Exponential function (original) (raw)
الدالة الأسية (بالإنجليزية: Exponential Function) هي كل دالة تُكتب على الشكل حيث و عدد حقيقي موجب لا يساوي 1، إذا كان فإن الدالة تكون تناقصية وتسمى دالة تضاؤل أسي، أما إذا كان فإن الدالة تكون تزايدية وتسمى دالة نمو أسي.
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| dbo:abstract | الدالة الأسية (بالإنجليزية: Exponential Function) هي كل دالة تُكتب على الشكل حيث و عدد حقيقي موجب لا يساوي 1، إذا كان فإن الدالة تكون تناقصية وتسمى دالة تضاؤل أسي، أما إذا كان فإن الدالة تكون تزايدية وتسمى دالة نمو أسي. (ar) En sentit ampli, una funció exponencial és qualsevol funció del tipus ax, una potenciació on la base a és qualsevol nombre real positiu i l'exponent x és la variable. De manera encara més general, s'anomenen així les funcions múltiples d'aquestes, de la forma kax amb k real (vegeu Creixement exponencial). En llenguatge menys precís, fins i tot es pot anomenar exponencial qualsevol funció formada a partir d'algun dels termes anteriors o que s'hi aproximi. Malgrat tot, el terme funció exponencial gairebé sempre es refereix a la funció exponencial en base e, que és la que tracta aquest article. La funció exponencial és una de les funcions més importants de les matemàtiques. Sorgeix en el desenvolupament del càlcul infinitesimal i apareix en una immensa quantitat de fórmules amb nombroses aplicacions en la majoria de branques científiques. El domini de la funció són els nombres reals i es pot estendre també als nombres complexos. Si x és la variable, s'escriu exp(x) o ex, notació aquesta darrera que correspon a la potenciació amb base e, la constant d'Euler, que val aproximadament 2,71828183. Es pot caracteritzar de diverses maneres; és, per exemple, l'única funció que és igual a la seva derivada i que val 1 en el punt 0. És la funció inversa del logaritme natural, de manera que és un element imprescindible a l'hora de resoldre certs problemes. Com a funció de la variable x real, la gràfica d'ex sempre és positiva (al llarg de l'eix de les x) i creixent (d'esquerra a dreta). Mai arriba a tocar l'eix de les x, tot i que s'hi aproxima tant com es vulgui (això significa que l'eix de les x és un asímptota horitzontal de la gràfica). La funció inversa, el logaritme neperià, ln(x), està definit per tota x positiva. La funció exponencial es pot definir de manera anàloga en objectes matemàtics diferents als nombres reals i complexos, com en espais de matrius quadrades. (ca) Exponenciální funkce je matematická funkce ve tvaru , kde je kladné číslo různé od , které se nazývá základ. Číslu se říká exponent, grafem je exponenciála. Definičním oborem exponenciální funkce jsou všechna reálná, resp. všechna komplexní čísla (a lze ji rozšířit i na složitější objekty, zejména lineární operátory). Inverzní funkcí k exponenciále je logaritmus o stejném základu: Derivací exponenciály je tato exponenciála vynásobená přirozeným logaritmem základu: Protože přirozený logaritmus Eulerova čísla je rovný jedné, používá se toto číslo často jako základ exponenciální funkce. Derivace exponenciální funkce s tímto základem je rovna opět exponenciální funkci o stejném základu . To přináší usnadnění při práci s výrazy obsahujícími exponenciálu. Proto se často pod označením exponenciální funkce automaticky myslí exponenciála se základem a exponenciály s obecným základem se převádějí na tento základ pomocí vzorce . Alternativní notace se používá, aby se exponent mohl zapsat na jeden řádek se zbytkem výrazu. (cs) Στα μαθηματικά, η εκθετική συνάρτηση είναι η συνάρτηση με τύπο , όπου e είναι ο αριθμός Όιλερ (άρρητος αριθμός, περίπου ίσος με 2.718281828) για την οποία ισχύει ότι είναι ίση με την παράγωγό της. Η εκθετική συνάρτηση χρησιμοποιείται για να εκφράσει μια σχέση μεταξύ δύο μεταβλητών, σύμφωνα με την οποία μια σταθερή αύξηση ή μείωση στην ανεξάρτητη μεταβλητή προκαλεί μια επίσης σταθερή ποσοστιαία αύξηση ή μείωση αντίστοιχα στην εξαρτημένη μεταβλητή. Αντί του συμβόλου , συχνά χρησιμοποιείται το σύμβολο , ειδικά όταν δεν είναι βολικό να γραφεί στον εκθέτη η ανεξάρτητη μεταβλητή. Η εκθετική συνάρτηση χρησιμοποιείται ευρέως στη φυσική, χημεία, μηχανική, μαθηματική βιολογία, τα οικονομικά και τα μαθηματικά. Η γραφική παράσταση της έχει θετική κλίση,, η οποία και αυξάνεται όλο και περισσότερο όσο το παίρνει ολοένα και μεγαλύτερες τιμές. Η γραφική παράσταση βρίσκεται πάνω από τον άξονα των x και πλησιάζει σ’ αυτόν ασυμπτωτικά όταν το απειρίζεται αρνητικά, δηλαδή ο άξονας των x είναι οριζόντια ασύμπτωτη της καμπύλης. Η κλίση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης σε κάθε σημείο της, είναι ίση με την τεταγμένη του σημείου αυτού. Η συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη και η αντίστροφη συνάρτηση είναι ο φυσικός λογάριθμος . Λόγω αυτού, κάποια παλιά κείμενα αναφέρονται στην εκθετική συνάρτηση ως αντιλογάριθμο. Μερικές φορές ο όρος "εκθετική συνάρτηση" χρησιμοποιείται γενικότερα για συναρτήσεις της μορφής , όπου η βάση είναι οποιοσδήποτε θετικός πραγματικός αριθμός, κι όχι απαραίτητα ο αριθμός , ενώ ο είναι σταθερός μη μηδενικός πραγματικός αριθμός. Δείτε την γι'αυτή