Eigenvalues and eigenvectors (original) (raw)

About DBpedia

En álgebra lineal, los vectores propios, eigenvectores o autovectores de un operador lineal son los vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan lugar a un múltiplo escalar de sí mismos, con lo que no cambian su dirección. Este escalar recibe el nombre valor propio, autovalor o valor característico. A menudo, una transformación queda completamente determinada por sus vectores propios y valores propios. Un espacio propio, autoespacio o subespacio fundamental asociado al valor propio es el conjunto de vectores propios con un valor propio común.

thumbnail

Property Value
dbo:abstract En matemàtiques, i més concretament en àlgebra el concepte de vector propi és una noció que es refereix a una aplicació lineal d'un espai en si mateix. Correspon a l'estudi dels eixos privilegiats, en els quals l'aplicació es comporta com una dilatació (o si el mòdul del valor propi és més petit que 1), per tant, els vectors imatge en aquesta direcció corresponen als vectors origen multiplicats per una constant (si és negativa vol dir que canvien de sentit, però en cap cas no canvien de direcció). D'aquest factor que multiplica el vector origen per trobar el vector imatge se'n diu valor propi, el conjunt format per tots els vectors propis amb un mateix valor propi més el vector nul és un espai propi. Els gràfics de les figures 1 i 2 il·lustren aquestes nocions. El coneixement dels vectors i valors propis ofereix una informació clau sobre l'aplicació lineal en qüestió. Existeixen a més nombrosos casos en què aquest coneixement caracteritza totalment l'aplicació lineal. Aquest concepte originalment pertanyia a la branca de les matemàtiques anomenada àlgebra lineal. La seva utilització, tanmateix, avui en dia supera de lluny aquest marc. Intervé tant en matemàtiques pures com en matemàtiques aplicades. Apareix per exemple en geometria en l'estudi de les formes quadràtiques, o en anàlisi funcional. Permet resoldre problemes aplicats tan variats com el del moviment d'una , la classificació de les pàgines web per Google, la determinació de l'estructura de l'espaitemps en la teoria de la relativitat general, o l'estudi de l'equació de Schrödinger en mecànica quàntica. A banda de la terminologia habitual de valors i vectors propis n'hi ha d'altres força esteses. Per exemple, hi ha qui parla d'autovalor, autovector i autoespai. Seguint la nomenclatura original de l'alemany, també es fa servir la denominació de eigenvalor, eigenvector i eigenespai, on la paraula eigen precisament significa "propi". Una altra variant usada en mecànica i enginyeria és la de valor i vector característic (per la relació amb el polinomi característic). Finalment, sí que és molt freqüent l'ús de les abreviatures vap i vep, fins al punt d'utilitzar-se com a paraules a l'hora de formar plural (vaps i veps). (ca) القيمة الخاصة والمتجه الخاص والفضاء الخاص ويقال أيضا الذاتي في الرياضيات هي اصطلاحات متعلقة بالجبر الخطي. البادئة eigen مشتقة من الألمانية (تلفظ «أيْ-غِن») وتعني الخاص (بالفرنسي charactéristique وpropre) يهتم الجبر الخطي بدراسة التحويلات الخطية، والتي تمثلها مصفوفات مؤثرة على متجهات. تعد القيم الذاتية والمتجهات الذاتية والفراغات الذاتية خواص المصفوفة. يتم حسابها بواسطة طريقة تعطي معلومات عن المصفوفة ويمكن استعمالها في . لهذا النوع تطبيقاته الخاصة في مجالات الرياضيات التطبيقية وبشكل أوسع في التمويل وميكانيكا الكم. عموماً، تؤثر مصفوفة على متجه بتغيير كلاً من قيمته واتجاهه. لكن يمكن أن تؤثر المصفوفة على بعض المتجهات بتغيير قيمها مع الإبقاء على اتجاهاتها دون تغيير (أو ربما عكسها). تمثل هذه المتجهات متجهات ذاتية للمصفوفة. تؤثر مصفوفة على متجه ذاتي بضرب قيمته بعامل معين، والذي يكون موجباً عندما لايتغير اتجاهه وسالباً إن انعكس الاتجاه. يمثل هذا العامل القيمة الذاتية المصاحبة لذلك المتجه الذاتي. يكون الفضاء الذاتي مجموعة كل المتجهات الذاتية التي لها نفس القيمة الذاتية، معاً ومع المتجه الصفري. لا يمكن تعريف المفهوم بشكل رسمي بدون متطلبات أساسية، بما فيها فهم المصفوفات والمتجهات . بتعبير رسمي، إذا كانت A مصفوفة مربعة الشكل، فإن متجها لا صفريا x يكون متجها ذاتيا لA إذا وجد عدد λ حيث يسمى العدد λ قيمة ذاتية لA تقابل المتجه الذاتي x. (ar) Vlastní vektor lineárního operátoru je nenulový vektor, jehož směr se uplatněním operátoru nemění; může se měnit jeho velikost a orientace, což lze interpretovat jako násobení nenulovým skalárem. Tento skalár se nazývá vlastní číslo (též vlastní hodnota nebo charakteristické číslo) přidružené či příslušné uvažovanému vlastnímu vektoru. Geometricky se transformace vlastního vektoru operátorem projeví zvětšením/zmenšením vektoru buď bez změny orientace (kladné vlastní číslo) nebo s obrácením orientace (záporné vlastní číslo). Množina vlastních vektorů, které náleží stejnému vlastnímu číslu, se nazývá vlastní prostor operátoru přidružený k danému vlastnímu číslu. Vlastní vektor může mít v konkrétních aplikacích i jiná označení, je například zvykem říkat vlastní řešení (pokud je vektor řešením nějaké rovnice), vlastní funkce (pokud jde o funkci), vlastní stav (pokud vektor popisuje kvantový stav) apod. Vlastní čísla a vlastní vektory hrají důležitou roli nejen v lineární algebře, ale i funkcionální analýze, kybernetice nebo v kvantové fyzice. (cs) Ενα ιδιοδιάνυσμα ενός τετραγωνικού πίνακα είναι ένα μη μηδενικό διάνυσμα που, όταν πολλαπλασιαστεί με τον , ισούται με το αρχικό διάνυσμα, πολλαπλασιασμένο με έναν αριθμό , έτσι ώστε: Ο αριθμός ονομάζεται ιδιοτιμή του που αντιστοιχεί στο . Στην αναλυτική γεωμετρία, για παράδειγμα, ένα διάνυσμα με 3 στοιχεία, μπορεί να ταυτιστεί με ένα βέλος σε ένα τρισδιάστατο χώρο, ξεκινώντας από την αρχή των αξόνων. Σ'αυτην την περιπτωση, ένα ιδιοδιάνυσμα ενός 3x3 πίνακα είναι ένα βέλος η κατεύθυνση του οποίου ή διατηρείται, ή γίνεται ακριβώς η αντίθετη, μετά τον πολλαπλασιασμό με τον . Η αντίστοιχη ιδιοτιμή είναι αυτή που καθορίζει πως αλλάζει το μήκος του βέλους από τη διαδικασία, και εάν η κατεύθυνση του αντιστρέφεται ή όχι. Στην αφηρημένη γραμμική άλγεβρα, οι έννοιες αυτές συνήθως επεκτείνονται σε πιο γενικές καταστάσεις, όπου οι παράγοντες που χρησιμοποιούνται σε πραγματική κλίμακα, αντικαθίστανται από σώματα κάθε διάστασης (όπως για παράδειγμα οι αλγεβρικοί ή οι μιγαδικοί αριθμοί), οι καρτεσιανές συντεταγμένες που αντικαθίστανται από τυχαίους διανυσματικούς χώρους (όπως για παράδειγμα των συνεχών συναρτήσεων, των πολυωνύμων ή των ), και ο πολλαπλασιασμός πινάκων που αντικαθίσταται από κάθε γραμμικό τελεστή που απεικονίζει διανύσματα σε διανύσματα (όπως η παράγωγος από το διαφορικό λογισμό). Σ'αυτές τις περιπτώσεις, το "διάνυσμα" σε "ιδιοδιάνυσμα" μπορεί να αντικατασταθεί από έναν πιο ακριβή όρο, όπως "","","", ή "". Επομένως, για παράδειγμα, η εκθετική συνάρτηση είναι μια ιδιοσυνάρτηση του παράγωγου φορέα " ", με ιδιοτιμή , αφού η παράγωγος της είναι η . Το σύνολο όλων των ιδιοδιανυσμάτων ενός πίνακα (ή γραμμικού τελεστή), με το καθένα να ταιριάζει στην αντίστοιχη ιδιοτιμή του, καλείται το "ιδιοσύστημα" του πίνακα αυτού.