Symmetric matrix (original) (raw)
Una matriu simètrica és una matriu quadrada de n×n elements i que satisfà que per a tot . Això és, que té la forma següent: Notem que la simetria és respecte a la diagonal principal i que si és una matriu simètrica, la seva matriu transposada també ho és i . Per exemple, una matriu simètrica A quan n=3 pot ser:
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| dbo:abstract | Una matriu simètrica és una matriu quadrada de n×n elements i que satisfà que per a tot . Això és, que té la forma següent: Notem que la simetria és respecte a la diagonal principal i que si és una matriu simètrica, la seva matriu transposada també ho és i . Per exemple, una matriu simètrica A quan n=3 pot ser: (ca) في الجبر الخطي، مصفوفة متماثلة أو مصفوفة متناظرة (بالإنجليزية: Symmetric matrix) هي مصفوفة مربعة تساوي منقولتها. بما أن عدد أسطر مصفوفة ما يساوي عدد أعمدة منقولتها، وأن عدد أعمدتها يساوي عدد أسطر منقولتها، فإنه لا يمكن الحديث عن مصفوفة متماثلة إلا إذا كان عدد السطور يساوي عدد الأعمدة، أي أن المصفوفة المتماثلة ينبغي أن تكون حتما مربعة. على سبيل المثال، المصفوفة التالية ذات البعد 3×3 متماثلة. كل مصفوفة قطرية مربعة هي مصفوفة متماثلة بما أن جميع مداخلها غير الواقعة على القطر الرئيسي تساوي صفرا. وبشكل مماثل لذلك، جميع مداخل القطر الرئيسي لمصفوفة متماثلة منحرفة تساوي الصفر. (ar) Symetrická matice je v rámci lineární algebry každá taková čtvercová matice, která je osově souměrná podle své hlavní diagonály. Jinak řečeno se jedná o takovou čtvercovou matici, která je rovna matici k ní transponované, tedy . (cs) Eine symmetrische Matrix ist in der Mathematik eine quadratische Matrix, deren Einträge spiegelsymmetrisch bezüglich der Hauptdiagonale sind. Eine symmetrische Matrix stimmt demnach mit ihrer transponierten Matrix überein. Die Summe zweier symmetrischer Matrizen und jedes skalare Vielfache einer symmetrischen Matrix ist wieder symmetrisch. Die Menge der symmetrischen Matrizen fester Größe bildet daher einen Untervektorraum des zugehörigen Matrizenraums. Jede quadratische Matrix lässt sich dabei eindeutig als Summe einer symmetrischen und einer schiefsymmetrischen Matrix schreiben. Das Produkt zweier symmetrischer Matrizen ist genau dann symmetrisch, wenn die beiden Matrizen kommutieren. Das Produkt einer beliebigen Matrix mit ihrer Transponierten ergibt eine symmetrische Matrix. Symmetrische Matrizen mit reellen Einträgen weisen eine Reihe weiterer besonderer Eigenschaften auf. So ist eine reelle symmetrische Matrix stets selbstadjungiert, sie besitzt nur reelle Eigenwerte und sie ist stets orthogonal diagonalisierbar. Für komplexe symmetrische Matrizen gelten diese Eigenschaften im Allgemeinen nicht; das entsprechende Gegenstück sind dort hermitesche Matrizen. Eine wichtige Klasse reeller symmetrischer Matrizen sind positiv definite Matrizen, bei denen alle Eigenwerte positiv sind. In der linearen Algebra werden symmetrische Matrizen zur Beschreibung symmetrischer Bilinearformen verwendet. Die Darstellungsmatrix einer selbstadjungierten Abbildung bezüglich einer Orthonormalbasis ist ebenfalls stets symmetrisch. Lineare Gleichungssysteme mit symmetrischer Koeffizientenmatrix lassen sich effizient und numerisch stabil lösen. Weiterhin werden symmetrische Matrizen bei Orthogonalprojektionen