τη χρήση της. Γενικά, η μεταβλητή x μπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγματικός ή μιγαδικός αριθμός, ή ακόμα κι ένα εντελώς διαφορετικού είδους . Συμβουλευτείτε τον . (el) La eksponenta funkcio, aŭ eksponencialo, estas unu de la plej gravaj funkcioj en matematiko. Ĝi estas skribita kiel exp(x) aŭ ex, kie e egalas proksimume al 2.71828183 kaj estas la bazo de la natura logaritmo. Kiel funkcio de la reela variablo x, la grafikaĵo de ex estas ĉiam pozitiva (super la absciso (x-akso)) kaj rapide pligrandiĝas por x>0. de eksponenta funkcio, la natura logaritmo, ln(x), estas difinita por ĉiuj pozitivaj x. Iam, aparte en la naturscienco, la termino eksponenta funkcio estas uzata por ĉiuj funkcioj laŭ la formo kax,kie a. nomata la bazo, estas iu ajn pozitiva reela nombro. Ĉi tiu artikolo fokusiĝas pri la eksponenta funkcio kun bazo e. Ĝenerale, la variablo x povas esti reela aŭ kompleksa nombro, aŭ eĉ de tute alia speco de matematika objekto; vidi la formalan difinon pli sube. (eo) In der Mathematik bezeichnet man als Exponentialfunktion eine Funktion der Form mit einer reellen Zahl als Basis (Grundzahl). In der gebräuchlichsten Form sind dabei für den Exponenten die reellen Zahlen zugelassen. Im Gegensatz zu den Potenzfunktionen, bei denen die Basis die unabhängige Größe (Variable) und der Exponent fest vorgegeben ist, ist bei Exponentialfunktionen der Exponent (auch Hochzahl) des Potenzausdrucks die Variable und die Basis fest vorgegeben. Darauf bezieht sich auch die Namensgebung. Exponentialfunktionen haben in den Naturwissenschaften, z. B. bei der mathematischen Beschreibung von Wachstumsvorgängen, eine herausragende Bedeutung (siehe exponentielles Wachstum). Als natürliche Exponentialfunktion oder e-Funktion bezeichnet man die Exponentialfunktion mit der eulerschen Zahl als Basis; gebräuchlich hierfür ist auch die Schreibweise . Diese Funktion hat gegenüber den anderen Exponentialfunktionen besondere Eigenschaften. Unter Verwendung des natürlichen Logarithmus lässt sich mit der Gleichung jede Exponentialfunktion auf eine solche zur Basis zurückführen. Deshalb befasst sich dieser Artikel im Wesentlichen mit der Exponentialfunktion zur Basis . (de) The exponential function is a mathematical function denoted by or (where the argument x is written as an exponent). Unless otherwise specified, the term generally refers to the positive-valued function of a real variable, although it can be extended to the complex numbers or generalized to other mathematical objects like matrices or Lie algebras. The exponential function originated from the notion of exponentiation (repeated multiplication), but modern definitions (there are several equivalent characterizations) allow it to be rigorously extended to all real arguments, including irrational numbers. Its ubiquitous occurrence in pure and applied mathematics led mathematician Walter Rudin to opine that the exponential function is "the most important function in mathematics". The exponential function satisfies the exponentiation identity which, along with the definition , shows that for positive integers n, and relates the exponential function to the elementary notion of exponentiation. The base of the exponential function, its value at 1, , is a ubiquitous mathematical constant called Euler's number. While other continuous nonzero functions that satisfy the exponentiation identity are also known as exponential functions, the exponential function exp is the unique real-valued function of a real variable whose derivative is itself and whose value at 0 is 1; that is, for all real x, and Thus, exp is sometimes called the natural exponential function to distinguish it from these other exponential functions, which are the functions of the form where the base b is a positive real number. The relation for positive b and real or complex x establishes a strong relationship between these functions, which explains this ambiguous terminology. The real exponential function can also be defined as a power series. This power series definition is readily extended to complex arguments to allow the complex exponential function to be defined. The complex exponential function takes on all complex values except for 0 and is closely related to the complex trigonometric functions, as shown by Euler's formula. Motivated by more abstract properties and characterizations of the exponential function, the exponential can be generalized to and defined for entirely different kinds of mathematical objects (for example, a square matrix or a Lie algebra). In applied settings, exponential functions model a relationship in which a constant change in the independent variable gives the same proportional change (that is, percentage increase or decrease) in the dependent variable. This occurs widely in the natural and social sciences, as in a self-reproducing population, a fund accruing compound interest, or a growing body of manufacturing expertise. Thus, the exponential function also appears in a variety of contexts within physics, computer science, chemistry, engineering, mathematical