Ο ιδιοχώρος ενός πίνακα είναι το σύνολο όλων των ιδιοδιανυσμάτων με την ίδια ιδιοτιμή, συμπεριλαμβανομένου και του μηδενικού διανύσματος. Μια ιδιοβάση του είναι κάθε βάση του συνόλου όλων των διανυσμάτων που αποτελείται απο γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα του . Ενας πίνακας με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς μπορεί να μην έχει καμία ιδιοτιμή, αλλά ένας πίνακας με στοιχεία μιγαδικούς αριθμούς, έχει πάντα τουλάχιστον μία μιγαδική ιδιοτιμή. Οι όροι χαρακτηριστικό διάνυσμα, χαρακτηριστικη τιμή, και χαρακτηριστικός χώρος χρησιμοποιούνται και σε αυτές τις έννοιες. Οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα έχουν πολλές εφαρμογές και στα θεωρητικά, αλλά και στα εφαρμοσμένα μαθηματικά. Χρησιμοποιούνται στην , στην Κβαντική μηχανική, και σε πολλούς άλλους τομείς. (el) En lineara algebro, ejgeno, aŭ ajgeno aŭ ankoraŭ propra valoro de kvadrata matrico A estas nombro λ tia ke por iu ne nula vektoro x veras egaleco Ax = λx , tiam la vektoro x estas ejgenvektoro, aŭ ajgenvektoro aŭ ankoraŭ propra vektoro, respektiva al la ajgeno λ. La bezono ke la ajgenvektoro esti ne nula estas ĉar la ekvacio A0 = λ0 (0 estas la nula vektoro) veras por ĉiu A kaj ĉiu λ. Pro tio ke la ekvacio estas tiam bagatele vera, ĉi tio ne estas interesa okazo. En kontrasto, ajgeno povas esti nulo en netriviala vojo. Ajgeno povas esti, kaj kutime estas, ankaŭ kompleksa nombro. En la difino donita pli supre, ajgenvektoroj kaj ajgenoj ne okazas sendepende. Anstataŭe, ĉiu ajgenvektoro estas asociita kun specifa ajgeno. Por ĉi tiu kaŭzo, ajgenvektoro x kaj respektiva ajgeno λ estas kune la ajgenparo. Matrico A prezentas linearan transformon de la vektora spaco - turnadon, , streĉon, kunpremon, aŭ kombinaĵon de ĉi tiuj. Vektoroj kiuj ne estas ajgenvektoroj (kutime plejparto de la vektoroj) ŝanĝas sian direkton kiam la lineara transformo difinita per la matrico A estas aplikata. Ajgenvektoroj ne ŝanĝas sian direkton kiam la lineara transformo difinita per la matrico estas aplikata, alivorte Ax estas paralela al x. Noto ke ĉi tie ŝanĝo de direkto estas en senco de iĝo neparalelan. Ŝanĝo de la direkto al la kontraŭa ne estas konsiderata kiel ŝanĝo de la direkto, kaj ĉi tia okazo respektivas al negativa ajgeno. La termino ajgeno (prefereble nomata ejgeno de PIV) originas de la germana vorto eigen (= propra, tipa), kiu estis uzata, en ĉi tiu kunteksto, de David Hilbert en 1904. Eigen tradukiĝas per la adjektivoj propra, karakteriza aŭ la prefiksece uzata aŭto-. (eo) In linear algebra, an eigenvector (/ˈaɪɡənˌvɛktər/) or characteristic vector of a linear transformation is a nonzero vector that changes at most by a scalar factor when that linear transformation is applied to it. The corresponding eigenvalue, often denoted by , is the factor by which the eigenvector is scaled. Geometrically, an eigenvector, corresponding to a real nonzero eigenvalue, points in a direction in which it is stretched by the transformation and the eigenvalue is the factor by which it is stretched. If the eigenvalue is negative, the direction is reversed. Loosely speaking, in a multidimensional vector space, the eigenvector is not rotated. (en) Ein Eigenvektor einer Abbildung ist in der linearen Algebra ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, dessen Richtung durch die Abbildung nicht verändert wird. Ein Eigenvektor wird also nur skaliert und man bezeichnet den Skalierungsfaktor als Eigenwert der Abbildung. Eigenwerte charakterisieren wesentliche Eigenschaften linearer Abbildungen, etwa ob ein entsprechendes lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist oder nicht. In vielen Anwendungen beschreiben Eigenwerte auch physikalische Eigenschaften eines mathematischen Modells. Die Verwendung des Präfixes „Eigen-“ für charakteristische Größen in diesem Sinne lässt sich auf eine Veröffentlichung von David Hilbert aus dem Jahre 1904 zurückführen und wird als Germanismus auch in einigen weiteren Sprachen, darunter dem Englischen, verwendet. Die im Folgenden beschriebene mathematische Problemstellung heißt spezielles Eigenwertproblem und bezieht sich nur auf lineare Abbildungen eines endlichdimensionalen Vektorraums in sich (Endomorphismen), wie sie durch quadratische Matrizen dargestellt werden. Hierbei stellt sich die Frage, unter welchen Bedingungen eine Matrix ähnlich zu einer Diagonalmatrix ist. (de) En álgebra lineal, los vectores propios, eigenvectores o autovectores de un operador lineal son los vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan lugar a un múltiplo escalar de sí mismos, con lo que no cambian su dirección. Este escalar recibe el nombre valor propio, autovalor o valor característico. A menudo, una transformación queda completamente determinada por sus vectores propios y valores propios. Un espacio propio, autoespacio o subespacio fundamental asociado al valor propio es el conjunto de vectores propios con un valor propio común. (es) Dalam aljabar linear, vektor eigen (eigenvector) atau vektor karakteristik dari suatu matriks berukuran adalah vektor tak nol yang hanya mengalami perubahan panjang ketika dikali dengan matriks tersebut. Nilai eigen (eigenvalue) yang berasosiasi dengan vektor tersebut, umumnya dilambangkan dengan , menyatakan besar perubahan panjang vektor yang terjadi. Secara umum dalam ruang vektor multidimensi, vektor eigen tidak mengalami rotasi ketika ditransformasikan oleh matriks. Hal ini berlaku untuk matriks dengan elemen bilangan real, dan akan mengalami rotasi ketika elemen berupa bilangan kompleks. Nilai eigen dan vektor eigen berguna dalam proses kalkulasi matriks, yang keduanya diterapkan dalam bidang matematika murni dan matematika terapan, contohnya pada transformasi linear. Ruang eigen dari merupakan ruang vektor yang dibentuk dari gabungan vektor nol dan kumpulan vektor eigen yang berasosiasi dengan . Istilah eigen sering kali dipadankan dengan istilah karakteristik, karena kata "eigen" yang berasal dari bahasa Jerman memiliki arti "asli", dalam konteks menjadi ciri khas atau karakteristik dari suatu sifat. (in) En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre linéaire, le concept de vecteur propre est une notion algébrique s'appliquant à une application linéaire d'un espace dans lui-même. Il correspond à l'étude des axes privilégiés, selon lesquels l'application se comporte comme une dilatation, multipliant les vecteurs par une même constante. Ce rapport de dilatation est appelé valeur propre, les vecteurs auxquels il s'applique s'appellent