano dbr:Glossary_of_calculus dbr:Glossary_of_mathematical_symbols dbr:Bracket_(mathematics) dbr:Modern_Arabic_mathematical_notation dbr:Moment_(mathematics) dbr:Multi-index_notation dbr:Multinomial_theorem dbr:Multiset dbr:Mxparser dbr:Concrete_Mathematics dbr:Constraint_counting dbr:Cross-validation_(statistics) dbr:Sulston_score dbr:Andreas_von_Ettingshausen dbr:Bernoulli_polynomials_of_the_second_kind dbr:Bernoulli_process dbr:Bernoulli_trial dbr:Bernstein_polynomial dbr:Legendre_polynomials dbr:Liar's_dice dbr:Lottery_mathematics dbr:Cake_number dbr:Chomp dbr:Simplex dbr:Stars_and_bars_(combinatorics) dbr:Stieltjes_constants dbr:Combination dbr:Combinatorics dbr:Composition_(combinatorics) dbr:Freshman's_dream dbr:Fréchet_algebra dbr:Krawtchouk_matrices dbr:Kruskal–Katona_theorem dbr:Lerch_zeta_function dbr:P-value dbr:Padovan_sequence dbr:Plane_partition dbr:Maclaurin's_inequality dbr:Sparse_language dbr:Stirling_number dbr:Michael_Stifel dbr:Λ-ring dbr:6b/8b_encoding dbr:700_(number) dbr:Additive_polynomial dbr:Cesàro_summation dbr:Torus dbr:Triangular_number dbr:Trichord dbr:Daubechies_wavelet dbr:Dissociation_constant dbr:Dixon's_identity dbr:Fuss–Catalan_number dbr:Galton_board dbr:Heinrich_August_Rothe dbr:Jurimetrics dbr:Large_deviations_theory dbr:List_of_Chinese_discoveries dbr:Lobb_number dbr:Locally_linear_graph dbr:Logarithmically_concave_sequence dbr:Schur_algebra dbr:Vandermonde's_identity dbr:Pascal_matrix dbr:SITOR dbr:AKS_primality_test dbr:Al-Karaji dbr:Alfred_Cardew_Dixon dbr:300_(number) dbr:400_(number) dbr:495_(number) dbr:Curl_(mathematics) dbr:Erdős–Ko–Rado_theorem dbr:Exclamation_mark dbr:Extended_negative_binomial_distribution dbr:Exterior_algebra dbr:Factorization dbr:Falling_and_rising_factorials dbr:Fibonacci_number dbr:Field_(mathematics) dbr:Field_with_one_element dbr:Figurate_number dbr:Finite_difference dbr:Finite_field dbr:Brauer_algebra dbr:Pascal's_triangle dbr:Carleman_matrix dbr:Cauchy–Binet_formula dbr:Central_binomial_coefficient dbr:Binomial dbr:Binomial_Coefficient dbr:Difference_polynomials dbr:Differential_of_a_function dbr:Fat_Chance:_Probability_from_0_to_1 dbr:Grassmann_number dbr:Hilbert_matrix dbr:Hilbert_series_and_Hilbert_polynomial dbr:History_of_combinatorics dbr:History_of_mathematical_notation dbr:Kendall_rank_correlation_coefficient dbr:Leibniz_harmonic_triangle dbr:Lucas's_theorem dbr:Pyramid_(image_processing) dbr:Recurrence_relation dbr:Ring_(mathematics) dbr:Gregory_coefficients dbr:Height_function dbr:Jamshid_al-Kashi dbr:Taylor_series dbr:Telephone_number_(mathematics) dbr:Tetrahedral_number dbr:Hypergeometric_distribution dbr:Rational_zeta_series dbr:Table_of_Newtonian_series dbr:A_History_of_Mathematical_Notations dbr:Abel's_binomial_theorem dbr:Choice dbr:L-moment dbr:Laguerre_polynomials dbr:Lattice_path dbr:Lazy_caterer's_sequence dbr:Binomial_QMF dbr:Binomial_distribution dbr:Binomial_heap dbr:Binomial_number dbr:Binomial_ring dbr:Summation dbr:Symmetric_algebra dbr:Coefficient dbr:Cofinality dbr:Egorychev_method dbr:Eight_queens_puzzle dbr:Holonomic_function dbr:Homogeneous_polynomial dbr:Symmetric_tensor dbr:Wilf–Zeilberger_pair dbr:Wolstenholme_prime dbr:Twelvefold_way dbr:Wigner–Weyl_transform dbr:Differential_algebra dbr:Digamma_function dbr:Associated_Legendre_polynomials dbr:Boson_sampling dbr:Bézier_curve dbr:Bézier_surface dbr:Square_pyramidal_number dbr:Fermi–Dirac_statistics dbr:Fibbinary_number dbr:Fibonomial_coefficient dbr:Grünwald–Letnikov_derivative dbr:Inclusion–exclusion_principle dbr:Indian_mathematics dbr:Kummer's_theorem dbr:Negative_binomial_distribution dbr:Negative_temperature dbr:Network_science dbr:On-Line_Encyclopedia_of_Integer_Sequences dbr:Order_polynomial dbr:Carry_(arithmetic) dbr:Catalan_number dbr:Reciprocal_polynomial dbr:Reed–Solomon_error_correction dbr:Wolstenholme's_theorem dbr:List_of_factorial_and_binomial_topics dbr:Umbral_calculus dbr:Magic_number_(physics) dbr:Singmaster's_conjecture dbr:Newton_polynomial dbr:Euler_integral dbr:Eulerian_number dbr:Factorial dbr:Lists_of_integrals dbr:The_Art_of_Computer_Programming dbr:Plücker_coordinates dbr:Sun's_curious_identity dbr:Finite_geometry dbr:Fisher's_exact_test dbr:Five_points_determine_a_conic dbr:Narayana_number dbr:NCK_(disambiguation) dbr:N_choose_k dbr:Poker_probability dbr:Palindromic_number dbr:Motzkin_number dbr:Negative_hypergeometric_distribution dbr:Stirling_numbers_of_the_second_kind dbr:Witt_vector dbr:Zernike_polynomials dbr:Veronese_surface dbr:Zhegalkin_polynomial dbr:Stirling_numbers_of_the_first_kind dbr:Outline_of_combinatorics dbr:Rational_homotopy_theory dbr:Vandermonde's_convolution_formula dbr:Choose_function dbr:Choose_notation dbr:Choose_operation dbr:Choose_operator dbr:NCk dbr:Generalised_binomial_coefficient dbr:Generalized_binomial_coefficient dbr:Combinatorial_coefficient dbr:Combinatorial_coefficients dbr:N_choose_r |
| is rdfs:seeAlso of | dbr:Combination |
| is owl:differentFrom of | dbr:Binomial_number |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Binomial_coefficient |
