Orthonormal basis (original) (raw)

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في الرياضيات، وبالتحديد في الجبر الخطي، قاعدة ممنظمة متعامدة أو قاعدة ناظمية التعامد (بالإنجليزية: Orthonormal basis)‏ لفضاء مزود بجداء داخلي V أبعاده منتهية هي قاعدة ل V جميع متجهاتها متجهات وحدةٌ ومتعامدة مع بعضها البعض.في مثل هذه القاعدة، تكون إحداثيات أي متجهة في الفضاء مساوية للجداءات السلمية لهذه المتجهة في جميع متجهات القاعدة، ويُكَوِّنُ الجداء السلمي لكل متجهتين تعبيرًا قانونيًا بدلالة إحداثياتهما.

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dbo:abstract في الرياضيات، وبالتحديد في الجبر الخطي، قاعدة ممنظمة متعامدة أو قاعدة ناظمية التعامد (بالإنجليزية: Orthonormal basis)‏ لفضاء مزود بجداء داخلي V أبعاده منتهية هي قاعدة ل V جميع متجهاتها متجهات وحدةٌ ومتعامدة مع بعضها البعض.في مثل هذه القاعدة، تكون إحداثيات أي متجهة في الفضاء مساوية للجداءات السلمية لهذه المتجهة في جميع متجهات القاعدة، ويُكَوِّنُ الجداء السلمي لكل متجهتين تعبيرًا قانونيًا بدلالة إحداثياتهما. (ar) En matemàtiques, i concretament en àlgebra lineal, una base ortonormal d'un espai prehilbertià V de dimensió finita és una base de V, els vectors de la qual són ortonormals. Per exemple, la base canònica d'un espai euclidià ℝn és una base ortonormal, amb el producte intern habitual per vectors. La imatge de la base canònica per una rotació o per una reflexió (o, en general, per qualsevol transformació ortogonal) també és ortonormal, i qualsevol base ortonormal per ℝn es pot construir d'aquesta forma. Per a un espai prehilbertià en general V, es pot usar una base ortonormal per definir normalitzades sobre V. En aquestes coordenades, el producte intern esdevé el producte de vectors. Així, la presència d'una base ortonormal redueix l'estudi d'un espai prehilbertià de dimensió finita a l'estudi de ℝn amb el producte habitual. Tot espai prehilbertià de dimensió finita admet una base ortonormal, que es pot obtenir a partir d'una base arbitrària mitjançant el procés d'ortogonalització de Gram–Schmidt. En anàlisi funcional, el concepte de base ortonormal es pot generalitzar a espais prehilbertians de dimensió arbitrària. Donat un espai prehilbertià H, una base ortonormal per H és un conjunt ortonormal de vectors amb la propietat que tot vector de H es pot escriure com a combinació lineal infinita dels vectors de la base. En aquest cas, de vegades es diu que la base ortonormal és una base de Hilbert de H. Notem que, en general, una base ortonormal no és una base de Hamel, perquè suposem combinacions lineals infinites. Més específicament, el subespai vectorial generat per la base ha de ser dens dins H, però no té per què ser l'espai sencer. (ca) Ortonormální báze unitárního prostoru je pojem z lineární algebry a funkcionální analýzy, označující takovou bázi prostoru, jež je ortogonální a jejíž prvky jsou navíc normované, tedy vzájemně různé prvky báze jsou na sebe kolmé a všechny prvky báze jsou jednotkové. Tento pojem je důležitý pro konečně i nekonečně rozměrné prostory a obzvláště pak pro Hilbertovy prostory. (cs) Eine Orthonormalbasis (ONB) oder ein vollständiges Orthonormalsystem (VONS) ist in den mathematischen Gebieten lineare Algebra und Funktionalanalysis eine Menge von Vektoren aus einem Vektorraum mit Skalarprodukt (Innenproduktraum), welche auf die Länge eins normiert und zueinander orthogonal (daher Ortho-normal-basis) sind und deren lineare Hülle dicht im Vektorraum liegt. Im endlichdimensionalen Fall ist dies eine Basis des Vektorraums. Im unendlichdimensionalen Fall handelt es sich nicht um eine