und bei der Polarzerlegung von Matrizen verwendet. Symmetrische Matrizen besitzen Anwendungen unter anderem in der Geometrie, der Analysis, der Graphentheorie und der Stochastik. Eng verwandt mit den Matrizen sind die Tensoren zweiter Stufe, die ein wichtiges mathematisches Hilfsmittel in den Natur- und Ingenieurswissenschaften, insbesondere in der Kontinuumsmechanik sind, siehe . (de) En lineara algebro, simetria matrico estas kvadrata matrico, A kiu estas egala al sia transpono: A=AT La elementoj de simetria matrico estas simetriaj kun respekto al la ĉefdiagonalo . Tiel se la elementoj estas A=(aij), do aij=aji por ĉiuj eblaj valoroj de i kaj j. Jen estas ekzemplo de 3×3 simetria matrico: Matrico estas kontraŭsimetria matrico (aŭ deklivo-simetria aŭ malsimetria) se ĝia transpono estas la sama kiel ĝia negativo. Jen estas ekzemplo de 3×3 kontraŭsimetria matrico: Ĉiu diagonala matrico estas simetria pro tio ke ĉiuj kromdiagonalaj elementoj estas nulaj. Simile, ĉiu diagonala ero de kontraŭsimetria matrico devas esti nulo pro tio ke ĝi egalas al sia negativo. Simetria matrico prezentas super reela . La respektiva objekto por kompleksa ena produta spaco estas memadjunkta matrico kun komplekso-valoraj elementoj, kiu estas egala al sia konjugita transpono. Reela simetria matrico estas la specifa okazo de memadjunkta matrico. Pro ĉi ĉio, ofte estas ĝenerale alprenite ke simetria matrico havas reelo-valorajn elementojn. Simetriaj matricoj aperi nature en diversaj de aplikoj, kaj ofte cifereca lineara algebra programaro havas specialajn por ili. Simetria n×n matrico estas difinita per n(n+1)/2 skalaroj. Kontraŭsimetria n×n matrico estas difinita per n(n-1)/2 skalaroj. (eo) Matrize simetrikoa n×n elementuko matrize karratu bat da , elementuak diagonal nagusiarekiko simetrikoak dituena, hau da, guztietarako . Hortaz, forma hau dauka: matrize simetrikoa bada, orduan matrize iraulia ere simetrikoa da eta . Adibidez, n=3 ordenako A matrize simetriko bat hau da: (eu) En algèbre linéaire et multilinéaire, une matrice symétrique est une matrice carrée qui est égale à sa propre transposée, c'est-à-dire telle que ai,j = aj,i pour tous i et j compris entre 1 et n, où les ai,j sont les coefficients de la matrice et n est son ordre. (fr) Una matriz es simétrica si es una matriz cuadrada, la cual tiene la característica de ser igual a su traspuesta.Una matriz de elementos: es simétrica, si es una matriz cuadrada (m = n) y para todo i, j con i, j =1,2,3,4,...,n. Nótese que la simetría es respecto a la diagonal principal. Ejemplo para n = 3: A es también la matriz traspuesta de sí misma: . Esta última igualdad es una definición alternativa de matriz simétrica. Las matrices simétricas son un caso particular de las matrices hermíticas. (es) Dalam aljabar linear, matriks simetrik adalah jenis matriks persegi yang sama dengan matriks hasil transposnya. Secara formal, matriks didefinisikan matriks simetrik jika . Karena sifat kesamaan pada matriks memerlukan kedua matriks memiliki ukuran yang sama, hanya matriks persegi yang dapat simetrik. Elemen-elemen pada matriks simetrik saling simetrik sepanjang diagonal utamanya. Secara lebih formal, misal menyatakan elemen matriks pada baris ke- dan kolom ke-. Matriks simetrik jika dan