Gradient (original) (raw)
En càlcul vectorial, el gradient d'un camp escalar és un camp vectorial que indica en cada punt del camp escalar la direcció del màxim increment d'ell mateix. El gradient es representa mitjançant l'operador diferencial nabla seguit de la funció.
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| dbo:abstract | En càlcul vectorial, el gradient d'un camp escalar és un camp vectorial que indica en cada punt del camp escalar la direcció del màxim increment d'ell mateix. El gradient es representa mitjançant l'operador diferencial nabla seguit de la funció. (ca) في حساب المتجهات ، التَدَرُّج (بالإنجليزية: Gradient) ورمزه مؤثر تفاضلي على غرار مؤثري التدور والتباعد. يؤثر التدرج على الحقول القياسية وينتج حقولا متجهية يتركز في اتجاه أعلى معدل تزايد للحقل القياسي. (ar) Gradient je diferenciální operátor, jehož výsledkem je vektorové pole vyjadřující směr a velikost největší změny skalárního pole. (cs) En matematiko, gradiento de skalara kampo estas vektora kampo, kiu en ĉi punkto direktiĝas al la fluo de la plej granda pligrandiĝo de la skalara kampo, kaj kies estas la rapideco de la pligrandiĝo. Rapideco de pligrandiĝo de la skalara kampo en iu direkto povas esti kalkulita kiel skalara produto de la gradiento kaj unuobla vektoro en la direkto. (eo) Der Gradient als Operator der Mathematik verallgemeinert die bekannten Gradienten, die den Verlauf von physikalischen Größen beschreiben. Als Differentialoperator kann er beispielsweise auf ein Skalarfeld angewandt werden und wird in diesem Fall ein Vektorfeld liefern, das Gradientenfeld genannt wird. Der Gradient ist eine Verallgemeinerung der Ableitung in der mehrdimensionalen Analysis. Zur besseren Abgrenzung zwischen Operator und Resultat seiner Anwendung bezeichnet man solche Gradienten skalarer Feldgrößen in manchen Quellen auch als Gradientvektoren. In kartesischen Koordinaten sind die Komponenten des Gradientvektors die partiellen Ableitungen im Punkt , der Gradient zeigt deshalb in die Richtung der größten Änderung. Der Betrag des Gradienten gibt den Wert der größten Änderungsrate an diesem Punkt an. Interpretiert man beispielsweise die Reliefkarte einer Landschaft als eine Funktion die jedem Ort die Höhe an dieser Stelle zuordnet, dann ist der Gradient von an der Stelle ein Vektor, der in die Richtung des größten Höhenanstiegs von zeigt. Der Betrag dieses Vektors gibt die größte Steigung an diesem Punkt an. Der Gradient wird zusammen mit anderen Differentialoperatoren wie Divergenz und Rotation in der Vektor- und Tensoranalysis, Teilgebieten der mehrdimensionalen Analysis, untersucht. Sie werden mit dem gleichen Vektoroperator gebildet, und zwar mit dem Nabla-Operator (bisweilen auch oder um anzudeuten, dass der Nabla-Operator hilfsweise als Vektor verstanden werden kann). (de) In vector calculus, the gradient of a scalar-valued differentiable function f of several variables is the vector field (or vector-valued function) whose value at a point is the "direction and rate of fastest increase". If the gradient of a function is non-zero at a point p, the direction of the gradient is the direction in which the function increases most quickly from p, and the magnitude of the gradient is the rate of increase in that direction, the greatest absolute directional derivative. Further, a point where the gradient is the zero vector is known as a stationary point. The gradient thus plays a fundamental role in optimization theory, where it is used to maximize a function by gradient ascent. In coordinate-free terms, the gradient of a function may be defined by: where df is the total