Vektorraumbasis im Sinn der linearen Algebra. Verzichtet man auf die Bedingung, dass die Vektoren auf die Länge eins normiert sind, so spricht man von einer Orthogonalbasis. Der Begriff der Orthonormalbasis ist sowohl im Fall endlicher Dimension als auch für unendlichdimensionale Räume, insbesondere Hilberträume, von großer Bedeutung. (de) En álgebra lineal, una base ortonormal de un espacio prehilbertiano V (es decir, un espacio vectorial con producto interno) o, en particular, de un espacio de Hilbert H, es un conjunto de elementos cuyo span es denso en el espacio, en el que los elementos son mutuamente ortogonales y normales, es decir, de magnitud unitaria. Una base ortogonal satisface las mismas condiciones, salvo la de magnitud unitaria; es muy sencillo transformar una base ortogonal en una base ortonormal mediante el producto por un escalar apropiado y de hecho, esta es la forma habitual en la que se obtiene una base ortonormal: por medio de una base ortogonal. Así, una base ortonormal es una base ortogonal, en la cual la norma de cada elemento que la compone es unitaria. Estos conceptos son importantes tanto para espacios de dimensión finita como de dimensión infinita. Para espacios de dimensión finita, la condición de span denso es la misma que la de 'span', como se usa en álgebra lineal. Una base ortonormal por lo general no es una "base", es decir, en general no es posible escribir a cada elemento del espacio como una combinación lineal de un número finito de elementos de la base ortonormal. En el caso de dimensión infinita, esta distinción cobra importancia: la definición dada requiere solo que el generado de una base ortonormal sea densa en el espacio vectorial, y no que iguale al espacio entero. Una base ortonormal de un espacio vectorial V no tiene sentido si el espacio no posee un producto interno. Un Espacio de Banach no tendrá una base ortonormal a no ser que sea un espacio de Hilbert. (es) In mathematics, particularly linear algebra, an orthonormal basis for an inner product space V with finite dimension is a basis for whose vectors are orthonormal, that is, they are all unit vectors and orthogonal to each other. For example, the standard basis for a Euclidean space is an orthonormal basis, where the relevant inner product is the dot product of vectors. The image of the standard basis under a rotation or reflection (or any orthogonal transformation) is also orthonormal, and every orthonormal basis for arises in this fashion. For a general inner product space an orthonormal basis can be used to define normalized orthogonal coordinates on Under these coordinates, the inner product becomes a dot product of vectors. Thus the presence of an orthonormal basis reduces the study of a finite-dimensional inner product space to the study of under dot product. Every finite-dimensional inner product space has an orthonormal basis, which may be obtained from an arbitrary basis using the Gram–Schmidt process. In functional analysis, the concept of an orthonormal basis can be generalized to arbitrary (infinite-dimensional) inner product spaces. Given a pre-Hilbert space an orthonormal basis for is an orthonormal set of vectors with the property that every vector in can be written as an infinite linear combination of the vectors in the basis. In this case, the orthonormal basis is sometimes called a Hilbert basis for Note that an orthonormal basis in this sense is not generally a Hamel basis, since infinite linear combinations are required. Specifically, the linear span of