hanya jika untuk setiap berlaku . Setiap matriks persegi diagonal bersifat simetrik, karena setiap elemen non-diagonal utama bernilai nol. (in) In linear algebra, a symmetric matrix is a square matrix that is equal to its transpose. Formally, Because equal matrices have equal dimensions, only square matrices can be symmetric. The entries of a symmetric matrix are symmetric with respect to the main diagonal. So if denotes the entry in the th row and th column then for all indices and Every square diagonal matrix is symmetric, since all off-diagonal elements are zero. Similarly in characteristic different from 2, each diagonal element of a skew-symmetric matrix must be zero, since each is its own negative. In linear algebra, a real symmetric matrix represents a self-adjoint operator represented in an orthonormal basis over a real inner product space. The corresponding object for a complex inner product space is a Hermitian matrix with complex-valued entries, which is equal to its conjugate transpose. Therefore, in linear algebra over the complex numbers, it is often assumed that a symmetric matrix refers to one which has real-valued entries. Symmetric matrices appear naturally in a variety of applications, and typical numerical linear algebra software makes special accommodations for them. (en) In algebra lineare, una matrice simmetrica è una matrice quadrata che ha la proprietà di essere la trasposta di se stessa. (it) 선형대수학에서 대칭 행렬(對稱行列, 영어: symmetric matrix)은 전치 행렬이 스스로와 같은 행렬이다. (ko) 線型代数学における対称行列（たいしょうぎょうれつ、英: symmetric matrix）は、自身の転置行列と一致するような正方行列を言う。記号で書けば、行列 A は を満たすとき対称であるという。任意の正方行列は対称行列と相似である。 定義により、対称行列の成分は主対角線に関して対称である。即ち、成分に関して行列 A = [ai j] は任意の添字 i j に関して ai j = aj i を満たす。例えば、次の 3 次正方行列 は対称である。任意の正方対角行列は、その非対角成分が 0 であるから、対称である。同様に、歪対称行列（tA = −A なる行列）の各対角成分は、自身と符号を変えたものと等しいから、すべて 0 でなければならない。 実対称行列が実内積空間上の適当な正規直交基底に対して定める線形作用素は対称作用素（自己随伴作用素）である。複素内積空間の場合に対応する概念は、複素数を成分に持つエルミート行列（自身の共役転置行列と一致するような複素行列）である。故に、複素数体上の線型代数学においては、対称行列という言葉は行列が実数に成分をとる場合に限って使うことがしばしばある。対称行列は様々な応用の場面に現れ、典型的な数値線型代数ソフトウェアではこれらに特別な便宜をさいている。 (ja) Een symmetrische matrix is in de lineaire algebra een vierkante matrix die symmetrisch is ten opzichte van de hoofddiagonaal. Een symmetrische matrix is gelijk aan zijn getransponeerde. (nl) Macierz symetryczna – macierz kwadratowa (tzn. o tej samej liczbie wierszy i kolumn), której wyrazy położone symetrycznie względem przekątnej głównej są równe; formalnie jest to macierz kwadratowa stopnia która dla spełnia warunek który można zapisać krótko przy pomocy transpozycji jako (pl) Em álgebra linear, uma matriz diz-se simétrica se coincidir com a sua transposta, ou seja, se (pt) Симметричной (Симметрической) называют квадратную матрицу, элементы которой симметричны относительно главной диагонали. Более формально, симметричной называют такую матрицу , что . Это означает, что она равна её транспонированной матрице: (ru) En symmetrisk matris är inom linjär algebra, en matris sådan att den är identisk med sitt transponat: Om matrisen har elementen aij är aij = aji för en symmetrisk matris. Man kan också uttrycka detta som att rad k i en symmetrisk matris har samma element, i samma ordning, som kolonn k. (sv) 在線性代數中，對稱矩陣（英語：symmetric matrix）指轉置矩陣和自身相等方形矩陣。 對稱矩陣中的右上至左下方向元素以主對角線（左上至右下）為軸進行對稱。若將其寫作，則对所有的i和j， 下列是3×3的對稱矩陣： (zh) Симетричною називають квадратну матрицю, елементи якої симетричні щодо головної діагоналі. Якщо рядки такої матриці зробити стовпцями і навпаки (такий процес називають транспонуванням), то її вигляд не зміниться: Тобто: (uk) |