vecteurs propres, réunis en un espace propre. Le graphique de la figure 1 illustre ces notions. La connaissance des vecteurs et valeurs propres offre une information clé sur l'application linéaire considérée. De plus, il existe de nombreux cas où cette connaissance caractérise totalement l'application linéaire. Ce concept appartient à l'origine à une branche des mathématiques appelée algèbre linéaire. Son utilisation, cependant, dépasse maintenant de loin ce cadre. Il intervient aussi bien en mathématiques pures qu'appliquées. Il apparaît par exemple en géométrie dans l'étude des formes quadratiques, ou en analyse fonctionnelle. Il permet de résoudre des problèmes appliqués aussi variés que celui des mouvements d'une corde vibrante, le classement des pages web par Google, la détermination de la structure de l'espace-temps en théorie de la relativité générale, ou l'étude de l'équation de Schrödinger en mécanique quantique. Pour un article synthétique sur le sujet ne traitant que du contenu mathématique, voir : Valeur propre (synthèse). (fr) 선형대수학에서, 선형 변환의 고유벡터(固有vector, 영어: eigenvector 아이건벡터[*])는 그 선형 변환이 일어난 후에도 방향이 변하지 않는, 0이 아닌 벡터이다. 고유 벡터의 길이가 변하는 배수를 선형 변환의 그 고유 벡터에 대응하는 고윳값(固有값, 영어: eigenvalue 아이건밸류[*])이라고 한다. 선형 변환은 대개 고유 벡터와 그 고윳값만으로 완전히 설명할 수 있다. 고유 벡터와 고유값의 개념은 여러 응용수학 분야에서 중요한 위치를 차지하며, 특히 선형대수학, 함수해석학, 그리고 여러 가지 비선형 분야에서도 자주 사용된다. (ko) In matematica, in particolare in algebra lineare, un autovettore di una funzione tra spazi vettoriali è un vettore non nullo la cui immagine è il vettore stesso moltiplicato per uno scalare detto autovalore. Se la funzione è lineare, gli autovettori aventi in comune lo stesso autovalore, insieme con il vettore nullo, formano uno spazio vettoriale, detto autospazio. La nozione di autovettore viene generalizzata dal concetto di o autovettore generalizzato. I concetti di autovettore e autovalore sono utilizzati in molti settori della matematica e della fisica; il problema della ricerca degli autovalori di una funzione lineare corrisponde alla sua diagonalizzazione. Se un autovettore è una funzione, si parla di autofunzione; per esempio in meccanica classica è molto comune considerare la funzione esponenziale come autofunzione della derivata. Formalismi di questo tipo consentono di descrivere molti problemi relativi ad un sistema fisico: ad esempio, i modi di vibrazione di un corpo rigido o i livelli energetici degli orbitali atomici e molecolari sono associati ad autovettori (autostati) di funzioni (osservabili) che ne determinano la dinamica. Il termine autovettore è stato tradotto dalla parola tedesca Eigenvektor, coniata da Hilbert nel 1904. Eigen significa "proprio", "caratteristico". Analogamente il prefisso auto- usato nella versione italiana non è abbreviazione di "automatico", bensì è preso dal greco autós con significato "di sé stesso". Nella letteratura italiana si trova spesso l'autovettore indicato come vettore proprio, vettore caratteristico o vettore latente. (it) 数学の線型代数学において、線型変換の固有値 (英: eigenvalue) とは、零ベクトルでないベクトルを線型変換によって写したときに、写された後のベクトルが写される前のベクトルのスカラー倍になっている場合の、そのスカラー量（拡大率）のことである。この零ベクトルでないベクトルを固有ベクトル (英: eigenvector) という。この2つの用語を合わせて、固有対 (eigenpair) という。 固有値・固有ベクトルは線型変換の特徴を表す指標の一つである。 線形変換 T の固有値の一つを λ とすると、T の固有値 λ に関する固有ベクトルおよび零ベクトルは部分線形空間を形成し、固有空間 (英: eigenspace) という。 与えられた線型変換の固有値および固有ベクトルを求める問題のことを固有値問題 (英: eigenvalue problem) という。ヒルベルト空間論において線型作用素 あるいは線型演算子と呼ばれるものは線型変換であり、やはりその固有値や固有ベクトルを考えることができる。固有値という言葉は無限次元ヒルベルト空間論や作用素代数におけるスペクトルの意味でもしばしば使われる。 (ja) Wektory i wartości własne – wielkości opisujące endomorfizm danej przestrzeni liniowej; wektor własny przekształcenia można rozumieć jako wektor, którego kierunek nie ulega zmianie po przekształceniu go endomorfizmem; wartość własna odpowiadająca temu wektorowi to skala podobieństwa tych wektorów. Najczęściej przekształcenie liniowe wyraża się jako macierz, która działa na wektory; wówczas stosuje się nazwy wektor własny macierzy, wartość własna macierzy. W innych teoriach przekształcenia i elementy przestrzeni liniowej mogą mieć inne nazwy. Mówi się wtedy przykładowo o stanach własnych operatora, funkcjach własnych funkcjonału itp. (pl) In de lineaire algebra is een eigenvector van een lineaire transformatie (operator) een vector, anders dan de nulvector, die door de transformatie slechts van grootte veranderd wordt. Het beeld van een eigenvector onder de transformatie is een veelvoud van de vector zelf. De vermenigvuldigingsfactor heet eigenwaarde van de transformatie. In toepassingen in de natuurwetenschappen heet de eigenvector, die bij een eigenwaarde hoort, ook wel eigentoestand daar het een bijzondere toestand van het beschreven systeem betreft. De term "eigen" komt uit het Duits, waar het dezelfde betekenis heeft als in het Nederlands. Ook in het Engels zegt men "eigen". Hilbert gebruikte in 1904 deze terminologie voor het eerst (er was een eerder verwant gebruik door Helmholtz). In oudere verwijzingen wordt wel de term "karakteristiek" gebruikt, wat nog terugkomt in de benaming "karakteristieke polynoom". (nl) Em álgebra linear, um escalar λ diz-se um valor próprio, autovalor ou valor característico de um operador linear se existir um vetor x diferente de zero tal que . O vetor x é chamado vetor próprio, autovetor ou vetor característico. Os autovalores de uma dada matriz quadrada A de dimensão são os n números que resumem as propriedades essenciais daquela matriz. O autovalor de A é um número λ tal que, se for subtraído de cada entrada na diagonal de A, converte A numa matriz singular (ou não-invertível). Subtrair um escalar λ de cada entrada na diagonal de A é o mesmo que subtrair λ vezes a matriz identidade I de A. Portanto, λ é um autovalor se, e somente se, a matriz for singular. (pt) Egenvektorer till en kvadratisk matris är de nollskilda vektorer som bibehåller sin riktning efter multiplikation med matrisen. Till varje egenvektor hör en skalningsfaktor, ett egenvärde, med vilken vektorns storlek är ändrad efter matrismultiplikationen. Ett egenrum för ett egenvärde är det delrum som spänns upp av egenvektorerna som hör till egenvärdet. (sv) Со́бственный ве́ктор — понятие в линейной алгебре, определяемое для произвольного линейного оператора как ненулевой вектор, применение к которому оператора даёт коллинеарный вектор — тот же вектор, умноженный на некоторое скалярное значение (которое может быть равно 0). Скаляр, на который умножается собственный вектор под действием оператора, называется собственным числом (или собственным значением) линейного оператора, соответствующим данному собственному вектору. Одним из представлений линейного оператора является квадратная матрица, поэтому собственные векторы и собственные значения часто определяются в контексте использования таких