biology, and economics. The real exponential function is a bijection from to . Its inverse function is the natural logarithm, denoted or because of this, some old texts refer to the exponential function as the antilogarithm. (en) En matemáticas, una función exponencial es una función de la forma en el que el argumento x se presenta como un exponente. Una función de la forma también es una función exponencial, ya que puede reescribirse como: Como funciones de una variable real, las funciones exponenciales se caracterizan únicamente por el hecho de que la tasa de crecimiento de dicha función (es decir, su derivada) es directamente proporcional al valor de la función. La constante de proporcionalidad de esta relación es el logaritmo natural de la base b: La constante e = 2.71828... es la base única para la cual la constante de proporcionalidad es 1, de modo que la derivada de la función es en sí misma: Dado que el cambio de la base de la función exponencial simplemente da como resultado la aparición de un factor constante adicional, es computacionalmente conveniente reducir el estudio de las funciones exponenciales en el análisis matemático al estudio de esta función particular, llamada convencionalmente la "función exponencial natural", o simplemente, "la función exponencial" y denotada por o bienSi bien ambas notaciones son comunes, la primera se usa generalmente para los exponentes más simples, mientras que la última tiende a usarse cuando el exponente es una expresión complicada. La función exponencial satisface la identidad multiplicativa fundamental para todo Esta identidad se extiende a los exponentes de valores complejos. Se puede mostrar que cada solución continua, distinta de cero, de la ecuación funcional es una función exponencial, con La identidad multiplicativa fundamental, junto con la definición del número e como e1, muestra que para enteros positivos n y relaciona la función exponencial con la noción elemental de exponenciación. El argumento de la función exponencial puede ser cualquier número real o complejo o incluso un tipo de objeto matemático completamente diferente (por ejemplo, una matriz). Su omnipresente aparición en matemáticas puras y aplicadas ha llevado al matemático W. Rudin a opinar que la función exponencial es "la función más importante en matemáticas". En los ajustes aplicados, las funciones exponenciales modelan una relación en la que un cambio constante en la variable independiente proporciona el mismo cambio proporcional (es decir, aumento o disminución de porcentaje) en la variable dependiente. Esto ocurre ampliamente en las ciencias naturales y sociales; por lo tanto, la función exponencial también aparece en una variedad de contextos dentro de la física, la química, la ingeniería, la biología matemática y la economía. La gráfica de está inclinada hacia arriba, y aumenta más rápido a medida que x aumenta. El gráfico siempre se encuentra por encima del eje x, pero puede estar arbitrariamente cerca de él para x negativo; Así, el eje x es una asíntota horizontal. La pendiente de la tangente a la gráfica en cada punto es igual a su coordenada y en ese punto, como lo indica su función derivada. Su función inversa es el logaritmo natural, denotado o debido a esto, algunos textos antiguos se refiere a la función exponencial como el antilogaritmo. (es) Matematikan, funtzio esponentziala x argumentua berretzaile gisa aurkezten den formako funtzioa da. formako funtzio bat funtzio esponentziala ere bada, honela berridatz baitaiteke: Aldagai erreal baten funtzio gisa, funtzio esponentzialen ezaugarri bakarra da funtzio horren hazkunde-tasa (hau da, deribatua) funtzioaren balioarekiko zuzenki proportzionala dela. Erlazio horren proportzionaltasun-konstantea b oinarrian logaritmo naturala da e = 2.71828... konstantea da proportzionaltasun-konstantea 1 den oinarri bakarra, eta, beraz, funtzioaren deribatua berez da: Funtzio esponentzialaren oinarriaren aldaketak faktore konstante gehigarri baten agerpena besterik ez duenez ematen emaitza gisa, konputazionalki komenigarria da analisi matematikoan funtzio esponentzialen azterketa funtzio partikular honen azterketara murriztea, konbentzionalki "funtzio esponentzial naturala" deitua, edo besterik gabe, "Funtzio esponentziala" eta honakoek adierazten dutena: edo Bi notazio horiek komunak diren arren, lehena, eskuarki, adierazlerik sinpleenentzat erabiltzen da, azkena, berriz, adierazlea adierazpen konplikatua denean erabiltzera jotzen duen bitartean. Funtzio esponentzialak biderketa-identitate funtsezkoa betetzen du guztientzat. Identitate hori balio konplexuen berretzaileetara zabaltzen da. Ikus daitekeenez, ebazpen jarraitu bakoitza, zeroz bestelakoa, funtzio esponentzial bat da, oinarrizko biderketa-identitatea duena, e zenbakia e1 gisa definitzearekin batera, erakusten du n osoko positiboetarako funtzio esponentziala esponentzialaren oinarrizko nozioarekin erlazionatzen duela. Funtzio esponentzialaren argumentua edozein zenbaki erreal edo konplexu izan daiteke, baita erabat desberdina den matematika-objektu mota bat ere (adibidez, matrize bat). Matematika puru eta aplikatuetan nonahi agertzeak W. Rudin matematikaria pentsarazi du funtzio esponentziala "matematikako funtzio garrantzitsuena" dela. Aplikatutako doikuntzetan, funtzio esponentzialek erlazio bat modelatzen dute, non aldagai askeko aldaketa konstante batek mendeko aldagaiaren aldaketa proportzional bera ematen baitu (hau da, ehunekoaren igoera edo murrizketa). Hori asko gertatzen da natur eta gizarte-zientzietan; beraz, funtzio esponentziala fisikaren, kimikaren, ingeniaritzaren, eta ekonomiaren barruko hainbat testuingurutan ere agertzen da. -ren grafikoa gorantz inklinatuta dago, eta x handitu ahala azkarrago handitzen da. Grafikoa beti x ardatzaren gainetik dago, baina x negatiboarentzat arbitrarioki hurbil egon daiteke; x ardatza asintota horizontal bat da. Grafikoaren ukitzailearen malda puntu bakoitzean bere koordenatuaren berdina da, eta puntu horretan, bere funtzio deribatuak adierazten duen bezala. Alderantzizko funtzioa logaritmo naturala da, edo gisa idatzia, edo horren ondorioz, testu zahar batzuk funtzio esponentzialari antilogaritmo deitzen diote. (eu) En analyse réelle, l'exponentielle de base a est la fonction notée expa qui, à tout réel x, associe le réel ax. Elle n'a de sens que pour un réel a strictement positif. Elle étend à l'ensemble des réels la fonction, définie sur l'ensemble des entiers naturels, qui à l'entier n associe an. C'est donc la version continue d'une suite géométrique. Elle s'exprime à l'aide des fonctions usuelles exponentielle et logarithme népérien sous la forme Elle peut être définie comme la seule fonction continue sur ℝ, prenant la valeur a en 1 et transformant une somme en produit. Pour a différent de 1, c'est la réciproque de la fonction logarithme de base a. On appelle d'ailleurs parfois ces fonctions les fonctions antilogarithmes. Le cas a = e correspond aux fonctions exponentielle et logarithme népérien. Les fonctions exponentielles sont les seules fonctions dérivables sur ℝ, proportionnelles à leur dérivée et prenant la valeur 1 en 0. Elles permettent de modéliser les phénomènes physiques ou biologiques dans lesquels la vitesse de croissance est proportionnelle à la taille de la population. On trouve aussi le terme de fonctions exponentielles pour des fonctions dont l'expression est N ax. (fr) Sa mhatamaitic, is é is feidhm easpónantúil ann ná feidhm ina bhfuil an athróg ina heaspónant, mar shampla, . Feidhm easpónantúil thábhachtach is ea a bhfuil mar airí aici, . Mar sin, tá ráta fáis i gcomhréir bheacht lena mhéid. De réir mar a fhásann , is amhlaidh is mó a ráta fáis, agus tugtar fás easpónantúil nó scaoilte ar a leithéid. Ina fhoirm ghinearálta, , samhlaíonn an slonn seo próisis fhisiciúla cosúil le dlíthe an fháis (k dearfach) is an mheata (k diúltach), díluchtú toilleora agus meath radaighníomhach. Is í seo an tsraith easpónantúil: Is féidir na feidhmeanna triantánacha a shainmhíníu i dtéarmaí easpónant mar seo: , agus . Chruthaigh Euler an toradh suntasach . (ga) Fungsi eksponensial adalah salah satu fungsi yang paling penting dalam matematika. Biasanya, fungsi ini ditulis dengan notasi exp(x) atau ex, di mana e adalah basis logaritma natural yang kira-kira sama dengan 2.71828183. Sebagai fungsi variabel bilangan real x, grafik ex selalu positif (berada di atas sumbu x) dan nilainya bertambah (dilihat dari kiri ke kanan). Grafiknya tidak menyentuh sumbu x, tetapi mendekati sumbu tersebut secara . Invers dari fungsi ini, logaritma natural, atau ln(x), didefinisikan untuk nilai x yang positif. Secara umum, variabel x dapat berupa bilangan real atau bilangan kompleks, ataupun objek matematika yang lain; lihat . (in) En mathématiques, la fonction exponentielle est la fonction notée exp qui est égale à sa propre dérivée et prend la valeur 1 en 0. Elle est utilisée pour modéliser des phénomènes dans lesquels une différence constante sur la variable conduit à un rapport constant sur les images. Ces phénomènes sont en croissance dite « exponentielle ». On note e la valeur de cette fonction en 1. Ce nombre e qui vaut approximativement 2,71828 s'appelle la base de la fonction exponentielle et permet une autre notation de la fonction exponentielle : . La fonction exponentielle est la seule fonction continue sur ℝ qui transforme une somme en produit et qui prend la valeur e en 1. C'est un cas particulier des fonctions de ce type appelées exponentielles de base a. On peut la déterminer comme limite de suite ou à l'aide d'une série entière. C'est la bijection réciproque de la fonction logarithme népérien. Ces diverses définitions permettent d'étendre la définition de la fonction exponentielle à des fonctions de ℂ vers ℂ* ou même à des espaces plus compliqués et s'utilise alors en géométrie riemannienne, dans la théorie des groupes de Lie, ou encore dans l'étude des algèbres de Banach. Les applications élémentaires des fonctions exponentielles réelles ou complexes concernent la résolution des équations différentielles, la mise en place de la théorie de Fourier… mais les champs d'applications des fonctions exponentielles sont extrêmement vastes : étude de la croissance des groupes, etc. On appelle aussi parfois fonction exponentielle toute fonction dont l'expression est de la forme f(x) = Aeλx. (fr) 実解析における底 a の指数函数（しすうかんすう、英: exponential of base a）expa は、実数 x を実数 ax へ写す函数である。