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(ar) Symetrická matice je v rámci lineární algebry každá taková čtvercová matice, která je osově souměrná podle své hlavní diagonály. Jinak řečeno se jedná o takovou čtvercovou matici, která je rovna matici k ní transponované, tedy . (cs) Matrize simetrikoa n×n elementuko matrize karratu bat da , elementuak diagonal nagusiarekiko simetrikoak dituena, hau da, guztietarako . Hortaz, forma hau dauka: matrize simetrikoa bada, orduan matrize iraulia ere simetrikoa da eta . Adibidez, n=3 ordenako A matrize simetriko bat hau da: (eu) En algèbre linéaire et multilinéaire, une matrice symétrique est une matrice carrée qui est égale à sa propre transposée, c'est-à-dire telle que ai,j = aj,i pour tous i et j compris entre 1 et n, où les ai,j sont les coefficients de la matrice et n est son ordre. (fr) Una matriz es simétrica si es una matriz cuadrada, la cual tiene la característica de ser igual a su traspuesta.Una matriz de elementos: es simétrica, si es una matriz cuadrada (m = n) y para todo i, j con i, j =1,2,3,4,...,n. Nótese que la simetría es respecto a la diagonal principal. Ejemplo para n = 3: A es también la matriz traspuesta de sí misma: . Esta última igualdad es una definición alternativa de matriz simétrica. Las matrices simétricas son un caso particular de las matrices hermíticas. (es) In algebra lineare, una matrice simmetrica è una matrice quadrata che ha la proprietà di essere la trasposta di se stessa. (it) 선형대수학에서 대칭 행렬(對稱行列, 영어: symmetric matrix)은 전치 행렬이 스스로와 같은 행렬이다. (ko) 線型代数学における対称行列（たいしょうぎょうれつ、英: symmetric matrix）は、自身の転置行列と一致するような正方行列を言う。記号で書けば、行列 A は を満たすとき対称であるという。任意の正方行列は対称行列と相似である。 定義により、対称行列の成分は主対角線に関して対称である。即ち、成分に関して行列 A = [ai j] は任意の添字 i j に関して ai j = aj i を満たす。例えば、次の 3 次正方行列 は対称である。任意の正方対角行列は、その非対角成分が 0 であるから、対称である。同様に、歪対称行列（tA = −A なる行列）の各対角成分は、自身と符号を変えたものと等しいから、すべて 0 でなければならない。 実対称行列が実内積空間上の適当な正規直交基底に対して定める線形作用素は対称作用素（自己随伴作用素）である。複素内積空間の場合に対応する概念は、複素数を成分に持つエルミート行列（自身の共役転置行列と一致するような複素行列）である。故に、複素数体上の線型代数学においては、対称行列という言葉は行列が実数に成分をとる場合に限って使うことがしばしばある。対称行列は様々な応用の場面に現れ、典型的な数値線型代数ソフトウェアではこれらに特別な便宜をさいている。 (ja) Een symmetrische matrix is in de lineaire algebra een vierkante matrix die symmetrisch is ten opzichte van de hoofddiagonaal. Een symmetrische matrix is gelijk aan zijn getransponeerde. (nl) Macierz symetryczna – macierz kwadratowa (tzn. o tej samej liczbie wierszy i kolumn), której wyrazy położone symetrycznie względem przekątnej głównej są równe; formalnie jest to macierz kwadratowa stopnia która dla spełnia warunek który można zapisać krótko przy pomocy transpozycji jako (pl) Em álgebra linear, uma matriz diz-se simétrica se coincidir com a sua transposta, ou seja, se (pt) Симметричной (Симметрической) называют квадратную матрицу, элементы которой симметричны относительно главной диагонали. Более формально, симметричной называют такую матрицу , что . Это означает, что она равна её транспонированной матрице: (ru) En symmetrisk matris är inom linjär algebra, en matris sådan att den är identisk med sitt transponat: Om matrisen har elementen aij är aij = aji för en symmetrisk matris. Man kan också uttrycka detta som att rad k i en symmetrisk matris har samma element, i samma ordning, som kolonn k. (sv) 在線性代數中，對稱矩陣（英語：symmetric matrix）指轉置矩陣和自身相等方形矩陣。 