Determinant (original) (raw)

dbo:abstract

في الجبر الخطي، المُحَدِّد (بالإنجليزية: Determinant)‏ لمصفوفة مربعة n×n، هو عدد يمكن أن يحسب من خلال مداخل المصفوفة المربعة، يحدد عددا من خصائص التحويل الخطي الذي تصفه هذه المصفوفة.يكون الُمحَدِّد مساوٍيا لصفر إذا وفقط إذا كانت المصفوفة غير معكوسة (أنظر معكوس المصفوفة ). يرمز عادة لمحدد مصفوفة ما A أو . للمحدد معنى هندسي: إذا كانت A مصفوفة مربعة حقيقية، فإن القيمة المطلقة لمحددها مساويةٌ لحجم متوازي السطوح (في فضاء إقليدي)، ورؤوس متوازي السطوح هي أعمدة المحدد. (ar)
En matemàtiques, el determinant és una eina molt potent en nombrosos dominis (estudi d'endomorfismes, recerca de valors propis, càlcul diferencial). És així com es defineixen el determinant d'un sistema d'equacions, el determinant d'un endomorfisme, o el determinant d'un sistema de vectors. Va ser introduïda inicialment a l'àlgebra per a resoldre el problema de determinar el nombre de solucions d'un sistema d'equacions lineals. Com en moltes altres operacions, el determinant pot ser definit per una col·lecció de propietats axiomes que es resumeixen amb l'expressió «forma n - lineal alternada». Aquesta definició permet de fer-ne un estudi teòric complet i ampliar encara més els seus camps d'aplicació. Però el determinant també es pot concebre com una generalització en l'espai de dimensió n de la noció de superfície o de volum orientats. Aquest aspecte, sovint negligit, és un enfocament pràctic i lluminós de les propietats del determinant. (ca)
Determinantem čtvercové matice řádu se v lineární algebře nazývá součet všech součinů prvků této matice takových, že v žádném z uvedených součinů se nevyskytují dva prvky z téhož řádku ani z téhož sloupce a každý součin je přitom opatřen znaménkem permutace. Jedná se tedy zobrazení, které přiřadí každé čtvercové matici A skalár. Determinanty se vyskytují napříč mnoha oblastmi matematiky. Pokud je matice tvořena koeficienty soustavy rovnic, informuje nás determinant o jednoznačné řešitelnosti této soustavy. V případech, kdy požadujeme existenci nekonečně mnoha řešení, jako například při hledání vlastních čísel a vlastních vektorů, se determinant používá na formulaci rovnice, z níž vlastní čísla určujeme. Při substituci ve vícerozměrném integrálu nám determinant Jacobiho matice umožňuje přechod z kartézských do křivočarých souřadnic. V geometrii determinant vyjadřuje obsah rovnoběžníku a objem rovnoběžnostěnu. Pomocí determinantu v praxi zapisujeme vektorový součin a s ním související pojmy, například rotaci vektorového pole. (cs)
Στην γραμμική άλγεβρα, η ορίζουσα είναι μια τιμή, η οποία σχετίζεται με ένα τετραγωνικό πίνακα. Μπορεί να υπολογιστεί από τα στοιχεία του πίνακα σε μια συγκεκριμένη αριθμητική έκφραση, αν και υπάρχουν και άλλοι τρόποι να βρούμε αυτήν την τιμή. Η ορίζουσα παρέχει σημαντικές πληροφορίες όταν ο πίνακας αποτελείται από τους συντελεστές ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων, ή όταν αντιστοιχεί σε ένα γραμμικό μετασχηματισμό ενός διανυσματικού χώρου. Στην πρώτη περίπτωση το σύστημα έχει μοναδική λύση ακριβώς όταν η ορίζουσα είναι μη μηδενική, ενώ όταν η ορίζουσα είναι μηδέν είτε δεν υπάρχουν λύσεις είτε υπάρχουν πολλές. Στην δεύτερη περίπτωση, για τις ίδιες συνθήκες σημαίνει ότι για τον μετασχηματισμό ορίζεται η αντίστροφη πράξη. Για την τιμή της ορίζουσας ενός τετραγωνικού πίνακα με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς μπορεί να δοθεί μια γεωμετρική ερμηνεία: η απόλυτη τιμή της ορίζουσας δίνει την κλίμακα με την οποία το εμβαδόν ή ο όγκος (ή μιας μεγαλύτερης διάστασης αναλογία) πολλαπλασιάζεται με τον σχετικό γραμμικό μετασχηματισμό, ενώ το πρόσημό της δείχνει αν ο μετασχηματισμός διατηρεί τον προσανατολισμό. Έτσι, ένας 2 × 2 πίνακας με ορίζουσα −2, όταν εφαρμόζεται στην περιοχή ενός επιπέδου με πεπερασμένο εμβαδόν, θα μετασχηματιστεί σε μια περιοχή με