infinitesimal change in f for an infinitesimal displacement , and is seen to be maximal when is in the direction of the gradient . The nabla symbol , written as an upside-down triangle and pronounced "del", denotes the vector differential operator. When a coordinate system is used in which the basis vectors are not functions of position, the gradient is given by the vector whose components are the partial derivatives of at . That is, for , its gradient is defined at the point in n-dimensional space as the vector The gradient is dual to the total derivative : the value of the gradient at a point is a tangent vector – a vector at each point; while the value of the derivative at a point is a cotangent vector – a linear functional on vectors. They are related in that the dot product of the gradient of f at a point p with another tangent vector v equals the directional derivative of f at p of the function along v; that is, . The gradient admits multiple generalizations to more general functions on manifolds; see . (en) Matematikan, gradientea batean bere deribatu partzialek osaturiko bektorea da. Besteak beste, puntu jakin batean funtzioaren hazkunde handieneko norabidea azaltzen du. Honela adierazi eta kalkulatzen da, nabla edo grad ikurrak erabiliz: (eu) Le gradient d'une fonction de plusieurs variables en un certain point est un vecteur qui caractérise la variabilité de cette fonction au voisinage de ce point. Défini en tout point où la fonction est différentiable, il définit un champ de vecteurs, également dénommé gradient. Le gradient est la généralisation à plusieurs variables de la dérivée d'une fonction d'une seule variable. (fr) En análisis matemático, particularmente en cálculo vectorial, el gradiente o también conocido como vector gradiente, denotado de un campo escalar , es un campo vectorial. El vector gradiente de evaluado en un punto genérico del dominio de ,, indica la dirección en la cual el campo varía más rápidamente y su módulo representa el ritmo de variación de en la dirección de dicho vector gradiente. El gradiente se representa con el operador diferencial nabla seguido de la función (atención a no confundir el gradiente con la divergencia; esta última se denota con un punto de producto escalar entre el operador nabla y el campo, ). También puede representarse mediante , o usando la notación . La generalización del concepto de gradiente para funciones vectoriales de varias variables es el concepto de matriz Jacobiana. (es) Tomhas ar chlaonadh líne dírí i leith líne dírí fosaithe eile. I bhfoirm mhatamaiticiúil, is é grádán líne dírí i gcóras comhordanáidí dronuilleogacha tangant na huillinne idir an líne dhíreach is an x-ais. Is é grádán cuair ag pointe P ná grádán an tadhlaí leis an gcuar ag P. (ga) Gradien (bahasa Inggris: gradient, slope) dalam matematika adalah salah satu operator dalam kalkulus vektor yang berguna untuk mencari perubahan arah dan kecepatan dalam bidang skalar.Dalam matematika, gradien didefinisikan sebagai: Sebagai contoh dalam sistem koordinat Kartesius tiga dimensi, gradien dari suatu vektor adalah: atau dapat ditulis (in) ( 물매는 여기로 연결됩니다. 무기에 대해서는 무릿매 문서를 참고하십시오.) 기울기(gradient 그레이디언트[*]) 또는 경도란 벡터 미적분학에서 스칼라장의 최대의 증가율을 나타내는 벡터장을 뜻한다. 