Reductive group (original) (raw)

dbo:abstract

Die reduktive Gruppe ist ein Begriff der Mathematik, der vor allem in der Darstellungstheorie und der von Bedeutung ist. (de)
En matemáticas, un grupo reductivo es un G definido sobre un cuerpo algebraicamente cerrado tal que el de G es trivial (es decir, el grupo de elementos unipotentes del de G). Todo grupo algebraico semisimple es reductivo, como lo son todo toro algebriaco y todo grupo general lineal. Más en general, sobre cuerpos que no son necesariamente algebraicamente cerrados, un grupo reductivo es un grupo algebraico afín suave tal que el radical unipotente de G sobre la clausura algebraica es trivial. La intervención de una clausura algebraica en esta definición es necesaria para incluir el caso de campos de base imperfecta, como los cuerpos de funciones locales y globales sobre cuerpos finitos. Los grupos algebraicos sobre cuerpos (posiblemente imperfectos) k tales que el radical k-unipotente es trivial se llaman . El término "reductivo" proviene de la "reducibilidad completa" de las representación lineal de un grupo e este tipo, que es una propiedad que de hecho se da para representaciones del grupo algebraico sobre cuerpos de característica cero. Esto sólo se aplica a las representaciones del grupo algebraico: las representaciones de dimensión finita del grupo discreto subyacente no necesitan ser completamente reducibles incluso cuando son de característica cero. El muestra que una propiedad más débil llamada reducibilidad geométrica se cumple para grupos reductivos en el caso de característica mayor que cero. (es)
En mathématiques, un groupe réductif est un groupe algébrique G sur un corps algébriquement clos tel que le radical unipotent de G (c'est-à-dire le sous-groupe des éléments (en) de (en)) soit trivial. Tout (en) est réductif, de même que tout tore algébrique et tout groupe général linéaire. Plus généralement, sur un corps k non nécessairement algébriquement clos, un groupe réductif est un groupe algébrique affine lisse G tel que le radical unipotent de G sur la clôture algébrique de k soit trivial. Il est nécessaire de faire intervenir la clôture algébrique dans cette définition, pour inclure le cas de corps de base non parfaits, comme des corps de fonctions locaux ou globaux sur des corps finis. Ce nom de réductif vient de la complète réductibilité des représentations d'un tel groupe, lorsque la caractéristique du corps est nulle. En caractéristique non nulle, le théorème de Haboush démontre une propriété un peu plus faible qu'avait conjecturée Mumford. Si G est un sous-groupe lisse fermé de GLn(k) qui agit de façon irréductible sur kn, alors G est réductif. En particulier, GLn et SLn sont réductifs (le second étant même semi-simple). (fr)
In mathematics, a reductive group is a type of linear algebraic group over a field. One definition is that a connected linear algebraic group G over a perfect field is reductive if it has a representation with finite kernel which is a direct sum of irreducible representations. Reductive groups include some of the most important groups in mathematics, such as the general linear group GL(n) of invertible matrices, the special orthogonal group SO(n), and the symplectic group Sp(2n). Simple algebraic groups and (more generally) semisimple algebraic groups are reductive. Claude Chevalley showed that the classification of reductive groups is the same over any algebraically closed field. In particular, the simple algebraic groups are classified by Dynkin diagrams, as in the theory of compact Lie groups or complex semisimple Lie algebras. Reductive groups over an arbitrary field are harder to classify, but for many fields such as the real numbers R or a number field, the