матриц. Понятия собственного вектора и собственного числа являются одними из ключевых в линейной алгебре, на их основе строится множество конструкций. Это связано с тем, что многие соотношения, связанные с линейными операторами, существенно упрощаются в системе координат, построенной на базисе из собственных векторов оператора. Множество собственных значений линейного оператора (спектр оператора) характеризует важные свойства оператора без привязки к какой-либо конкретной системе координат. По этим причинам собственные векторы имеют важное прикладное значение. Так, например, собственные векторы часто встречаются в механике, квантовой теории и так далее. В частности, оператор проекции спина на произвольную ось имеет два собственных значения и соответствующие им собственные векторы. Понятие линейного векторного пространства не ограничивается «чисто геометрическими» векторами и обобщается на разнообразные множества объектов, таких как пространства функций (в которых действуют линейные дифференциальные и интегральные операторы). Для такого рода пространств и операторов говорят о собственных функциях операторов. Множество всех собственных векторов линейного оператора, соответствующих данному собственному числу, дополненное нулевым вектором, называется собственным подпространством этого оператора. Поиск оптимальных алгоритмов вычисления собственных значений для заданного линейного оператора является одной из важных задач вычислительной математики. (ru) Вла́сний ве́ктор (англ. eigenvector) квадратної матриці (з вла́сним зна́ченням (англ. eigenvalue) ) — це ненульовий вектор , для якого виконується співвідношення де це певний скаляр, тобто дійсне або комплексне число. Тобто, власні вектори матриці — це ненульові вектори, які під дією лінійного перетворення, що задається матрицею не міняють напрямку, але можуть змінювати довжину на коефіцієнт . Матриця розмірами має не більше власних векторів, та власних значень, що відповідають їм. Співвідношення (*) має сенс також для лінійного оператора у векторному просторі Якщо цей простір — скінченновимірний, то оператор можна записати у вигляді матриці відносно до певного базису Оскільки власні вектори і власні значення означено без застосування координат, вони незалежать від вибору базису. Тому подібні матриці мають однакові власні значення. (uk) 在数学上，特别是线性代数中，对于一个给定的方阵，它的特征向量（eigenvector，也譯固有向量、本征向量） 经过这个线性变换之后，得到的新向量仍然与原来的 保持在同一條直線上，但其长度或方向也许會改变。即 ， 為純量，即特征向量的长度在该线性变换下缩放的比例，称 为其特征值（eigenvalue，也譯固有值、本征值）。如果特徵值為正，则表示 在经过线性变换的作用后方向也不变；如果特徵值為負，说明方向会反转；如果特征值为0，则是表示缩回零点。但无论怎样，仍在同一条直线上。图1给出了一个以著名油画《蒙娜丽莎》为题材的例子。在一定条件下（如其矩阵形式为实对称矩阵的线性变换），一个变换可以由其特征值和特征向量完全表述，也就是說：所有的特徵向量組成了這向量空間的一組基底。一个特征空间（eigenspace）是具有相同特征值的特征向量与一个同维数的零向量的集合，可以证明该集合是一个线性子空间，比如 即為線性變換 中以 為特徵值的特徵空間。 这些概念在纯数学和应用数学的众多领域中都有重要的应用。在线性代数和泛函分析之外，甚至在一些非线性的情况下，这些概念都是十分重要的。 「特征」一詞譯自德语的eigen，由希尔伯特在1904年首先在这个意义下使用（赫尔曼·冯·亥姆霍兹在更早的时候也在类似意义下使用过这一概念）。eigen一詞可翻译为“自身的”，“特定于...的”，“有特征的”或者“个体的”—这强调了特征值对于定义特定的变换上是很重要的。 (zh)
dbo:thumbnail wiki-commons:Special:FilePath/Mona_Lisa_eigenvector_grid.png?width=300
dbo:wikiPageExternalLink http://joshua.smcvt.edu/linearalgebra/ http://linear.ups.edu/ http://www.image.ece.ntua.gr/papers/43.pdf http://www.math.byu.edu/~klkuttle/Linearalgebra.pdf https://www.symbolab.com/solver/matrix-eigenvectors-calculator http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k2967c/f833.item.r%7B%7B=%7D%7D.zoom http://mathworld.wolfram.com/Eigenvector.html http://www.physlink.com/education/AskExperts/ae520.cfm https://dspace.library.uu.nl/bitstream/1874/2663/1/eighistory.pdf https://ir.cwi.nl/pub/2026 http://people.revoledu.com/kardi/tutorial/LinearAlgebra/EigenValueEigenVector.html http://www.digizeitschriften.de/dms/img/%3FPPN%7B%7B=%7D%7DPPN252457811_1904&DMDID%7B%7B=%7D%7Ddmdlog11&LOGID%7B%7B=%7D%7Dlog11&PHYSID%7B%7B=%7D%7Dphys57%23navi https://journals.aps.org/prl/pdf/10.1103/PhysRevLett.125.165901%7Cjournal=Physical https://www.osapublishing.org/ol/abstract.cfm%3Furi=ol-32-16-2309%7Cjournal=Optics http://www.cs.utk.edu/~dongarra/etemplates/index.html http://www.sosmath.com/matrix/eigen1/eigen1.html https://archive.org/stream/histoiredelacad07unkngoog%23page/n196/mode/2up https://archive.org/stream/histoiredelacad07unkngoog%23page/n232/mode/2up https://mathworld.wolfram.com/Eigenvalue.html%23:~:text=Eigenvalues%20are%20a%20special%20set,Marcus%20and%20Minc%201988,%20p.%7Caccess-date=2020-08-19%7Cwebsite=mathworld.wolfram.com%7Cdate=n.d. https://web.archive.org/web/20100325112901/http:/khanexercises.appspot.com/video%3Fv=PhfbEr2btGQ https://web.archive.org/web/20220119071933/https:/www.ams.org/journals/bull/2022-59-01/S0273-0979-2021-01722-8/S0273-0979-2021-01722-8.pdf https://www.ams.org/journals/bull/2022-59-01/S0273-0979-2021-01722-8/S0273-0979-2021-01722-8.pdf https://www.youtube.com/watch%3Fv=PFDu9oVAE-g&list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab&index=14 https://www.quantamagazine.org/neutrinos-lead-to-unexpected-discovery-in-basic-math-20191113/ http://jeff560.tripod.com/e.html http://www.sixtysymbols.com/videos/eigenvalues.htm https://link.aps.org/doi/10.1103/RevModPhys.89.015005%7Cjournal=Reviews https://archive.org/details/firstcourseinlin0000beau https://archive.org/details/numericalanalysi00burd
dbo:wikiPageID 2161429 (xsd:integer)
dbo:wikiPageLength 99954 (xsd:nonNegativeInteger)
dbo:wikiPageRevisionID 1124907954 (xsd:integer)
dbo:wikiPageWikiLink dbr:Quadratic_equation dbr:Quantum_chemistry dbr:Quantum_mechanics dbr:Sample_variance dbr:Scalar_(mathematics) dbr:Scalar_multiplication dbr:Schrödinger_equation dbr:Minor_(linear_algebra) dbr:Module_(mathematics) dbr:Molecular_orbital dbr:Multivariate_statistics dbr:Representation_theory dbr:Roothaan_equations dbr:Basis_(linear_algebra) dbr:Biometrics dbr:Bound_state dbr:Brady_Haran dbr:Bra–ket_notation dbr:David_Hilbert dbr:Derivative dbr:Determinant dbr:Algebra_representation dbr:Antieigenvalue_theory dbr:Joseph-Louis_Lagrange dbr:Joseph_Fourier dbr:Joseph_Liouville dbr:Permutation_matrix dbr:Richard_von_Mises dbr:Characteristic_polynomial dbr:Unit_circle dbr:University_of_Nottingham dbr:Vector_space dbr:Defective_matrix dbr:Degree_of_a_polynomial dbr:Degrees_of_freedom_(mechanics) dbr:Earth_Surface_Processes_and_Landforms dbr:Inertia dbr:Inertia_tensor dbr:Integral_operator dbr:Introduction_to_eigenstates dbr:Invariant_subspace dbr:Inverse_iteration dbr:Light dbr:List_of_numerical-analysis_software dbr:John_Wiley_&_Sons dbr:Numerical_method dbr:Combinatorial_explosion dbr:Commutative_property dbr:Companion_matrix dbr:Complex_number dbr:Conjugate_transpose dbr:Correlation_matrix dbr:Mass_matrix dbr:Matrix_(mathematics) dbr:Mechanics dbr:Orthogonal dbr:Solid_mechanics dbr:Symmetric_matrix dbr:The_Computer_Journal