기울기를 나타내는 벡터장을 화살표로 표시할 때 화살표의 방향은 증가율이 최대가 되는 방향이며, 화살표의 크기는 증가율이 최대일 때의 증가율의 크기를 나타낸다. (ko) In de wiskundige analyse geeft de gradiënt van een functie van meer veranderlijken, een scalair veld, de richting aan waarin die functie het sterkst varieert, en de grootte van de variatie. De gradiënt, die in gewone cartesische coördinaten de vector is van partiële afgeleiden, is de generalisatie in meer dimensies van het begrip afgeleide. De gradiënt is formeel hetzelfde als de meerdimensionale afgeleide van . Met ieder vectorveld in de komt een richtingsafgeleide van in overeen. Als differentieerbaar is in , bepaalt de gradiënt de maximale waarde van deze richtingsafgeleide. (nl) Nel calcolo differenziale vettoriale, il gradiente di una funzione a valori reali (ovvero di un campo scalare) è una funzione vettoriale. Il gradiente di una funzione è spesso definito come il vettore che ha come componenti le derivate parziali della funzione, anche se questo vale solo se si utilizzano coordinate cartesiane ortonormali. In generale, il gradiente di una funzione , denotato con (il simbolo si legge nabla), è definito in ciascun punto dalla seguente relazione: per un qualunque vettore , il prodotto scalare dà il valore della derivata direzionale di rispetto a . In fisica, il gradiente di una grandezza scalare si usa per descrivere come quest'ultima vari in funzione dei suoi diversi parametri. Ad esempio, si parla di gradiente termico per esprimere la variazione della temperatura lungo una direzione scelta, o di gradiente di pressione, analogamente, per esprimere la variazione della pressione lungo una particolare direzione. (it) ベクトル解析におけるスカラー場の勾配（こうばい、英: gradient; グラディエント）は、各点においてそのスカラー場の変化率が最大となる方向への変化率の値を大きさにもつベクトルを対応させるベクトル場である。簡単に言えば、任意の量の空間における変位を、傾きとして表現（例えば図示）することができるが、そこで勾配はこの傾きの向きや傾きのきつさを表している。 ユークリッド空間上の関数の勾配を、別なユークリッド空間に値を持つ写像に対して一般化したものは、ヤコビ行列で与えられる。さらに一般化して、バナッハ空間から別のバナッハ空間への写像の勾配をフレシェ微分を通じて定義することができる。 (ja) Gradient – pole wektorowe wskazujące kierunki najszybszych wzrostów wartości danego pola skalarnego w poszczególnych punktach, przy czym moduł („długość”) każdego wektora jest równy szybkości wzrostu pola skalarnego w kierunku największego wzrostu. Gradientem nazywa się również pojedynczy wektor wskazujący kierunek i szybkość wzrostu wspomnianego pola skalarnego w danym punkcie; wektor przeciwny do gradientu (oraz odpowiadające mu przeciwne do gradientowego pole wektorowe) nazywa się często antygradientem. Wyrażenie „zgodnie z gradientem” należy rozumieć jako „zgodnie z kierunkiem najszybszego wzrostu”. Gradient to wreszcie nazwa operatora różniczkowego przekształcającego pole skalarne w opisane wyżej pole wektorowe (w powyższych znaczeniach gradient jest obrazem wspomnianego operatora, odpowiednio całej dziedziny i pojedynczego punktu). Uogólnieniem gradientu na funkcje przestrzeni euklidesowej w inną jest macierz Jacobiego. Jest ona macierzą przekształcenia liniowego znanego jako pochodna zupełna, dlatego za dalej idące uogólnienia (na funkcje między przestrzeniami Banacha) można uważać pochodną Gâteaux, a przy dodatkowych założeniach: pochodną Frécheta. (pl) Градие́нт (от лат. gradiens, род. п. gradientis «шагающий, растущий») — вектор, своим направлением указывающий направление возрастания (а антиградиент - убывания) некоторой скалярной величины (значение которой меняется от одной точки пространства к другой, образуя скалярное поле), а по величине (модулю) равный скорости роста этой величины в этом направлении. Например, если взять в качестве высоту поверхности земли над уровнем моря, то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «направление самого крутого подъёма», и своей величиной характеризовать крутизну склона. Другими словами, градиент — это производная по пространству, но в отличие от производной по одномерному времени, градиент является не скаляром, а векторной величиной. С математической точки зрения на градиент можно смотреть как на: 1. * Коэффициент линейности изменения значения функции многих