對稱矩陣中的右上至左下方向元素以主對角線（左上至右下）為軸進行對稱。若將其寫作，則对所有的i和j， 下列是3×3的對稱矩陣： (zh) Симетричною називають квадратну матрицю, елементи якої симетричні щодо головної діагоналі. Якщо рядки такої матриці зробити стовпцями і навпаки (такий процес називають транспонуванням), то її вигляд не зміниться: Тобто: (uk) En lineara algebro, simetria matrico estas kvadrata matrico, A kiu estas egala al sia transpono: A=AT La elementoj de simetria matrico estas simetriaj kun respekto al la ĉefdiagonalo . Tiel se la elementoj estas A=(aij), do aij=aji por ĉiuj eblaj valoroj de i kaj j. Jen estas ekzemplo de 3×3 simetria matrico: Matrico estas kontraŭsimetria matrico (aŭ deklivo-simetria aŭ malsimetria) se ĝia transpono estas la sama kiel ĝia negativo. Jen estas ekzemplo de 3×3 kontraŭsimetria matrico: (eo) Eine symmetrische Matrix ist in der Mathematik eine quadratische Matrix, deren Einträge spiegelsymmetrisch bezüglich der Hauptdiagonale sind. Eine symmetrische Matrix stimmt demnach mit ihrer transponierten Matrix überein. Symmetrische Matrizen besitzen Anwendungen unter anderem in der Geometrie, der Analysis, der Graphentheorie und der Stochastik. Eng verwandt mit den Matrizen sind die Tensoren zweiter Stufe, die ein wichtiges mathematisches Hilfsmittel in den Natur- und Ingenieurswissenschaften, insbesondere in der Kontinuumsmechanik sind, siehe . (de) Dalam aljabar linear, matriks simetrik adalah jenis matriks persegi yang sama dengan matriks hasil transposnya. Secara formal, matriks didefinisikan matriks simetrik jika . Karena sifat kesamaan pada matriks memerlukan kedua matriks memiliki ukuran yang sama, hanya matriks persegi yang dapat simetrik. Elemen-elemen pada matriks simetrik saling simetrik sepanjang diagonal utamanya. Secara lebih formal, misal menyatakan elemen matriks pada baris ke- dan kolom ke-. Matriks simetrik jika dan hanya jika untuk setiap berlaku . (in) In linear algebra, a symmetric matrix is a square matrix that is equal to its transpose. Formally, Because equal matrices have equal dimensions, only square matrices can be symmetric. The entries of a symmetric matrix are symmetric with respect to the main diagonal. So if denotes the entry in the th row and th column then for all indices and Every square diagonal matrix is symmetric, since all off-diagonal elements are zero. Similarly in characteristic different from 2, each diagonal element of a skew-symmetric matrix must be zero, since each is its own negative. (en) |
| rdfs:label | مصفوفة متماثلة (ar) Matriu simètrica (ca) Symetrická matice (cs) Symmetrische Matrix (de) Συμμετρικός πίνακας (el) Simetria matrico (eo) Matriz simétrica (es) Matrize simetriko (eu) Matrice symétrique (fr) Matriks simetrik (in) Matrice simmetrica (it) 対称行列 (ja) 대칭행렬 (ko) Symmetrische matrix (nl) Macierz symetryczna (pl) Symmetric matrix (en) Matriz simétrica (pt) Симметричная матрица (ru) Symmetrisk matris (sv) Симетрична матриця (uk) 對稱矩陣 (zh) |
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