the basis must be dense in but it may not be the entire space. If we go on to Hilbert spaces, a non-orthonormal set of vectors having the same linear span as an orthonormal basis may not be a basis at all. For instance, any square-integrable function on the interval can be expressed (almost everywhere) as an infinite sum of Legendre polynomials (an orthonormal basis), but not necessarily as an infinite sum of the monomials A different generalisation is to pseudo-inner product spaces, finite-dimensional vector spaces equipped with a non-degenerate symmetric bilinear form known as the metric tensor. In such a basis, the metric takes the form with positive ones and negative ones. (en) En géométrie vectorielle, une base orthonormale ou base orthonormée (BON) d'un espace euclidien ou hermitien est une base de cet espace vectoriel constituée de vecteurs de norme 1 et orthogonaux deux à deux. Dans une telle base, les coordonnées d'un vecteur quelconque de l'espace sont égales aux produits scalaires respectifs de ce vecteur par chacun des vecteurs de base, et le produit scalaire de deux vecteurs quelconques a une expression canonique en fonction de leurs coordonnées. (fr) ( 다른 뜻에 대해서는 내적 공간#정규 직교 기저 문서를 참고하십시오.) 힐베르트 공간 이론에서, 정규 직교 기저(正規直交基底, 영어: orthonormal basis)는 주어진 힐베르트 공간의 원소를 ℓ2 수렴 계수의 가산 선형 결합으로 나타낼 수 있는 기저 벡터들의 집합이다. 집합으로써 나타내진다. (ko) In matematica, e più precisamente in algebra lineare, una base ortonormale di uno spazio vettoriale munito di prodotto scalare definito positivo è una base composta da vettori di norma unitaria e ortogonali tra loro, ossia una base ortogonale di vettori di norma uno. Una base ortogonale è una base di vettori ortogonali (ossia il cui prodotto scalare è nullo) rispetto al prodotto scalare definito sullo spazio vettoriale, non necessariamente definito positivo. Si tratta di una condizione meno restrittiva rispetto a quella di ortonormalizzazione, e solitamente si costruiscono basi ortonormali a partire da basi ortogonali. I concetti di base ortonormale e ortogonale generalizzano la nozione di sistema di riferimento nel piano cartesiano, e rendono possibile definire degli assi perpendicolari, e quindi un sistema di riferimento che assegna ad ogni punto delle coordinate su uno spazio vettoriale con dimensione arbitraria. (it) 線型代数学における有限次元内積空間 V の正規直交基底（せいきちょっこうきてい、英: orthonormal basis）は正規直交系を成すような V の基底である。 (ja) Baza ortonormalna – zbiór wektorów w przestrzeni unitarnej z iloczynem skalarnym o następujących własnościach: * dla każdego (tj. każdy element ma normę 1), * ortogonalność: dla różnych * domknięcie (w sensie topologii normowej) otoczki liniowej zbioru jest całą przestrzenią Pojęcie bazy ortonormalnej rozpatruje się najczęściej w kontekście przestrzeni Hilberta. (pl) In de lineaire algebra heet een basis van een vectorruimte met inwendig product, bestaande uit de vectoren , een orthonormale basis, als de basis een orthonormaal stelsel is. Dat houdt in dat de vectoren uit de basis onderling orthogonaal zijn en elk de lengte 1 heeft. Er geldt dus dat voor elke en : als Anders geformuleerd: (de Kronecker-delta). In deze relaties is het inwendige product, dat ook wel genoteerd wordt met . Omgekeerd geldt dat als een basis van een vectorruimte per definitie als orthonormaal wordt beschouwd, dit een inwendig product induceert waarvoor , namelijk het standaardinproduct met en de coördinaten ten opzichte van de basis. (nl) Em álgebra linear, uma base composta pelos vetores de um espaço vetorial é ortonormal se, além de ser uma base ortogonal, seus