переменных от изменения значения аргумента; 2. * Вектор в пространстве области определения скалярной функции многих переменных, составленный из частных производных; 3. * Строки матрицы Якоби содержат градиенты составных скалярных функций из которых состоит векторная функция многих переменных. Пространство, на котором определена функция и её градиент, может быть, вообще говоря, как обычным трёхмерным пространством, так и пространством любой другой размерности любой физической природы или чисто абстрактным (безразмерным). Термин впервые появился в метеорологии, а в математику был введён Максвеллом в 1873 г.; обозначение тоже предложил Максвелл. Стандартные обозначения: или, с использованием оператора набла, — вместо может быть любое скалярное поле, обозначенное любой буквой, например — обозначения градиента поля: . (ru) En gradient är inom matematiken en multivariabel generalisering av derivatan. Medan derivatan kan definieras för funktioner av en variabel, ersätter gradienten derivatan för funktioner av flera variabler. Gradienten är en vektorvärd funktion, till skillnad från derivatan som är skalärvärd. Liksom derivatan representerar gradienten lutningen av funktionens graf. Mera precist, gradienten pekar i riktningen för funktionens största förändringstakt och dess storlek är grafens lutning i den riktningen. Koordinaterna för gradienten i en given punkt bestäms av det tangentplan som antas tillhöra grafens tangentrum. Denna karaktäristiska egenskap hos gradienten tillåter att den definieras oberoende av koordinatsystemet, som ett vektorfält vars komponenter transformeras som kontravarianta vektorer. (sv) No cálculo vetorial o gradiente (ou vetor gradiente) é um vetor que indica o sentido e a direção na qual, por deslocamento a partir do ponto especificado, obtém-se o maior incremento possível no valor de uma grandeza a partir da qual se define um campo escalar para o espaço em consideração. Constrói-se assim, a partir do campo escalar e de um operador denominado operador gradiente, um campo vetorial, que atrela a cada ponto do espaço o correspondente vetor gradiente para a grandeza em consideração. O módulo do vetor gradiente indica a taxa de variação da grandeza escalar com relação à distância movida quando desloca-se na direção e sentido do vetor gradiente (deslocamentos infinitesimais). O campo vetorial e o operador gradientes possuem diversas aplicações em matemática e ciências naturais, indo desde o cálculo de derivadas direcionais à maximização das mesmas. A exemplo, a partir do gradiente do potencial elétrico determina-se o campo elétrico; e a partir do gradiente da energia potencial determina-se o campo de força associado. Ex: . O símbolo , isto é, nabla é uma representação do gradiente. (pt) 在向量微积分中，梯度（英語：gradient）是一种关于多元导数的概括。平常的一元（单变量）函数的导数是标量值函数，而多元函数的梯度是向量值函数。多元可微函数在点上的梯度，是以在上的偏导数为分量的向量。 就像一元函数的导数表示这个函数图形的切线的斜率，如果多元函数在点上的梯度不是零向量，則它的方向是这个函数在上最大增长的方向、而它的量是在这个方向上的增长率。 梯度向量中的幅值和方向是与坐标的选择无关的独立量。 在欧几里德空间或更一般的流形之间的多元可微映射的向量值函数的梯度推广是雅可比矩阵。在巴拿赫空间之间的函数的进一步推广是。 (zh) Градіє́нт, ґрадіє́нт — міра зростання або спадання в просторі якоїсь фізичної величини на одиницю довжини. Для позначення градієнта використовується оператор Гамільтона , або оператор . (uk) |