dbr:Eigendecomposition_of_a_matrix dbr:Eigenfunction dbr:Eigenvalue_algorithm dbr:Energy dbr:English_language dbr:Fundamental_theorem_of_algebra dbr:Gaussian_elimination dbr:Generalized_eigenspace dbr:Generalized_eigenvector dbr:Geology dbr:Geometry dbr:German_language dbr:Google dbr:Bounded_operator dbr:Mona_Lisa dbr:Coordinate_vector dbr:Orthogonal_basis dbr:Orthonormality dbr:Basis_set_(chemistry) dbr:Leonhard_Euler dbr:Linear_algebra dbr:Linear_equation dbr:Linear_relation dbr:Statistical_significance dbr:Stiffness_matrix dbr:Stress_(mechanics) dbr:Sturm–Liouville_theory dbr:Closure_(mathematics) dbr:Collinearity dbr:Compass_rose dbr:Complex_conjugate dbr:Zero_vector dbr:Function_space dbr:Functional_analysis dbr:Hamiltonian_(quantum_mechanics) dbr:Henk_van_der_Vorst dbr:Householder_transformation dbr:Identity_matrix dbr:Parallel_(geometry) dbr:Poisson's_equation dbr:Spectrum_(functional_analysis) dbr:Spectrum_of_a_matrix dbr:Stability_theory dbr:Augustin-Louis_Cauchy dbr:Banach_space dbc:Matrix_theory dbr:Trace_(linear_algebra) dbr:Data_compression dbr:Data_set dbr:Distributive_property dbr:Irrational_number dbr:John_G._F._Francis dbr:Lanczos_algorithm dbr:Laplacian_matrix dbr:Linear_combination dbr:Linear_map dbr:Linear_subspace dbr:Linear_system dbr:Spectral_graph_theory dbr:Singular_value dbr:Square_matrix dbr:Stationary_distribution dbr:Accuracy dbr:Acoustic_wave dbr:Addison-Wesley dbr:Adjacency_matrix dbr:Alfred_Clebsch dbr:Algebraic_number dbr:Algebraic_solution dbr:3Blue1Brown dbc:Linear_algebra dbr:Cubic_function dbr:Exponential_function dbr:Facial_recognition_system dbr:Factor_analysis dbr:Factorization dbr:Field_(algebra) dbr:Field_(mathematics) dbr:Finite_element_analysis dbr:Formal_power_series dbr:Francesco_Brioschi dbr:Angular_frequency dbr:Brightness dbr:PageRank dbr:Center_of_mass dbr:Diagonal dbr:Differential_equation dbr:Differential_operator dbr:Dimensionality_reduction dbr:Direct_sum dbr:Graph_theory dbr:Iteration dbr:Iterative_method dbr:Jordan_normal_form dbr:Koopmans'_theorem dbr:Floating-point dbr:Leibniz_formula_for_determinants dbr:Principal_component_analysis dbr:Matrix_decomposition dbr:Quadratic_form dbr:Principal_axis_(mechanics) dbr:QR_algorithm dbr:Quadratic_eigenvalue_problem dbr:Heat_equation dbr:Henri_Poincaré dbr:Hermann_Schwarz dbr:Hermann_von_Helmholtz dbr:Hermitian_matrix dbr:Hilbert_space dbr:Atomic_physics dbr:Invertible_matrix dbr:James_Demmel dbr:Covariance_matrix dbr:Tensor dbr:Arthur_Cayley dbr:Atomic_orbital dbr:Abel–Ruffini_theorem dbc:Abstract_algebra dbc:Mathematical_physics dbr:Charles_Hermite dbr:Johann_Andreas_Segner dbr:Karl_Weierstrass dbr:Kernel_(linear_algebra) dbr:Laplace's_equation dbr:Bioinformatics dbc:Singular_value_decomposition dbr:Coefficient dbr:Cognate dbr:Eigenface dbr:Eigenmoments dbr:Eigenoperator dbr:Eigenplane dbr:Eigenvector_centrality dbr:Weight_(representation_theory) dbr:Wilkinson's_polynomial dbr:Diagonal_matrices dbr:Diagonalizable_matrix dbr:Difference_equation dbr:Dimension dbr:Discrete_Laplace_operator dbr:Discriminant dbr:Associative_algebra dbr:Pierre-Simon_Laplace dbr:Pixel dbr:Polynomial dbr:Positive-definite_matrix dbr:Positive_semidefinite_matrix dbr:Sparse_matrix dbr:Squeeze_mapping dbr:If_and_only_if dbr:Imaginary_unit dbr:Intermediate_value_theorem dbr:Microwave dbr:Orthogonal_matrix dbr:Rational_number dbr:Real_matrix dbr:Real_number dbr:Reciprocal_polynomial dbr:Recognition_of_human_individuals dbr:Self-adjoint_operator dbr:Separation_of_variables dbr:Set_(mathematics) dbr:Markov_chain dbr:Generalized_eigenvalue_problem dbr:Matrix_similarity dbr:Scaling_(geometry) dbr:Shear_mapping dbr:Skew-symmetric_matrix dbr:Turn_(geometry) dbr:Union_(set_theory) dbr:Unitary_matrix dbr:Image_processing dbr:Square-integrable_function dbr:Observable dbr:Round-off_error dbr:Triangular_matrix dbr:Multiple_roots_of_a_polynomial dbr:Q_methodology dbr:Vera_Kublanovskaya dbr:Molecular_physics dbr:Scattering_theory dbr:Nonlinear_eigenproblem dbr:Normal_eigenvalue dbr:Rigid_body dbr:Spectral_clustering dbr:Ionization_potential dbr:Scalar_product dbr:Submatrix dbr:Houghton_Mifflin_Co. dbr:Hypothesis_testing dbr:Hartree–Fock dbr:Rotation_(geometry) dbr:Charles-François_Sturm dbr:Funk_&_Wagnall dbr:Clasts dbr:Damped_vibration dbr:Hyperbolic_rotation dbr:Polynomial_division dbr:Quadric_surface dbr:Fock_operator dbr:Glacial_till dbr:Théorie_analytique_de_la_chaleur dbr:Vibration_analysis dbr:Scree's_test dbr:Secular_equation dbr:Self-consistent_field dbr:Explained_variance dbr:Power_method dbr:Shear_(mathematics) dbr:Structural_equation_model dbr:Wavefunction dbr:File:HAtomOrbitals.png dbr:Blaisdell_Publishing_Company dbr:Prindle,_Weber_and_Schmidt dbr:B:Famous_Theorems_of_Mathematics/Algebra/Linear_Transformations dbr:Disordered_system dbr:File:Eigenfaces.png dbr:File:Eigenvalue_equation.svg dbr:File:Eigenvectors.gif dbr:File:Eigenvectors_of_a_linear_operator.gif dbr:File:GaussianScatterPCA.png dbr:File:Homothety_in_two_dim.svg dbr:File:Mode_Shape_of_a_Tuning_Fork_at_Eigenfrequency_440.09_Hz.gif dbr:File:Mona_Lisa_eigenvector_grid.png dbr:File:Rotation.png dbr:File:Shear.svg dbr:File:Squeeze_r=1.5.svg dbr:File:Unequal_scaling.svg dbr:Wikt:eigen dbr:Wikt:eigen- dbr:Wikt:own
dbp:wikiPageUsesTemplate dbt:Abbr dbt:Authority_control dbt:Citation dbt:Citation_needed dbt:Cite_arXiv dbt:Cite_book dbt:Cite_journal dbt:Cite_magazine dbt:Cite_web dbt:Efn dbt:External_links dbt:IPAc-en dbt:Main dbt:Math dbt:Mvar dbt:Notelist dbt:NumBlk dbt:Redirect dbt:Refbegin dbt:Refend dbt:Reflist dbt:See_also dbt:Sfn dbt:Short_description dbt:Spaces dbt:Use_American_English dbt:Use_dmy_dates dbt:Wikibooks dbt:Google_books dbt:EquationRef dbt:Harvid dbt:Harvnb dbt:Toclimit dbt:EquationNote dbt:Areas_of_mathematics dbt:Linear_algebra
dct:subject dbc:Matrix_theory dbc:Linear_algebra dbc:Abstract_algebra dbc:Mathematical_physics dbc:Singular_value_decomposition
rdf:type owl:Thing