classification is well understood. The classification of finite simple groups says that most finite simple groups arise as the group G(k) of k-rational points of a simple algebraic group G over a finite field k, or as minor variants of that construction. Reductive groups have a rich representation theory in various contexts. First, one can study the representations of a reductive group G over a field k as an algebraic group, which are actions of G on k-vector spaces. But also, one can study the complex representations of the group G(k) when k is a finite field, or the infinite-dimensional unitary representations of a real reductive group, or the automorphic representations of an adelic algebraic group. The structure theory of reductive groups is used in all these areas. (en)
대수기하학에서 가약군(可約群, 영어: reductive group)은 그 군 표현론이 특별히 규칙적인 대수군이다. 표수가 0인 경우, 기약군의 모든 표현은 기약 표현으로 완전히 분해된다. (ko)
数学における簡約群（かんやくぐん、英: reductive group）とはが自明となる代数閉体上の代数群のことである。や一般線形群など任意のは簡約となる。一般の代数体上の場合には、代数閉包上で冪単根基が自明となるような滑らかなアフィン代数群を簡約代数群と呼ぶ。ここで代数閉包への移行は、定義体が有限体上の関数体などの不完全体（imperfect field）となる場合に必要である。（必ずしも完全でない）体 k 上の代数群で k-冪単根基が自明となるものはen:pseudo-reductive groupと呼ばれる。簡約群の名称は線形表現の完全可約性から来ており、標数0の代数群の表現に対して成り立つ性質である。（これは代数群としての表現にのみ適応される。離散群としての有限次元表現は標数0の場合でさえ必ずしも完全可約にならない。）Haboushの定理は、幾何学的簡約性と呼ばれるより弱い条件が正標数の場合の簡約群に対しても成立していることを示す。 G ≤ GLn を滑らかな-閉部分群としたとき、上の次元アフィン空間への作用が既約であるならば G は簡約である。そのため GLn 及び SLn は簡約である（後者はより強くとなる）。 (ja)
Редуктивна група — алгебрична група , для якої уніпотентний радикал її компоненти одиниці є тривіальним. Над незамкнутим полем редуктивність алгебричної групи визначається як редуктивність її над замиканням основного поля. Лінійно-редуктивна група — група, будь-яке раціональне представлення якої цілком звідно. Будь-яка лінійно-редуктивного група є редуктивною. Над полем характеристики 0 вірно і зворотне, тобто ці властивості рівносильні. (uk)
Редуктивная группа — алгебраическая группа , для которой её является тривиальным. Над незамкнутым полем редуктивность алгебраической группы определяется как редуктивность её над замыканием основного поля. Линейно-редуктивная группа — группа, любое которой вполне приводимо. Любая линейно-редуктивная группа редуктивна. Над полем характеристики 0 верно и обратное, то есть эти свойства равносильны. Редуктивные группы включают большинство важных групп, таких как полная линейная группа GL(n) обратимых матриц, специальная ортогональная группа SO(n), и симплектическая группа Sp(2n). Простые алгебраические группы и (более общие) полупростые алгебраические группы являются редуктивными. Клод Шевалле показал, что классификация редуктивных групп одна и та же над любым алгебраически замкнутым полем. В частности, простые алгебраические группы классифицируются диаграммами Дынкина, как в теории или комплексных полупростых групп Ли. Редуктивные группы над произвольным полем классифицировать труднее, но для многих полей, таких как поле вещественных чисел R или числовое поле, классификация вполне понятна. Классификация простых конечных групп утверждает, что большинство конечных простых групп возникает как группа G(k) k- простой алгебраической группы G над конечным полем k или как вариант такого построения с небольшими отклонениями. Редуктивные группы имеют богатую теорию представлений в различных контекстах. Во-первых, можно изучать представления редуктивной группой G над полем k как алгебраические группы, которые являются действиями группы G на k-векторном пространстве. Можно также изучать комплексные представления группы G(k), когда k является конечным полем, бесконечномерным вещественной редуктивной группы или . Структурная теория редуктивных групп используется во всех этих областях. (ru)
在數學中，約化群是為平凡群的代數群。代數環面與代數群都是約化群，一般線性群亦然。「約化」一詞源於下述事實：零特徵域上的約化群的線性表示都是完全可約的。 (zh)