これが実函数として意味を持つのは a が真に正の実数であるときに限る。これは自然数全体で定義された n を an へ写す函数の、実数全体を定義域とする拡張である。したがってこれを、幾何数列の連続版と見ることができる。自然指数函数と自然対数函数を用いれば、 と書くことができる。a を底とする指数函数を、1 において値 a をとり、和を積に変換する、ℝ 上で定義された唯一の連続函数として定義することもできる。a ≠ 1 に対し、底 a の対数函数の逆函数であり、その意味でこれらを（真数函数）と呼ぶこともある。a = e のとき、自然指数・自然対数に対応する。自然指数函数は、自身の導函数に比例し、0 において値 1 をとる唯一の ℝ 上の可微分函数である。 これらは母集団の大きさに比例する増大率を持つ物理的・生物学的現象のモデルとして用いることができる。 より一般に、適当なスカラー倍 N⋅ax も含めた意味で指数函数と呼ぶ場合もあるが、本項ではそのような意味では用いない。 (ja) 実解析における指数関数（しすうかんすう、英: exponential function）は、冪における指数 (exponent) を変数として、その定義域を主に実数の全体へ拡張して定義される初等超越関数の一種である。対数関数の逆関数であるため、逆対数 (anti-logarithm, inverse logarithm) と呼ばれることもある。自然科学において、指数関数は量の増加度に関する数学的な記述を与えるものとして用いられる（指数関数的増加や指数関数的減衰の項を参照）。 一般に、a > 0 かつ a ≠ 1 なる定数 a に関して、（主に実数の上を亙る）変数 x を ax へ送る関数は、「a を底とする指数函数」と呼ばれる。「指数関数」との名称は、与えられた底に関して冪指数を変数とする関数であることを示唆するものであり、冪指数を固定して底を独立変数とする冪関数とは対照的である。 しばしば、より狭義の関数を意図して単に「指数関数」と呼ぶこともある。そのような標準的な (the) 指数関数（あるいはより明示的に「自然指数関数」）はネイピア数 e (= 2.718281828…) を底とする関数 x ↦ ex である。これを exp x のようにも書く。この関数は、導関数が自分自身に一致するなど、他の指数関数と比べて著しく特異な性質を持つ。底 e を他の底 a に取り換えるには自然対数 ln x を用いて、等式 を適用すればよいから、以下本項では主に自然指数関数について記述し、多くの場合「指数関数」は自然指数関数の意味で用いる。 (ja) 지수 함수(指數函數, 영어: exponential function)란 거듭제곱의 지수를 변수로 하고, 정의역을 실수 전체로 정의하는 초월함수이다. 로그 함수의 역함수이다. (ko) In matematica, la funzione esponenziale è la funzione che associa a un valore l'elevamento a potenza con base il numero di Eulero ed esponente . La scelta della base è motivata dal fatto che, in questo modo, la derivata della funzione esponenziale è la funzione esponenziale stessa. Viene solitamente rappresentata come , oppure quando è difficile scrivere la variabile come un esponente. Riveste una grande importanza in moltissimi ambiti della matematica, come la trigonometria, lo studio delle equazioni differenziali, la teoria degli sviluppi di Taylor, lo studio delle trasformate integrali. Può essere definita, oltre che sui numeri reali, anche sui numeri complessi o anche su oggetti più complicati, come ad esempio matrici quadrate o operatori. È inoltre la funzione inversa della funzione logaritmo. (it) De exponentiële functie, genoteerd als of als , is een functie van de exponent met grondtal het getal , het grondtal van de natuurlijke logaritme. De exponentiële functie is een belangrijke, veelgebruikte functie in de wiskunde. (nl) Funkcja wykładnicza – funkcja postaci: gdzie Niektórzy autorzy wymagają, aby podstawa funkcji wykładniczej była różna od 1, ponieważ dla funkcja jest funkcją stałą. (pl) A função exponencial natural, denotada ex ou exp(x) é a função exponencial cuja base é o número de Euler (um número irracional que vale aproximadamente 2,718281828). A exponencial natural é caracterizada por ser idêntica à sua própria derivada. A função exponencial natural surge na teoria das equações diferenciais na de grandezas que variam de forma proporcional a si mesmas aparecendo em problemas em física, química, engenharia, biologia matemática e economia. O gráfico de y = ex é uma curva de inclinação positiva e crescente. O gráfico está totalmente acima do eixo das abcissas e cresce mais rápido à medida que x aumenta. O eixo x é uma assíntota horizontal pois a curva se aproxima arbitrariamente de zero quando x é negativo. A declividade da reta tangente é sempre igual à coordenada y no ponto de tangência. A função inversa é o logaritmo natural ln(x), em função disso, alguns textos antigos se referem à função exponencial natural como antilogaritmo. Em geral, a variável x pode ser qualquer número real ou complexo. A função exponencial natural pode ser generalizada na função exponencial matricial ou, mesmo, para objetos matemáticos completamente distintos, ver, por exemplo, teorema espectral. No estudo da análise matemática, a função exponencial natural em conjunto com o logaritmo natural pode ser usada para definir a função exponencial y=ax como y=eln(a)x onde a>0 e a≠1. (pt) Chama-se função exponencial a função tal que em que , . O número é chamado de base da função. A função exponencial pode ser crescente ou decrescente a depender do valor da base. Se , a função é crescente. Caso a função é decrescente. (pt) Exponentialfunktioner är en klass av matematiska funktioner som kännetecknas av att funktionsvärdets ändringstakt är proportionell mot funktionsvärdet. Exempelvis kan ränta på ränta beräknas som där rx är en exponentialfunktion, den årliga räntefaktorn är r (till exempel 1,10 för 10 % ränta) och x antalet år. Exponentialfunktionerna kan skrivas på flera former, exempelvis * * * Då det talas om exponentialfunktionen (i bestämd form), avses funktionen f(x) = ex (skrivs även som exp(x) i de flesta programspråk). Talet e är den naturliga logaritmens bas och har egenskapen att det vill säga, exponentialfunktionen är sin egen derivata. Därför är det ofta lämpligt att skriva om exponentialfunktioner till basen e när de används exempelvis vid