rdfs:comment En álgebra lineal, los vectores propios, eigenvectores o autovectores de un operador lineal son los vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan lugar a un múltiplo escalar de sí mismos, con lo que no cambian su dirección. Este escalar recibe el nombre valor propio, autovalor o valor característico. A menudo, una transformación queda completamente determinada por sus vectores propios y valores propios. Un espacio propio, autoespacio o subespacio fundamental asociado al valor propio es el conjunto de vectores propios con un valor propio común. (es) 선형대수학에서, 선형 변환의 고유벡터(固有vector, 영어: eigenvector 아이건벡터[*])는 그 선형 변환이 일어난 후에도 방향이 변하지 않는, 0이 아닌 벡터이다. 고유 벡터의 길이가 변하는 배수를 선형 변환의 그 고유 벡터에 대응하는 고윳값(固有값, 영어: eigenvalue 아이건밸류[*])이라고 한다. 선형 변환은 대개 고유 벡터와 그 고윳값만으로 완전히 설명할 수 있다. 고유 벡터와 고유값의 개념은 여러 응용수학 분야에서 중요한 위치를 차지하며, 특히 선형대수학, 함수해석학, 그리고 여러 가지 비선형 분야에서도 자주 사용된다. (ko) 数学の線型代数学において、線型変換の固有値 (英: eigenvalue) とは、零ベクトルでないベクトルを線型変換によって写したときに、写された後のベクトルが写される前のベクトルのスカラー倍になっている場合の、そのスカラー量（拡大率）のことである。この零ベクトルでないベクトルを固有ベクトル (英: eigenvector) という。この2つの用語を合わせて、固有対 (eigenpair) という。 固有値・固有ベクトルは線型変換の特徴を表す指標の一つである。 線形変換 T の固有値の一つを λ とすると、T の固有値 λ に関する固有ベクトルおよび零ベクトルは部分線形空間を形成し、固有空間 (英: eigenspace) という。 与えられた線型変換の固有値および固有ベクトルを求める問題のことを固有値問題 (英: eigenvalue problem) という。ヒルベルト空間論において線型作用素 あるいは線型演算子と呼ばれるものは線型変換であり、やはりその固有値や固有ベクトルを考えることができる。固有値という言葉は無限次元ヒルベルト空間論や作用素代数におけるスペクトルの意味でもしばしば使われる。 (ja) Egenvektorer till en kvadratisk matris är de nollskilda vektorer som bibehåller sin riktning efter multiplikation med matrisen. Till varje egenvektor hör en skalningsfaktor, ett egenvärde, med vilken vektorns storlek är ändrad efter matrismultiplikationen. Ett egenrum för ett egenvärde är det delrum som spänns upp av egenvektorerna som hör till egenvärdet. (sv) القيمة الخاصة والمتجه الخاص والفضاء الخاص ويقال أيضا الذاتي في الرياضيات هي اصطلاحات متعلقة بالجبر الخطي. البادئة eigen مشتقة من الألمانية (تلفظ «أيْ-غِن») وتعني الخاص (بالفرنسي charactéristique وpropre) يهتم الجبر الخطي بدراسة التحويلات الخطية، والتي تمثلها مصفوفات مؤثرة على متجهات. تعد القيم الذاتية والمتجهات الذاتية والفراغات الذاتية خواص المصفوفة. يتم حسابها بواسطة طريقة تعطي معلومات عن المصفوفة ويمكن استعمالها في . لهذا النوع تطبيقاته الخاصة في مجالات الرياضيات التطبيقية وبشكل أوسع في التمويل وميكانيكا الكم. يسمى العدد λ قيمة ذاتية لA تقابل المتجه الذاتي x. (ar) En matemàtiques, i més concretament en àlgebra el concepte de vector propi és una noció que es refereix a una aplicació lineal d'un espai en si mateix. Correspon a l'estudi dels eixos privilegiats, en els quals l'aplicació es comporta com una dilatació (o si el mòdul del valor propi és més petit que 1), per tant, els vectors imatge en aquesta direcció corresponen als vectors origen multiplicats per una constant (si és negativa vol dir que canvien de sentit, però en cap cas no canvien de direcció). D'aquest factor que multiplica el vector origen per trobar el vector imatge se'n diu valor propi, el conjunt format per tots els vectors propis amb un mateix valor propi més el vector nul és un espai propi. Els gràfics de les figures 1 i 2 il·lustren aquestes nocions. (ca) Vlastní vektor lineárního operátoru je nenulový vektor, jehož směr se uplatněním operátoru nemění; může se měnit jeho velikost a orientace, což lze interpretovat jako násobení nenulovým skalárem. Tento skalár se nazývá vlastní číslo (též vlastní hodnota nebo charakteristické číslo) přidružené či příslušné uvažovanému vlastnímu vektoru. Geometricky se transformace vlastního vektoru operátorem projeví zvětšením/zmenšením vektoru buď bez změny orientace (kladné vlastní číslo) nebo s obrácením orientace (záporné vlastní číslo). Množina vlastních vektorů, které náleží stejnému vlastnímu číslu, se nazývá vlastní prostor operátoru přidružený k danému vlastnímu číslu. (cs) Ενα ιδιοδιάνυσμα ενός τετραγωνικού πίνακα είναι ένα μη μηδενικό διάνυσμα που, όταν πολλαπλασιαστεί με τον , ισούται με το αρχικό διάνυσμα, πολλαπλασιασμένο με έναν αριθμό , έτσι ώστε: Ο αριθμός ονομάζεται ιδιοτιμή του που αντιστοιχεί στο . Οι όροι χαρακτηριστικό διάνυσμα, χαρακτηριστικη τιμή, και χαρακτηριστικός χώρος χρησιμοποιούνται και σε αυτές τις έννοιες. Οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα έχουν πολλές εφαρμογές και στα θεωρητικά, αλλά και στα εφαρμοσμένα μαθηματικά. Χρησιμοποιούνται στην , στην Κβαντική μηχανική, και σε πολλούς άλλους τομείς. (el) Ein Eigenvektor einer Abbildung ist in der linearen Algebra ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, dessen Richtung durch die Abbildung nicht verändert wird. Ein Eigenvektor wird also nur skaliert und man bezeichnet den Skalierungsfaktor als Eigenwert der Abbildung. Die im Folgenden beschriebene mathematische Problemstellung heißt spezielles Eigenwertproblem und bezieht sich nur auf lineare Abbildungen eines endlichdimensionalen Vektorraums in sich (Endomorphismen), wie sie durch quadratische Matrizen dargestellt werden. (de) En lineara algebro, ejgeno, aŭ ajgeno aŭ ankoraŭ propra valoro de kvadrata matrico A estas nombro λ tia ke por iu ne nula vektoro x veras egaleco Ax = λx , tiam la vektoro x estas ejgenvektoro, aŭ ajgenvektoro aŭ ankoraŭ propra vektoro, respektiva al la ajgeno λ. Matrico A prezentas linearan transformon de la vektora spaco - turnadon, , streĉon, kunpremon, aŭ kombinaĵon de ĉi tiuj. (eo) In linear algebra, an eigenvector (/ˈaɪɡənˌvɛktər/) or characteristic vector of a linear transformation is a nonzero vector that changes at most by a scalar factor when that linear transformation is applied to it. The corresponding eigenvalue, often denoted by , is the factor by which the eigenvector is scaled. (en) En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre linéaire, le concept de vecteur propre est une notion algébrique s'appliquant à une application linéaire d'un espace dans lui-même. Il correspond à l'étude des axes privilégiés, selon lesquels l'application se comporte comme une dilatation, multipliant les vecteurs par une même constante. Ce rapport de dilatation est appelé valeur propre, les vecteurs auxquels il s'applique s'appellent vecteurs propres, réunis en un espace propre. Le graphique de la figure 1 illustre ces notions. (fr) Dalam aljabar linear, vektor eigen (eigenvector) atau vektor karakteristik dari suatu matriks berukuran adalah vektor tak nol yang hanya mengalami perubahan panjang ketika dikali dengan matriks tersebut. Nilai eigen (eigenvalue) yang berasosiasi dengan vektor tersebut, umumnya dilambangkan dengan , menyatakan besar perubahan panjang vektor yang terjadi. Secara umum dalam ruang vektor multidimensi, vektor eigen tidak mengalami rotasi ketika ditransformasikan oleh matriks. Hal ini berlaku untuk matriks dengan elemen bilangan real, dan akan mengalami rotasi ketika elemen berupa bilangan kompleks. Nilai eigen dan vektor eigen berguna dalam proses kalkulasi matriks, yang keduanya diterapkan dalam bidang matematika murni dan matematika terapan, contohnya pada transformasi linear. Ruang eigen da (in) In matematica, in particolare in algebra lineare, un autovettore di una funzione tra spazi vettoriali è un vettore non nullo la cui immagine è il vettore stesso moltiplicato per uno scalare detto autovalore. Se la funzione è lineare, gli autovettori aventi in comune lo stesso autovalore, insieme con il vettore nullo, formano uno spazio vettoriale, detto autospazio. La nozione di autovettore viene generalizzata dal concetto di o autovettore generalizzato. (it) Wektory i wartości własne – wielkości opisujące endomorfizm danej przestrzeni