dbo:wikiPageExternalLink

dbo:wikiPageWikiLink

rdfs:comment

Die reduktive Gruppe ist ein Begriff der Mathematik, der vor allem in der Darstellungstheorie und der von Bedeutung ist. (de)
대수기하학에서 가약군(可約群, 영어: reductive group)은 그 군 표현론이 특별히 규칙적인 대수군이다. 표수가 0인 경우, 기약군의 모든 표현은 기약 표현으로 완전히 분해된다. (ko)
数学における簡約群（かんやくぐん、英: reductive group）とはが自明となる代数閉体上の代数群のことである。や一般線形群など任意のは簡約となる。一般の代数体上の場合には、代数閉包上で冪単根基が自明となるような滑らかなアフィン代数群を簡約代数群と呼ぶ。ここで代数閉包への移行は、定義体が有限体上の関数体などの不完全体（imperfect field）となる場合に必要である。（必ずしも完全でない）体 k 上の代数群で k-冪単根基が自明となるものはen:pseudo-reductive groupと呼ばれる。簡約群の名称は線形表現の完全可約性から来ており、標数0の代数群の表現に対して成り立つ性質である。（これは代数群としての表現にのみ適応される。離散群としての有限次元表現は標数0の場合でさえ必ずしも完全可約にならない。）Haboushの定理は、幾何学的簡約性と呼ばれるより弱い条件が正標数の場合の簡約群に対しても成立していることを示す。 G ≤ GLn を滑らかな-閉部分群としたとき、上の次元アフィン空間への作用が既約であるならば G は簡約である。そのため GLn 及び SLn は簡約である（後者はより強くとなる）。 (ja)
Редуктивна група — алгебрична група , для якої уніпотентний радикал її компоненти одиниці є тривіальним. Над незамкнутим полем редуктивність алгебричної групи визначається як редуктивність її над замиканням основного поля. Лінійно-редуктивна група — група, будь-яке раціональне представлення якої цілком звідно. Будь-яка лінійно-редуктивного група є редуктивною. Над полем характеристики 0 вірно і зворотне, тобто ці властивості рівносильні. (uk)
在數學中，約化群是為平凡群的代數群。代數環面與代數群都是約化群，一般線性群亦然。「約化」一詞源於下述事實：零特徵域上的約化群的線性表示都是完全可約的。 (zh)
En matemáticas, un grupo reductivo es un G definido sobre un cuerpo algebraicamente cerrado tal que el de G es trivial (es decir, el grupo de elementos unipotentes del de G). Todo grupo algebraico semisimple es reductivo, como lo son todo toro algebriaco y todo grupo general lineal. Más en general, sobre cuerpos que no son necesariamente algebraicamente cerrados, un grupo reductivo es un grupo algebraico afín suave tal que el radical unipotente de G sobre la clausura algebraica es trivial. La intervención de una clausura algebraica en esta definición es necesaria para incluir el caso de campos de base imperfecta, como los cuerpos de funciones locales y globales sobre cuerpos finitos. Los grupos algebraicos sobre cuerpos (posiblemente imperfectos) k tales que el radical k-unipotente es t (es)
In mathematics, a reductive group is a type of linear algebraic group over a field. One definition is that a connected linear algebraic group G over a perfect field is reductive if it has a representation with finite kernel which is a direct sum of irreducible representations. Reductive groups include some of the most important groups in mathematics, such as the general linear group GL(n) of invertible matrices, the special orthogonal group SO(n), and the symplectic group Sp(2n). Simple algebraic groups and (more generally) semisimple algebraic groups are reductive. (en)
En mathématiques, un groupe réductif est un groupe algébrique G sur un corps algébriquement clos tel que le radical unipotent de G (c'est-à-dire le sous-groupe des éléments (en) de (en)) soit trivial. Tout (en) est réductif, de même que tout tore algébrique et tout groupe général linéaire. Ce nom de réductif vient de la complète réductibilité des représentations d'un tel groupe, lorsque la caractéristique du corps est nulle. En caractéristique non nulle, le théorème de Haboush démontre une propriété un peu plus faible qu'avait conjecturée Mumford. (fr)
Редуктивная группа — алгебраическая группа , для которой её является тривиальным. Над незамкнутым полем редуктивность алгебраической группы определяется как редуктивность её над замыканием основного поля. Линейно-редуктивная группа — группа, любое которой вполне приводимо. Любая линейно-редуктивная группа редуктивна. Над полем характеристики 0 верно и обратное, то есть эти свойства равносильны. (ru)

rdfs:label

Reduktive Gruppe (de)
Grupo reductivo (es)
Groupe réductif (fr)
가약군 (ko)
簡約群 (ja)
Reductive group (en)
Редуктивная группа (ru)
約化群 (zh)
Редуктивна група (uk)

is dbo:wikiPageWikiLink of