deriveringar eller i differentialekvationer. (sv) Показательная функция — математическая функция , где называется основанием степени, а — показателем степени. * В вещественном случае основание степени — некоторое неотрицательное вещественное число (для отрицательных чисел возведение в вещественную нецелочисленную степень не определено), а аргументом функции является вещественный показатель степени. * В теории комплексных функций рассматривается более общий случай, когда аргументом и показателем степени может быть произвольное комплексное число. * В самом общем виде — , введена Лейбницем в 1695 г. Особо выделяется случай, когда в качестве основания степени выступает число e. Такая функция называется экспонентой (вещественной или комплексной). При этом из-за того, что любое положительное основание может быть представлено в виде степени числа е, понятие «экспонента» часто употребляют вместо понятия «показательная функция». (ru) Експонента — показникова функція , де — число Ейлера . (uk) Экспоне́нта — показательная функция , где — число Эйлера. (ru) Показнико́ва, або експоненці́йна фу́нкція (англ. exponential function) — функція виду , де — стале число (додатне, але відмінне від одиниці). У дійсному випадку основа степеня — деяке додатне дійсне число, а аргументом функції є дійсний показник степеня. Показникова функція узагальнюється в теорії комплексних функцій, де аргумент і показник степеня можуть бути довільними комплексними числами. У найзагальнішому вигляді — , введена Лейбніцем 1695 року. Особливо виділяється випадок, коли як основа степеня виступає число e. Така функція називається експоне́нтою (дійсною або комплексною). (uk) 指数函数（英語：Exponential function）是形式為的數學函数，其中是底數（或稱基數，base），而是指數（index / exponent）。 現今指數函數通常特指以為底數的指數函數（即），為数学中重要的函数，也可寫作。这里的是数学常数，也就是自然对数函数的底数，近似值为，又称为欧拉数。 作为实数变量的函数，的图像总是正的（在轴之上）并递增（从左向右看），它不触及轴，尽管它可以任意程度的靠近它，即轴是这个图像的水平渐近线。一般的说，变量可以是任何实数或复数，甚至是完全不同种类的数学对象。它的反函数是定义在所有正数上的自然对数。 本文集中于带有底数为欧拉数的指数函数。有时，特别是在科学中，术语指数函数更一般性的用于形如的函数，这里的称为底数，是不等于的任何正实数。 (zh) |
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| rdfs:comment | الدالة الأسية (بالإنجليزية: Exponential Function) هي كل دالة تُكتب على الشكل حيث و عدد حقيقي موجب لا يساوي 1، إذا كان فإن الدالة تكون تناقصية وتسمى دالة تضاؤل أسي، أما إذا كان فإن الدالة تكون تزايدية وتسمى دالة نمو أسي. (ar) Sa mhatamaitic, is é is feidhm easpónantúil ann ná feidhm ina bhfuil an athróg ina heaspónant, mar shampla, . Feidhm easpónantúil thábhachtach is ea a bhfuil mar airí aici, . Mar sin, tá ráta fáis i gcomhréir bheacht lena mhéid. De réir mar a fhásann , is amhlaidh is mó a ráta fáis, agus tugtar fás easpónantúil nó scaoilte ar a leithéid. Ina fhoirm ghinearálta, , samhlaíonn an slonn seo próisis fhisiciúla cosúil le dlíthe an fháis (k dearfach) is an mheata (k diúltach), díluchtú toilleora agus meath radaighníomhach. Is í seo an tsraith easpónantúil: Is féidir na feidhmeanna triantánacha a shainmhíníu i dtéarmaí easpónant mar seo: , agus . Chruthaigh Euler an toradh suntasach . (ga) 実解析における底 a の指数函数（しすうかんすう、英: exponential of base a）expa は、実数 x を実数 ax へ写す函数である。これが実函数として意味を持つのは a が真に正の実数であるときに限る。これは自然数全体で定義された n を an へ写す函数の、実数全体を定義域とする拡張である。したがってこれを、幾何数列の連続版と見ることができる。自然指数函数と自然対数函数を用いれば、 と書くことができる。a を底とする指数函数を、1 において値 a をとり、和を積に変換する、ℝ 上で定義された唯一の連続函数として定義することもできる。a ≠ 1 に対し、底 a の対数函数の逆函数であり、その意味でこれらを（真数函数）と呼ぶこともある。a = e のとき、自然指数・自然対数に対応する。自然指数函数は、自身の導函数に比例し、0 において値 1 をとる唯一の ℝ 上の可微分函数である。 これらは母集団の大きさに比例する増大率を持つ物理的・生物学的現象のモデルとして用いることができる。 より一般に、適当なスカラー倍 N⋅ax も含めた意味で指数函数と呼ぶ場合もあるが、本項ではそのような意味では用いない。 (ja) 지수 함수(指數函數, 영어: exponential function)란 거듭제곱의 지수를 변수로 하고, 정의역을 실수 전체로 정의하는 초월함수이다. 로그 함수의 역함수이다. (ko) De exponentiële functie, genoteerd als of als , is een functie van de exponent met grondtal het getal , het grondtal van de natuurlijke logaritme. De exponentiële functie is een belangrijke, veelgebruikte functie in de wiskunde. (nl) Funkcja wykładnicza – funkcja postaci: gdzie Niektórzy autorzy wymagają, aby podstawa funkcji wykładniczej była różna od 1, ponieważ dla funkcja jest funkcją stałą. (pl) Chama-se função exponencial a função tal que em que , . O número é chamado de base da função. A função exponencial pode ser crescente ou decrescente a depender do valor da base. Se , a função é crescente. Caso a função é decrescente. (pt) Експонента — показникова функція , де — число Ейлера . (uk) Экспоне́нта — показательная функция , где — число Эйлера. (ru) Показнико́ва, або експоненці́йна фу́нкція (англ. exponential function) — функція виду , де — стале число (додатне, але відмінне від одиниці). У дійсному випадку основа степеня — деяке додатне дійсне число, а аргументом функції є дійсний показник степеня. Показникова функція узагальнюється в теорії комплексних функцій, де аргумент і показник степеня можуть бути довільними комплексними числами. У найзагальнішому вигляді — , введена Лейбніцем 1695 року. Особливо виділяється випадок, коли як основа степеня виступає число e. Така функція називається експоне́нтою (дійсною або комплексною). (uk) 指数函数（英語：Exponential function）是形式為的數學函数，其中是底數（或稱基數，base），而是指數（index / exponent）。 現今指數函數通常特指以為底數的指數函數（即），為数学中重要的函数，也可寫作。