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(eo) Matematikan, gradientea batean bere deribatu partzialek osaturiko bektorea da. Besteak beste, puntu jakin batean funtzioaren hazkunde handieneko norabidea azaltzen du. Honela adierazi eta kalkulatzen da, nabla edo grad ikurrak erabiliz: (eu) Le gradient d'une fonction de plusieurs variables en un certain point est un vecteur qui caractérise la variabilité de cette fonction au voisinage de ce point. Défini en tout point où la fonction est différentiable, il définit un champ de vecteurs, également dénommé gradient. Le gradient est la généralisation à plusieurs variables de la dérivée d'une fonction d'une seule variable. (fr) Tomhas ar chlaonadh líne dírí i leith líne dírí fosaithe eile. I bhfoirm mhatamaiticiúil, is é grádán líne dírí i gcóras comhordanáidí dronuilleogacha tangant na huillinne idir an líne dhíreach is an x-ais. Is é grádán cuair ag pointe P ná grádán an tadhlaí leis an gcuar ag P. (ga) Gradien (bahasa Inggris: gradient, slope) dalam matematika adalah salah satu operator dalam kalkulus vektor yang berguna untuk mencari perubahan arah dan kecepatan dalam bidang skalar.Dalam matematika, gradien didefinisikan sebagai: Sebagai contoh dalam sistem koordinat Kartesius tiga dimensi, gradien dari suatu vektor adalah: atau dapat ditulis (in) ( 물매는 여기로 연결됩니다. 무기에 대해서는 무릿매 문서를 참고하십시오.) 기울기(gradient 그레이디언트[*]) 또는 경도란 벡터 미적분학에서 스칼라장의 최대의 증가율을 나타내는 벡터장을 뜻한다. 기울기를 나타내는 벡터장을 화살표로 표시할 때 화살표의 방향은 증가율이 최대가 되는 방향이며, 화살표의 크기는 증가율이 최대일 때의 증가율의 크기를 나타낸다. (ko) In de wiskundige analyse geeft de gradiënt van een functie van meer veranderlijken, een scalair veld, de richting aan waarin die functie het sterkst varieert, en de grootte van de variatie. De gradiënt, die in gewone cartesische coördinaten de vector is van partiële afgeleiden, is de generalisatie in meer dimensies van het begrip afgeleide. De gradiënt is formeel hetzelfde als de meerdimensionale afgeleide van . Met ieder vectorveld in de komt een richtingsafgeleide van in overeen. Als differentieerbaar is in , bepaalt de gradiënt de maximale waarde van deze richtingsafgeleide. (nl) ベクトル解析におけるスカラー場の勾配（こうばい、英: gradient; グラディエント）は、各点においてそのスカラー場の変化率が最大となる方向への変化率の値を大きさにもつベクトルを対応させるベクトル場である。簡単に言えば、任意の量の空間における変位を、傾きとして表現（例えば図示）することができるが、そこで勾配はこの傾きの向きや傾きのきつさを表している。 ユークリッド空間上の関数の勾配を、別なユークリッド空間に値を持つ写像に対して一般化したものは、ヤコビ行列で与えられる。さらに一般化して、バナッハ空間から別のバナッハ空間への写像の勾配をフレシェ微分を通じて定義することができる。 (ja) En gradient är inom matematiken en multivariabel generalisering av derivatan. Medan derivatan kan definieras för funktioner av en variabel, ersätter gradienten derivatan för funktioner av flera variabler. Gradienten är en vektorvärd funktion, till skillnad från derivatan som är skalärvärd. Liksom derivatan representerar gradienten lutningen av funktionens graf. Mera precist, gradienten pekar i riktningen för funktionens största förändringstakt och dess storlek är grafens lutning i den riktningen. Koordinaterna för gradienten i en given punkt bestäms av det tangentplan som antas tillhöra grafens tangentrum. Denna karaktäristiska egenskap hos gradienten tillåter att den definieras oberoende av koordinatsystemet, som ett vektorfält vars komponenter transformeras som kontravarianta vektorer. (sv) 在向量微积分中，梯度（英語：gradient）是一种关于多元导数的概括。平常的一元（单变量）函数的导数是标量值函数，而多元函数的梯度是向量值函数。多元可微函数在点上的梯度，是以在上的偏导数为分量的向量。 就像一元函数的导数表示这个函数图形的切线的斜率，如果多元函数在点上的梯度不是零向量，則它的方向是这个函数在上最大增长的方向、而它的量是在这个方向上的增长率。 梯度向量中的幅值和方向是与坐标的选择无关的独立量。 在欧几里德空间或更一般的流形之间的多元可微映射的向量值函数的梯度推广是雅可比矩阵。在巴拿赫空间之间的函数的进一步推广是。 (zh) Градіє́нт, ґрадіє́нт — міра зростання або спадання в просторі якоїсь фізичної величини на одиницю довжини. Для позначення градієнта використовується оператор Гамільтона , або оператор . (uk) Der Gradient als Operator der Mathematik verallgemeinert die bekannten Gradienten, die den Verlauf von physikalischen Größen beschreiben. Als Differentialoperator kann er beispielsweise auf ein Skalarfeld angewandt werden und wird in diesem Fall ein Vektorfeld liefern, das Gradientenfeld genannt wird. Der Gradient ist eine Verallgemeinerung der Ableitung in der mehrdimensionalen Analysis. Zur besseren Abgrenzung zwischen Operator und Resultat seiner Anwendung bezeichnet man solche Gradienten skalarer Feldgrößen in manchen Quellen auch als Gradientvektoren. (de) In vector calculus, the gradient of a scalar-valued differentiable function f of several variables is the vector field (or vector-valued function) whose value at a point is the "direction and rate of fastest increase". If the gradient of a function is non-zero at a point p, the direction of the gradient is the direction in which the function increases most quickly from p, and the magnitude of the gradient is the rate of increase in that direction, the greatest absolute directional derivative. Further, a point where the gradient is the zero vector is known as a stationary point. The gradient thus plays a fundamental role in optimization theory, where it is used to maximize a function by gradient ascent. In coordinate-free terms, the gradient of a function may be defined by: (en) En análisis matemático, particularmente en cálculo vectorial, el gradiente o también conocido como vector gradiente, denotado de un campo escalar , es un campo vectorial. El vector gradiente de evaluado en un punto genérico del dominio de ,, indica la dirección en la cual el campo varía más rápidamente y su módulo representa el ritmo de variación de en la dirección de dicho vector gradiente. La generalización del concepto de gradiente para funciones vectoriales de varias variables es el concepto de matriz Jacobiana. (es) Nel calcolo differenziale vettoriale, il gradiente di una funzione a valori reali (ovvero di un campo scalare) è una funzione vettoriale. Il gradiente di una funzione è spesso definito come il vettore che ha come componenti le derivate parziali della funzione, anche se questo vale solo se si utilizzano coordinate cartesiane ortonormali. In generale, il gradiente di una funzione , denotato con (il simbolo si legge nabla), è definito in ciascun punto dalla seguente relazione: per un qualunque vettore , il prodotto scalare dà il valore della derivata direzionale di rispetto a . (it) Gradient – pole wektorowe wskazujące kierunki najszybszych wzrostów wartości danego pola skalarnego w poszczególnych punktach, przy czym moduł („długość”) każdego wektora jest równy szybkości wzrostu pola skalarnego w kierunku największego wzrostu. (pl) No cálculo vetorial o gradiente (ou vetor gradiente) é um vetor que indica o sentido e a direção na qual, por deslocamento a partir do ponto especificado, obtém-se o maior incremento possível no valor de uma grandeza a partir da qual se define um campo escalar para o espaço em consideração. Constrói-se assim, a partir do campo escalar e de um operador denominado operador gradiente, um campo vetorial, que atrela a cada ponto do espaço o correspondente vetor gradiente para a grandeza em consideração. Ex: . O símbolo , isto é, nabla é uma representação do gradiente. (pt) Градие́нт (от лат. gradiens, род. п. gradientis «шагающий, растущий») — вектор, своим направлением указывающий направление возрастания (а антиградиент - убывания) некоторой скалярной величины (значение которой меняется от одной точки пространства к другой, образуя скалярное поле), а по величине (модулю) равный скорости роста этой величины в этом направлении. Например, если взять в качестве высоту поверхности земли над уровнем моря, то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «направление самого крутого подъёма», и своей величиной характеризовать крутизну склона. (ru) |
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