vetores forem unitários. Ser ortogonal significa que o produto interno entre pares de vetores distintos dessa base são igual a zero, ou seja, Ademais, estar normalizado significa que os vetores da base são todos unitários, ou seja, para . Essas duas definições podem ser condensadas assim: , onde (pt) Inom linjär algebra kan en ortonormerad bas eller ortonormal bas (ON-bas) ses som ett koordinatsystem, så kallat ortonormerat koordinatsystem eller ON-system, där koordinataxlarna är ortogonala (sinsemellan vinkelräta) enhetsvektorer (det vill säga vektorer av längden 1). En ON-bas bestående av N vektorer spänner upp ett N-dimensionellt euklidiskt rum, vilket innebär att varje punkt eller vektor i rummet kan uttryckas som en linjärkombination av ON-basens vektorer. (sv) В скінченновимірному унітарному векторному просторі розмірності n, кожна ортонормована система із n векторів утворює ортонормований базис. (uk) 在线性代数中，一个内积空间的正交基（orthogonal basis）是元素两两正交的基。称基中的元素为基向量。假若，一个正交基的基向量的模长都是单位长度1，则称这正交基为标准正交基或"规范正交基"（Orthonormal basis）。 无论在有限维还是无限维空间中，正交基的概念都是很重要的。在无限维希尔伯特空间中，正交基不再是哈默尔基，也就是说不是每个元素都可以写成有限个基中元素的线性组合。因此在无限维空间中，正交基应该被更严格地定义为由线性无关而且两两正交的元素组成、张成的空间是原空间的一个稠密子空间（而不是整个空间）的集合。 注意，在没有定义内积的空间中，“正交基”一词是没有意义的。因此，一个具有正交基的巴拿赫空间，就是一个希尔伯特空间。 (zh)
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(cs) En géométrie vectorielle, une base orthonormale ou base orthonormée (BON) d'un espace euclidien ou hermitien est une base de cet espace vectoriel constituée de vecteurs de norme 1 et orthogonaux deux à deux. Dans une telle base, les coordonnées d'un vecteur quelconque de l'espace sont égales aux produits scalaires respectifs de ce vecteur par chacun des vecteurs de base, et le produit scalaire de deux vecteurs quelconques a une expression canonique en fonction de leurs coordonnées. (fr) ( 다른 뜻에 대해서는 내적 공간#정규 직교 기저 문서를 참고하십시오.) 힐베르트 공간 이론에서, 정규 직교 기저(正規直交基底, 영어: orthonormal basis)는 주어진 힐베르트 공간의 원소를 ℓ2 수렴 계수의 가산 선형 결합으로 나타낼 수 있는 기저 벡터들의 집합이다. 집합으로써 나타내진다. (ko) 線型代数学における有限次元内積空間 V の正規直交基底（せいきちょっこうきてい、英: orthonormal basis）は正規直交系を成すような V の基底である。 (ja) Baza ortonormalna – zbiór wektorów w przestrzeni unitarnej z iloczynem skalarnym o następujących własnościach: * dla każdego (tj. każdy element ma normę 1), * ortogonalność: dla różnych * domknięcie (w sensie topologii normowej) otoczki liniowej zbioru jest całą przestrzenią Pojęcie bazy ortonormalnej rozpatruje się najczęściej w kontekście przestrzeni Hilberta. (pl) Em álgebra linear, uma base composta pelos vetores de um espaço vetorial é ortonormal se, além de ser uma base ortogonal, seus vetores forem unitários. Ser ortogonal significa que o produto interno entre pares de vetores distintos dessa base são igual a zero, ou seja, Ademais, estar normalizado significa que os vetores da base são todos unitários, ou seja, para . Essas duas definições podem ser condensadas assim: , onde (pt) Inom linjär algebra kan en ortonormerad bas eller ortonormal bas (ON-bas) ses som ett koordinatsystem, så kallat ortonormerat koordinatsystem eller ON-system, där koordinataxlarna är ortogonala (sinsemellan vinkelräta) enhetsvektorer (det vill säga vektorer av längden 1). En ON-bas bestående av N vektorer spänner upp ett N-dimensionellt euklidiskt rum, vilket innebär att varje punkt eller vektor i rummet kan uttryckas som en linjärkombination av ON-basens vektorer. (sv) В скінченновимірному унітарному векторному просторі розмірності n, кожна ортонормована система із n векторів утворює ортонормований базис. (uk) 在线性代数中，一个内积空间的正交基（orthogonal basis）是元素两两正交的基。