这里的是数学常数，也就是自然对数函数的底数，近似值为，又称为欧拉数。 作为实数变量的函数，的图像总是正的（在轴之上）并递增（从左向右看），它不触及轴，尽管它可以任意程度的靠近它，即轴是这个图像的水平渐近线。一般的说，变量可以是任何实数或复数，甚至是完全不同种类的数学对象。它的反函数是定义在所有正数上的自然对数。 本文集中于带有底数为欧拉数的指数函数。有时，特别是在科学中，术语指数函数更一般性的用于形如的函数，这里的称为底数，是不等于的任何正实数。 (zh) En sentit ampli, una funció exponencial és qualsevol funció del tipus ax, una potenciació on la base a és qualsevol nombre real positiu i l'exponent x és la variable. De manera encara més general, s'anomenen així les funcions múltiples d'aquestes, de la forma kax amb k real (vegeu Creixement exponencial). En llenguatge menys precís, fins i tot es pot anomenar exponencial qualsevol funció formada a partir d'algun dels termes anteriors o que s'hi aproximi. Malgrat tot, el terme funció exponencial gairebé sempre es refereix a la funció exponencial en base e, que és la que tracta aquest article. (ca) Exponenciální funkce je matematická funkce ve tvaru , kde je kladné číslo různé od , které se nazývá základ. Číslu se říká exponent, grafem je exponenciála. Definičním oborem exponenciální funkce jsou všechna reálná, resp. všechna komplexní čísla (a lze ji rozšířit i na složitější objekty, zejména lineární operátory). Inverzní funkcí k exponenciále je logaritmus o stejném základu: Derivací exponenciály je tato exponenciála vynásobená přirozeným logaritmem základu: (cs) Στα μαθηματικά, η εκθετική συνάρτηση είναι η συνάρτηση με τύπο , όπου e είναι ο αριθμός Όιλερ (άρρητος αριθμός, περίπου ίσος με 2.718281828) για την οποία ισχύει ότι είναι ίση με την παράγωγό της. Η εκθετική συνάρτηση χρησιμοποιείται για να εκφράσει μια σχέση μεταξύ δύο μεταβλητών, σύμφωνα με την οποία μια σταθερή αύξηση ή μείωση στην ανεξάρτητη μεταβλητή προκαλεί μια επίσης σταθερή ποσοστιαία αύξηση ή μείωση αντίστοιχα στην εξαρτημένη μεταβλητή. Αντί του συμβόλου , συχνά χρησιμοποιείται το σύμβολο , ειδικά όταν δεν είναι βολικό να γραφεί στον εκθέτη η ανεξάρτητη μεταβλητή. Η εκθετική συνάρτηση χρησιμοποιείται ευρέως στη φυσική, χημεία, μηχανική, μαθηματική βιολογία, τα οικονομικά και τα μαθηματικά. (el) La eksponenta funkcio, aŭ eksponencialo, estas unu de la plej gravaj funkcioj en matematiko. Ĝi estas skribita kiel exp(x) aŭ ex, kie e egalas proksimume al 2.71828183 kaj estas la bazo de la natura logaritmo. Kiel funkcio de la reela variablo x, la grafikaĵo de ex estas ĉiam pozitiva (super la absciso (x-akso)) kaj rapide pligrandiĝas por x>0. de eksponenta funkcio, la natura logaritmo, ln(x), estas difinita por ĉiuj pozitivaj x. Ĝenerale, la variablo x povas esti reela aŭ kompleksa nombro, aŭ eĉ de tute alia speco de matematika objekto; vidi la formalan difinon pli sube. (eo) The exponential function is a mathematical function denoted by or (where the argument x is written as an exponent). Unless otherwise specified, the term generally refers to the positive-valued function of a real variable, although it can be extended to the complex numbers or generalized to other mathematical objects like matrices or Lie algebras. The exponential function originated from the notion of exponentiation (repeated multiplication), but modern definitions (there are several equivalent characterizations) allow it to be rigorously extended to all real arguments, including irrational numbers. Its ubiquitous occurrence in pure and applied mathematics led mathematician Walter Rudin to opine that the exponential function is "the most important function in mathematics". (en) In der Mathematik bezeichnet man als Exponentialfunktion eine Funktion der Form mit einer reellen Zahl als Basis (Grundzahl). In der gebräuchlichsten Form sind dabei für den Exponenten die reellen Zahlen zugelassen. Im Gegensatz zu den Potenzfunktionen, bei denen die Basis die unabhängige Größe (Variable) und der Exponent fest vorgegeben ist, ist bei Exponentialfunktionen der Exponent (auch Hochzahl) des Potenzausdrucks die Variable und die Basis fest vorgegeben. Darauf bezieht sich auch die Namensgebung. Exponentialfunktionen haben in den Naturwissenschaften, z. B. bei der mathematischen Beschreibung von Wachstumsvorgängen, eine herausragende Bedeutung (siehe exponentielles Wachstum). (de) Matematikan, funtzio esponentziala x argumentua berretzaile gisa aurkezten den formako funtzioa da. formako funtzio bat funtzio esponentziala ere bada, honela berridatz baitaiteke: Aldagai erreal baten funtzio gisa, funtzio esponentzialen ezaugarri bakarra da funtzio horren hazkunde-tasa (hau da, deribatua) funtzioaren balioarekiko zuzenki proportzionala dela. Erlazio horren proportzionaltasun-konstantea b oinarrian logaritmo naturala da e = 2.71828... konstantea da proportzionaltasun-konstantea 1 den oinarri bakarra, eta, beraz, funtzioaren deribatua berez da: Funtzio esponentzialaren oinarriaren aldaketak faktore konstante gehigarri baten agerpena besterik ez duenez ematen emaitza gisa, konputazionalki komenigarria da analisi matematikoan funtzio esponentzialen azterketa funtzio parti (eu) En matemáticas, una función exponencial es una función de la forma en el que el argumento x se presenta como un exponente. Una función de la forma también es una función exponencial, ya que