liniowej; wektor własny przekształcenia można rozumieć jako wektor, którego kierunek nie ulega zmianie po przekształceniu go endomorfizmem; wartość własna odpowiadająca temu wektorowi to skala podobieństwa tych wektorów. (pl) In de lineaire algebra is een eigenvector van een lineaire transformatie (operator) een vector, anders dan de nulvector, die door de transformatie slechts van grootte veranderd wordt. Het beeld van een eigenvector onder de transformatie is een veelvoud van de vector zelf. De vermenigvuldigingsfactor heet eigenwaarde van de transformatie. In toepassingen in de natuurwetenschappen heet de eigenvector, die bij een eigenwaarde hoort, ook wel eigentoestand daar het een bijzondere toestand van het beschreven systeem betreft. (nl) Em álgebra linear, um escalar λ diz-se um valor próprio, autovalor ou valor característico de um operador linear se existir um vetor x diferente de zero tal que . O vetor x é chamado vetor próprio, autovetor ou vetor característico. (pt) Со́бственный ве́ктор — понятие в линейной алгебре, определяемое для произвольного линейного оператора как ненулевой вектор, применение к которому оператора даёт коллинеарный вектор — тот же вектор, умноженный на некоторое скалярное значение (которое может быть равно 0). Скаляр, на который умножается собственный вектор под действием оператора, называется собственным числом (или собственным значением) линейного оператора, соответствующим данному собственному вектору. Одним из представлений линейного оператора является квадратная матрица, поэтому собственные векторы и собственные значения часто определяются в контексте использования таких матриц. (ru) 在数学上，特别是线性代数中，对于一个给定的方阵，它的特征向量（eigenvector，也譯固有向量、本征向量） 经过这个线性变换之后，得到的新向量仍然与原来的 保持在同一條直線上，但其长度或方向也许會改变。即 ， 為純量，即特征向量的长度在该线性变换下缩放的比例，称 为其特征值（eigenvalue，也譯固有值、本征值）。如果特徵值為正，则表示 在经过线性变换的作用后方向也不变；如果特徵值為負，说明方向会反转；如果特征值为0，则是表示缩回零点。但无论怎样，仍在同一条直线上。图1给出了一个以著名油画《蒙娜丽莎》为题材的例子。在一定条件下（如其矩阵形式为实对称矩阵的线性变换），一个变换可以由其特征值和特征向量完全表述，也就是說：所有的特徵向量組成了這向量空間的一組基底。一个特征空间（eigenspace）是具有相同特征值的特征向量与一个同维数的零向量的集合，可以证明该集合是一个线性子空间，比如 即為線性變換 中以 為特徵值的特徵空間。 这些概念在纯数学和应用数学的众多领域中都有重要的应用。在线性代数和泛函分析之外，甚至在一些非线性的情况下，这些概念都是十分重要的。 (zh) Вла́сний ве́ктор (англ. eigenvector) квадратної матриці (з вла́сним зна́ченням (англ. eigenvalue) ) — це ненульовий вектор , для якого виконується співвідношення де це певний скаляр, тобто дійсне або комплексне число. Тобто, власні вектори матриці — це ненульові вектори, які під дією лінійного перетворення, що задається матрицею не міняють напрямку, але можуть змінювати довжину на коефіцієнт . Матриця розмірами має не більше власних векторів, та власних значень, що відповідають їм. (uk)
rdfs:label قيم ذاتية ومتجهات ذاتية (ar) Valor propi, vector propi i espai propi (ca) Vlastní vektory a vlastní čísla (cs) Eigenwertproblem (de) Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα (el) Ejgeno kaj ejgenvektoro (eo) Vector, valor y espacio propios (es) Valeur propre, vecteur propre et espace propre (fr) Eigenvalues and eigenvectors (en) Nilai dan vektor eigen (in) Autovettore e autovalore (it) 固有値 (ja) 고윳값과 고유 벡터 (ko) Eigenwaarde (wiskunde) (nl) Wektory i wartości własne (pl) Autovalores e autovetores (pt) Egenvärde, egenvektor och egenrum (sv) Собственный вектор (ru) Власні вектори та власні значення (uk) 特征值和特征向量 (zh)
rdfs:seeAlso dbr:Euclidean_vector dbr:Positive_semidefinite_matrix dbr:Left dbr:Right_(algebra)
owl:sameAs freebase:Eigenvalues and eigenvectors http://d-nb.info/gnd/4013802-1 wikidata:Eigenvalues and eigenvectors dbpedia-ar:Eigenvalues and eigenvectors http://ast.dbpedia.org/resource/Vector_propiu_y_valor_propiu dbpedia-bg:Eigenvalues and eigenvectors dbpedia-ca:Eigenvalues and eigenvectors dbpedia-cs:Eigenvalues and eigenvectors dbpedia-da:Eigenvalues and eigenvectors dbpedia-de:Eigenvalues and eigenvectors dbpedia-el:Eigenvalues and eigenvectors dbpedia-eo:Eigenvalues and eigenvectors dbpedia-es:Eigenvalues and eigenvectors dbpedia-et:Eigenvalues and eigenvectors dbpedia-fa:Eigenvalues and eigenvectors dbpedia-fi:Eigenvalues and eigenvectors dbpedia-fr:Eigenvalues and eigenvectors dbpedia-gl:Eigenvalues and eigenvectors dbpedia-he:Eigenvalues and eigenvectors http://hi.dbpedia.org/resource/अभिलक्षणिक_मान_तथा_अभिलक्षणिक_सदिश dbpedia-hr:Eigenvalues and eigenvectors dbpedia-hu:Eigenvalues and eigenvectors http://ia.dbpedia.org/resource/Eigenvalores_e_eigenvectores dbpedia-id:Eigenvalues and eigenvectors dbpedia-is:Eigenvalues and eigenvectors dbpedia-it:Eigenvalues and eigenvectors dbpedia-ja:Eigenvalues and eigenvectors dbpedia-ko:Eigenvalues and eigenvectors http://lt.dbpedia.org/resource/Tikrinių_verčių_lygtis http://lv.dbpedia.org/resource/Īpašvērtības_un_īpašvektori dbpedia-nl:Eigenvalues and eigenvectors dbpedia-nn:Eigenvalues and eigenvectors http://pa.dbpedia.org/resource/ਆਈਗਨ-ਮੁੱਲ_ਅਤੇ_ਆਈਗਨ-ਵੈਕਟਰ dbpedia-pl:Eigenvalues and eigenvectors dbpedia-pnb:Eigenvalues and eigenvectors dbpedia-pt:Eigenvalues and eigenvectors dbpedia-ro:Eigenvalues and eigenvectors dbpedia-ru:Eigenvalues and eigenvectors dbpedia-simple:Eigenvalues and eigenvectors dbpedia-sl:Eigenvalues and eigenvectors dbpedia-sr:Eigenvalues and eigenvectors dbpedia-sv:Eigenvalues and eigenvectors http://ta.dbpedia.org/resource/ஐகென்_மதிப்பு dbpedia-tr:Eigenvalues and eigenvectors dbpedia-uk:Eigenvalues and eigenvectors http://ur.dbpedia.org/resource/ویژہ_قدر dbpedia-vi:Eigenvalues and eigenvectors dbpedia-zh:Eigenvalues and eigenvectors https://global.dbpedia.org/id/pReH
prov:wasDerivedFrom wikipedia-en:Eigenvalues_and_eigenvectors?oldid=1124907954&ns=0
foaf:depiction wiki-commons:Special:FilePath/Eigenvalue_equation.svg wiki-commons:Special:FilePath/Eigenvectors-extended.gif wiki-commons:Special:FilePath/Eigenvectors.gif wiki-commons:Special:FilePath/Eigenvectors_of_a_linear_operator.gif wiki-commons:Special:FilePath/Homothety_in_two_dim.svg wiki-commons:Special:FilePath/Rotation.png wiki-commons:Special:FilePath/Shear.svg wiki-commons:Special:FilePath/Unequal_scaling.svg wiki-commons:Special:FilePath/HAtomOrbitals.png wiki-commons:Special:FilePath/Mode_Shape_of_a_Tuning_Fork_at_Eigenfrequency_440.09_Hz.gif wiki-commons:Special:FilePath/GaussianScatterPCA.png wiki-commons:Special:FilePath/1.5.svg wiki-commons:Special:FilePath/Mona_Lisa_eigenvector_grid.png wiki-commons:Special:FilePath/Eigenfaces.png
foaf:homepage http://mathworld.wolfram.com
foaf:isPrimaryTopicOf wikipedia-en:Eigenvalues_and_eigenvectors