το διπλάσιο εμβαδόν, ενώ αντιστρέφει τον προσανατολισμό της. Ορίζουσες εμφανίζονται σε όλα τα μαθηματικά. Η χρήση των οριζουσών στον λογισμό συμπεριλαμβάνει την Ιακωβιανή ορίζουσα σε κανόνα αντικαταστάσεως για ολοκληρώματα συναρτήσεων πολλών μεταβλητών. Χρησιμοποιούνται για να ορίσουν το ενός πίνακα, το οποίο είναι ένα ουσιώδες εργαλείο στα προβλήματα ιδιοτιμών της γραμμικής άλγεβρας. Σε κάποιες περιπτώσεις χρησιμοποιούνται απλά σαν ένας συμπαγής συμβολισμός για εκφράσεις που διαφορετικά θα ήταν δύσχρηστες στην καταγραφή. Η ορίζουσα ενός πίνακα A συμβολίζεται det(A), det A, ή |A|. Σε περίπτωση που τα στοιχεία του πίνακα είναι ολογράφως, η ορίζουσα υποδηλώνεται με κάθετες γραμμές γύρω από τον πίνακα αντί για τις αγκύλες ή τις παρενθέσεις του πίνακα. Για παράδειγμα, η ορίζουσα του πίνακα γράφεται και η τιμή της είναι Παρόλο που συχνότερα χρησιμοποιούνται για πίνακες με στοιχεία πραγματικούς ή μιγαδικούς αριθμούς, ο ορισμός της ορίζουσας περιέχει μόνο πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμό, έτσι μπορεί να ορισθεί για τετραγωνικούς πίνακες με στοιχεία από οποιοδήποτε αντιμεταθετικό δακτύλιο. Για παράδειγμα, η ορίζουσα ενός πίνακα με ακεραίους συντελεστές θα είναι ένας ακέραιος και ο πίνακας θα έχει έναν αντίστροφο με ακεραίους συντελεστές αν και μόνον αν αυτή η ορίζουσα είναι 1 ή -1 (αυτά είναι τα μόνα αντιστρέψιμα στοιχεία των ακεραίων). Για τετραγωνικούς πίνακες με στοιχεία από ένα μη-αντιμεταθετικό δακτύλιο, για παράδειγμα οι τετραδικοί αριθμοί, δεν υπάρχει μοναδικός ορισμός για την ορίζουσα ούτε ορισμός που έχει όλες τις συνήθεις ιδιότητες των οριζουσών σε αντιμεταθετικούς δακτυλίους. (el)
In der linearen Algebra ist die Determinante eine Zahl (ein Skalar), die einer quadratischen Matrix zugeordnet wird und aus ihren Einträgen berechnet werden kann. Sie gibt an, wie sich das Volumen bei der durch die Matrix beschriebenen linearen Abbildung ändert, und ist ein nützliches Hilfsmittel bei der Lösung linearer Gleichungssysteme. Allgemeiner kann man jeder linearen Selbstabbildung (Endomorphismus) eine Determinante zuordnen. Übliche Schreibweisen für die Determinante einer quadratischen Matrix sind , oder . Zum Beispiel kann die Determinante einer -Matrix mit der Formel berechnet werden. Mit Hilfe von Determinanten kann man beispielsweise feststellen, ob ein lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist, und kann die Lösung mit Hilfe der Cramerschen Regel explizit angeben. Das Gleichungssystem ist genau dann eindeutig lösbar, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich null ist. Entsprechend ist eine quadratische Matrix mit Einträgen aus einem Körper genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich null ist. Schreibt man Vektoren im als Spalten einer quadratischen Matrix, so kann die Determinante dieser Matrix gebildet werden. Bilden bei dieser Festlegung die Vektoren eine Basis, so kann das Vorzeichen der Determinante dazu verwendet werden, die Orientierung von euklidischen Räumen zu definieren. Der Absolutbetrag dieser Determinante entspricht zugleich dem Volumen des n-Parallelotops (auch Spat genannt), das durch diese Vektoren aufgespannt wird. Wird die lineare Abbildung durch die Matrix repräsentiert und ist eine beliebige messbare Teilmenge, dann folgt, dass das Volumen von durch gegeben ist. Wird die lineare Abbildung durch die -Matrix repräsentiert und ist eine beliebige messbare Teilmenge, so gilt im Allgemeinen, dass das -dimensionale Volumen von durch gegeben ist, siehe Gramsche Determinante Das Konzept der Determinante ist von Interesse für -Matrizen mit . Für verkommt es zur Trivialität : So besteht ein lineares Gleichungssystem für den Fall aus einer Gleichung . Lösbarkeitskriterium und -strategie für diese Gleichung sind bekannt: Falls , setze . (de)