puede reescribirse como: El argumento de la función exponencial puede ser cualquier número real o complejo o incluso un tipo de objeto matemático completamente diferente (por ejemplo, una matriz). (es) En mathématiques, la fonction exponentielle est la fonction notée exp qui est égale à sa propre dérivée et prend la valeur 1 en 0. Elle est utilisée pour modéliser des phénomènes dans lesquels une différence constante sur la variable conduit à un rapport constant sur les images. Ces phénomènes sont en croissance dite « exponentielle ». On note e la valeur de cette fonction en 1. Ce nombre e qui vaut approximativement 2,71828 s'appelle la base de la fonction exponentielle et permet une autre notation de la fonction exponentielle : . (fr) Fungsi eksponensial adalah salah satu fungsi yang paling penting dalam matematika. Biasanya, fungsi ini ditulis dengan notasi exp(x) atau ex, di mana e adalah basis logaritma natural yang kira-kira sama dengan 2.71828183. Sebagai fungsi variabel bilangan real x, grafik ex selalu positif (berada di atas sumbu x) dan nilainya bertambah (dilihat dari kiri ke kanan). Grafiknya tidak menyentuh sumbu x, tetapi mendekati sumbu tersebut secara . Invers dari fungsi ini, logaritma natural, atau ln(x), didefinisikan untuk nilai x yang positif. (in) En analyse réelle, l'exponentielle de base a est la fonction notée expa qui, à tout réel x, associe le réel ax. Elle n'a de sens que pour un réel a strictement positif. Elle étend à l'ensemble des réels la fonction, définie sur l'ensemble des entiers naturels, qui à l'entier n associe an. C'est donc la version continue d'une suite géométrique. Elle s'exprime à l'aide des fonctions usuelles exponentielle et logarithme népérien sous la forme Elle peut être définie comme la seule fonction continue sur ℝ, prenant la valeur a en 1 et transformant une somme en produit. (fr) In matematica, la funzione esponenziale è la funzione che associa a un valore l'elevamento a potenza con base il numero di Eulero ed esponente . La scelta della base è motivata dal fatto che, in questo modo, la derivata della funzione esponenziale è la funzione esponenziale stessa. Viene solitamente rappresentata come , oppure quando è difficile scrivere la variabile come un esponente. (it) 実解析における指数関数（しすうかんすう、英: exponential function）は、冪における指数 (exponent) を変数として、その定義域を主に実数の全体へ拡張して定義される初等超越関数の一種である。対数関数の逆関数であるため、逆対数 (anti-logarithm, inverse logarithm) と呼ばれることもある。自然科学において、指数関数は量の増加度に関する数学的な記述を与えるものとして用いられる（指数関数的増加や指数関数的減衰の項を参照）。 一般に、a > 0 かつ a ≠ 1 なる定数 a に関して、（主に実数の上を亙る）変数 x を ax へ送る関数は、「a を底とする指数函数」と呼ばれる。「指数関数」との名称は、与えられた底に関して冪指数を変数とする関数であることを示唆するものであり、冪指数を固定して底を独立変数とする冪関数とは対照的である。 を適用すればよいから、以下本項では主に自然指数関数について記述し、多くの場合「指数関数」は自然指数関数の意味で用いる。 (ja) A função exponencial natural, denotada ex ou exp(x) é a função exponencial cuja base é o número de Euler (um número irracional que vale aproximadamente 2,718281828). A exponencial natural é caracterizada por ser idêntica à sua própria derivada. A função exponencial natural surge na teoria das equações diferenciais na de grandezas que variam de forma proporcional a si mesmas aparecendo em problemas em física, química, engenharia, biologia matemática e economia. (pt) Показательная функция — математическая функция , где называется основанием степени, а — показателем степени. * В вещественном случае основание степени — некоторое неотрицательное вещественное число (для отрицательных чисел возведение в вещественную нецелочисленную степень не определено), а аргументом функции является вещественный показатель степени. * В теории комплексных функций рассматривается более общий случай, когда аргументом и показателем степени может быть произвольное комплексное число. * В самом общем виде — , введена Лейбницем в 1695 г. (ru) Exponentialfunktioner är en klass av matematiska funktioner som kännetecknas av att funktionsvärdets ändringstakt är proportionell mot funktionsvärdet. Exempelvis kan ränta på ränta beräknas som där rx är en exponentialfunktion, den årliga räntefaktorn är r (till exempel 1,10 för 10 % ränta) och x antalet år. Exponentialfunktionerna kan skrivas på flera former, exempelvis * * * Då det talas om exponentialfunktionen (i bestämd form), avses funktionen f(x) = ex (skrivs även som exp(x) i de flesta programspråk). Talet e är den naturliga logaritmens bas och har egenskapen att (sv) |
| rdfs:label | دالة أسية (ar) دالة أسية طبيعية (ar) Funció exponencial (ca) Exponenciální funkce (cs) Natürliche Exponentialfunktion (de) Exponential function (en) Exponentialfunktion (de) Εκθετική συνάρτηση (el) Eksponenta funkcio (eo) Función exponencial (es) Funtzio esponentzial (eu) Feidhm easpónantúil (ga) Fungsi eksponensial (in) Exponentielle de base a (fr) Fonction exponentielle (fr) Funzione esponenziale (it) 指数関数 (ja) 지수 함수 (ko) 底に関する指数函数 (ja) Exponentiële functie (nl) Funkcja wykładnicza (pl) Função exponencial (pt) Função exponencial natural (pt) Показательная функция (ru) Экспонента (ru) Показникова функція (uk) Exponentialfunktion (sv) 指数函数 (zh) Експонента (функція) (uk) 自然指数函数 (zh) |
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