is dbo:wikiPageRedirects of dbr:Eigenbasis dbr:Eigenfrequency dbr:Eigenline dbr:Eigenspace dbr:Eigenvalue dbr:Eigenvector dbr:Eigenvector-eigenvalue_identity dbr:Eigenvectors dbr:Eigen_value_problem dbr:Eigenvalue,_eigenvector_and_eigenspace dbr:Right_eigenvector dbr:Characteristic_root dbr:Characteristic_value dbr:Algebraic_multiplicity dbr:Racine_caractéristique dbr:Geometric_multiplicity dbr:Left_eigenvector dbr:Proper_value dbr:Proper_values dbr:Proper_vector dbr:EigenValue dbr:EigenVector dbr:EigenVectors dbr:Eigen_Vectors dbr:Eigen_basis dbr:Eigen_value dbr:Eigen_values dbr:Eigen_vector dbr:Eigenanalysis dbr:Eigenenergies dbr:Eigenenergy dbr:Eigenmatrix dbr:Eigenmode dbr:Eigenproblem dbr:Eigensystem dbr:Eigenvalue,_eigenvector,_and_eigenspace dbr:Eigenvalue_(Matrix) dbr:Eigenvalue_(quantum_mechanics) dbr:Eigenvalue_problem dbr:Eigenvalues dbr:Eigenvector,_eigenvalue,_and_eigenspace dbr:Eigenvector,_eigenvalue_and_eigenspace dbr:Eigenvectors_and_eigenvalues dbr:Principal_eigenvector dbr:Simple_eigenvalue dbr:Latent_root dbr:Latent_vector dbr:Algebraic_Multiplicity dbr:Semisimple_eigenvalue dbr:Spectral_properties
is dbo:wikiPageWikiLink of dbr:Bendixson's_inequality dbr:Product_operator_formalism dbr:Scale_(social_sciences) dbr:Schrödinger_equation dbr:Multiplier_(economics) dbr:Principal_quantum_number dbr:Plane_stress dbr:Tridiagonal_matrix dbr:Symmetry_of_diatomic_molecules dbr:Bianchi_classification dbr:Algebra_representation dbr:Hockey_stick_graph_(global_temperature) dbr:John_von_Neumann dbr:Bethe_ansatz dbr:Permittivity dbr:Characteristic_polynomial dbr:Cyclic_subspace dbr:Vector_control_(motor) dbr:Vera_Faddeeva dbr:DeGroot_learning dbr:Dean_Lee dbr:Decomposition_of_spectrum_(functional_analysis) dbr:Developmental_bias dbr:Index_of_electrical_engineering_articles dbr:Initial_condition dbr:Invariant_(physics) dbr:Invariants_of_tensors dbr:Inverse_problem dbr:Involutory_matrix dbr:List_of_inventions_and_discoveries_by_women dbr:List_of_multiple_discoveries dbr:List_of_named_matrices dbr:Vibration dbr:Second_partial_derivative_test dbr:Weinstein–Aronszajn_identity dbr:Matrix_difference_equation dbr:Matrix_of_ones dbr:SLEPc dbr:Chessboard_detection dbr:Gaudin_model dbr:Generalized_pencil-of-function_method dbr:Operator_(physics) dbr:Multiparty_communication_complexity dbr:Wannier_equation dbr:Stable_manifold_theorem dbr:Pólya–Szegő_inequality dbr:Quantum_boomerang_effect dbr:Eigenbasis dbr:Eigendecomposition_of_a_matrix dbr:Eigenfrequency dbr:Eigenfunction dbr:Eigenline dbr:Eigenspace dbr:Eigenvalue dbr:Eigenvalue_perturbation dbr:Eigenvector dbr:Eigenvector-eigenvalue_identity dbr:Eigenvectors dbr:Functional_correlation dbr:Functional_holography dbr:Generalized_eigenvector dbr:Modal_matrix dbr:Continuous-variable_quantum_information dbr:Orthogonal_functions dbr:Batch_normalization dbr:Light-front_computational_methods dbr:Malcolm_K._Hughes dbr:Standing_wave dbr:Stress_(mechanics) dbr:Closest_point_method dbr:Common_spatial_pattern dbr:Harris_functional dbr:Oceanic_basin dbr:Photonic_crystal dbr:Principal_component_regression dbr:Proper_orthogonal_decomposition dbr:Squeezed_coherent_state dbr:Staggered_fermion dbr:Stark_effect dbr:Stationary_state dbr:Matrix_sign_function dbr:Ailana_Fraser dbr:Trace_inequality dbr:Wave_function dbr:Haag's_theorem dbr:John_G._F._Francis dbr:Lanczos_algorithm dbr:Laplacian_matrix dbr:Linear_discriminant_analysis dbr:Lode_coordinates dbr:Representation_theory_of_finite_groups dbr:Self-energy dbr:No-broadcasting_theorem dbr:Adjacency_matrix dbr:Alexander_Weinstein dbr:Alfred_Clebsch dbr:Curvature dbr:Dynamism_of_a_Dog_on_a_Leash dbr:Eta_and_eta_prime_mesons dbr:Exponentiation dbr:Factor_analysis dbr:Feynman_diagram dbr:Fourier_optics dbr:Brouwer's_conjecture dbr:Nikodem_Popławski dbr:Outermorphism dbr:Center_manifold dbr:Diagonal_matrix dbr:Dimensionality_reduction dbr:Good_quantum_number dbr:Graph_Fourier_transform dbr:Hilbert–Mumford_criterion dbr:Multi-compartment_model dbr:Eigen_value_problem dbr:Eigenvalue,_eigenvector_and_eigenspace dbr:Paradox_of_enrichment dbr:Perron–Frobenius_theorem dbr:QR_algorithm dbr:Rayleigh–Ritz_method dbr:Regularization_(mathematics) dbr:Hans_Hermes dbr:Hermitian_matrix dbr:Interpretations_of_quantum_mechanics dbr:Isidore_Isaac_Hirschman_Jr. dbr:Coupled_cluster dbr:Tensor_product dbr:Hyperbolic_equilibrium_point dbr:Hyperbolic_set dbr:Marvin_Stein_(computer_scientist) dbr:Right_eigenvector dbr:Characteristic_root dbr:Characteristic_value dbr:CheiRank dbr:Joel_Lee_Brenner dbr:Bifurcation_theory dbr:Block_matrix dbr:Symplectic_matrix dbr:Synchronous_frame dbr:Tacoma_Narrows_Bridge_(1940) dbr:EigenTrust dbr:Eigenmoments dbr:Heteroclinic_channels dbr:Hi-C_(genomic_analysis_technique) dbr:Hodgkin–Huxley_model dbr:Temperley–Lieb_algebra dbr:Transformation_matrix dbr:Modes_of_variation dbr:Modeshape dbr:Selberg's_1/4_conjecture dbr:Diagonalizable_matrix dbr:Autler–Townes_effect dbr:Automatic_basis_function_construction dbr:BIO-LGCA dbr:Boolean_network dbr:Born_rule dbr:Pierre_Deligne dbr:Plane_of_rotation dbr:Point_Cloud_Library dbr:Positive-definite_kernel dbr:Spin-forbidden_reactions dbr:Fermion_doubling dbr:Algebraic_multiplicity dbr:Klaus_Samelson dbr:Method_of_steepest_descent dbr:Min-max_theorem dbr:Brown_measure dbr:Neutral_particle_oscillation dbr:Neutrino dbr:Observer_effect_(physics) dbr:Orthogonal_matrix dbr:Racine_caractéristique dbr:Ramsey–Cass–Koopmans_model dbr:Geometric_multiplicity dbr:Lyapunov_dimension dbr:Rotation dbr:Semiconductor_Bloch_equations dbr:Matrix_similarity dbr:Multidimensional_scaling dbr:Scale-invariant_feature_transform dbr:Tweedie_distribution dbr:Two-state_quantum_system dbr:Vector_space_model dbr:Expander_walk_sampling dbr:Exponential_response_formula dbr:List_of_unsolved_problems_in_mathematics dbr:Characteristic_vector dbr:Symmetric_logarithmic_derivative dbr:Phylogenetic_inertia dbr:Psychometrics dbr:Two-graph dbr:Semidefinite_programming dbr:Sidorenko's_conjecture dbr:Stern–Gerlach_experiment dbr:Nonlinear_eigenproblem dbr:Superpotential dbr:Quantum_phase_estimation_algorithm dbr:Parallel_curve dbr:Parareal dbr:Vortex_core_line dbr:Riesz_projector dbr:Left_eigenvector dbr:Steering_cognition dbr:Spatial_analysis dbr:Squeezed_states_of_light dbr:Proper_value dbr:Proper_values dbr:Proper_vector dbr:EigenValue dbr:EigenVector dbr:EigenVectors dbr:Eigen_Vectors dbr:Eigen_basis dbr:Eigen_value dbr:Eigen_values dbr:Eigen_vector dbr:Eigenanalysis dbr:Eigenenergies dbr:Eigenenergy dbr:Eigenmatrix dbr:Eigenmode dbr:Eigenproblem dbr:Eigensystem dbr:Eigenvalue,_eigenvector,_and_eigenspace dbr:Eigenvalue_(Matrix) dbr:Eigenvalue_(quantum_mechanics) dbr:Eigenvalue_problem dbr:Eigenvalues dbr:Eigenvector,_eigenvalue,_and_eigenspace dbr:Eigenvector,_eigenvalue_and_eigenspace dbr:Eigenvectors_and_eigenvalues dbr:Principal_eigenvector dbr:Simple_eigenvalue dbr:Latent_root dbr:Latent_vector dbr:Algebraic_Multiplicity dbr:Semisimple_eigenvalue dbr:Spectral_properties
is foaf:primaryTopic of wikipedia-en:Eigenvalues_and_eigenvectors