称基中的元素为基向量。假若，一个正交基的基向量的模长都是单位长度1，则称这正交基为标准正交基或"规范正交基"（Orthonormal basis）。 无论在有限维还是无限维空间中，正交基的概念都是很重要的。在无限维希尔伯特空间中，正交基不再是哈默尔基，也就是说不是每个元素都可以写成有限个基中元素的线性组合。因此在无限维空间中，正交基应该被更严格地定义为由线性无关而且两两正交的元素组成、张成的空间是原空间的一个稠密子空间（而不是整个空间）的集合。 注意，在没有定义内积的空间中，“正交基”一词是没有意义的。因此，一个具有正交基的巴拿赫空间，就是一个希尔伯特空间。 (zh) En matemàtiques, i concretament en àlgebra lineal, una base ortonormal d'un espai prehilbertià V de dimensió finita és una base de V, els vectors de la qual són ortonormals. Per exemple, la base canònica d'un espai euclidià ℝn és una base ortonormal, amb el producte intern habitual per vectors. La imatge de la base canònica per una rotació o per una reflexió (o, en general, per qualsevol transformació ortogonal) també és ortonormal, i qualsevol base ortonormal per ℝn es pot construir d'aquesta forma. (ca) Eine Orthonormalbasis (ONB) oder ein vollständiges Orthonormalsystem (VONS) ist in den mathematischen Gebieten lineare Algebra und Funktionalanalysis eine Menge von Vektoren aus einem Vektorraum mit Skalarprodukt (Innenproduktraum), welche auf die Länge eins normiert und zueinander orthogonal (daher Ortho-normal-basis) sind und deren lineare Hülle dicht im Vektorraum liegt. Im endlichdimensionalen Fall ist dies eine Basis des Vektorraums. Im unendlichdimensionalen Fall handelt es sich nicht um eine Vektorraumbasis im Sinn der linearen Algebra. (de) En álgebra lineal, una base ortonormal de un espacio prehilbertiano V (es decir, un espacio vectorial con producto interno) o, en particular, de un espacio de Hilbert H, es un conjunto de elementos cuyo span es denso en el espacio, en el que los elementos son mutuamente ortogonales y normales, es decir, de magnitud unitaria. Una base ortogonal satisface las mismas condiciones, salvo la de magnitud unitaria; es muy sencillo transformar una base ortogonal en una base ortonormal mediante el producto por un escalar apropiado y de hecho, esta es la forma habitual en la que se obtiene una base ortonormal: por medio de una base ortogonal. (es) In mathematics, particularly linear algebra, an orthonormal basis for an inner product space V with finite dimension is a basis for whose vectors are orthonormal, that is, they are all unit vectors and orthogonal to each other. For example, the standard basis for a Euclidean space is an orthonormal basis, where the relevant inner product is the dot product of vectors. The image of the standard basis under a rotation or reflection (or any orthogonal transformation) is also orthonormal, and every orthonormal basis for arises in this fashion. (en) In matematica, e più precisamente in algebra lineare, una base ortonormale di uno spazio vettoriale munito di prodotto scalare definito positivo è una base composta da vettori di norma unitaria e ortogonali tra loro, ossia una base ortogonale di vettori di norma uno. I concetti di base ortonormale e ortogonale generalizzano la nozione di sistema di riferimento nel piano cartesiano, e rendono possibile definire degli assi perpendicolari, e quindi un sistema di riferimento che assegna ad ogni punto delle coordinate su uno spazio vettoriale con dimensione arbitraria. (it) In de lineaire algebra heet een basis van een vectorruimte met inwendig product, bestaande uit de vectoren , een orthonormale basis, als de basis een orthonormaal stelsel is. Dat houdt in dat de vectoren uit de basis onderling orthogonaal zijn en elk de lengte 1 heeft. Er geldt dus dat voor elke en : als Anders geformuleerd: (de Kronecker-delta). 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