En lineara algebro, determinanto estas funkcio kiu asociigas skalaron det(A) al ĉiu n×n kvadrata matrico A. La fundamenta geometria signifo de determinanto estas kiel la por volumeno se A estas konsiderita kiel lineara transformo. Por ĉiu pozitiva entjero n, estas unika determinanta funkcio por la n×n matricoj super ĉiu komuta ringo R. Aparte, ĉi tiu funkcio ekzistas kiam R estas la kampo de reelaj aŭ kompleksaj nombroj. Determinanto de A estas ankaŭ iam skribita kiel |A|, sed ĉi tiu skribmaniero estas ambigua: ĝi estas ankaŭ uzata por matricaj normoj, kaj por la kvadrata radiko de . (eo)
In mathematics, the determinant is a scalar value that is a function of the entries of a square matrix. It characterizes some properties of the matrix and the linear map represented by the matrix. In particular, the determinant is nonzero if and only if the matrix is invertible and the linear map represented by the matrix is an isomorphism. The determinant of a product of matrices is the product of their determinants (the preceding property is a corollary of this one).The determinant of a matrix A is denoted det(A), det A, or |A|. In the case of a 2 × 2 matrix the determinant can be defined as Similarly, for a 3 × 3 matrix A, its determinant is Each determinant of a 2 × 2 matrix in this equation is called a minor of the matrix A. This procedure can be extended to give a recursive definition for the determinant of an n × n matrix, known as Laplace expansion. Determinants occur throughout mathematics. For example, a matrix is often used to represent the coefficients in a system of linear equations, and determinants can be used to solve these equations (Cramer's rule), although other methods of solution are computationally much more efficient. Determinants are used for defining the characteristic polynomial of a matrix, whose roots are the eigenvalues. In geometry, the signed n-dimensional volume of a n-dimensional parallelepiped is expressed by a determinant. This is used in calculus with exterior differential forms and the Jacobian determinant, in particular for changes of variables in multiple integrals. (en)
Matematikan, determinantea espazio bektorial baten gainean txandakatutako forma multilineal gisa definitzen da. Definizio honek propietate matematiko batzuk adierazten ditu eta matrize baten determinantearen kontzeptua orokortzen du, eremu askotan aplikagarri bihurtuz. Determinantea edo bolumen orientatuaren kontzeptua ekuazio linealen sistemen soluzio-kopurua aztertzeko sartu zen. Aljebra linealean, determinantea matrize karratu bati esleitutako balioa da. A matrize baten determinantea det(A) edo |A| adierazten da. Matrizearen zutabe- edo errenkada-kopuruari determinantearen ordena deritzo. Determinantea kalkulatzeko, batuketa bat egin behar da: batugai bakoitzean, zutabeen eta errenkaden osagai bana hartu eta biderkatu behar dira; biderkadura bakoitzari zeinu bat, + edo −, egokitzen zaio kontuan hartzen diren osagaien arabera; horrela osatutako biderkadura horiek batu behar dira determinantea lortzeko. Adibidez, matrizearen determinantea honela idazten da: eta balio hau du: . (eu)
En matemáticas se define el determinante como una forma multilineal alternada sobre un espacio vectorial. Esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante de una matriz haciéndolo aplicable en numerosos campos. El concepto de determinante o volumen orientado fue introducido para estudiar el número de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales. (es)
Sa mhatamaitic, is éard atá i ndeitéarmanant ná uimhir a fhaightear ó eilimintí maitríse cearnaí. Mar shampla i maitrís 2 × 2 sainmhínítear an deitéarmanant mar ad-bc. Má comharthaíonn A an mhaitrís, comharthaíonn det A nó |A| deitéarmanant A. I gcás maitrís 3 × 3 is é a dheitéarmanant ná: a(ei - hf) - b(di - gf) + c(dh - eg).Is féidir deitéarmanant mhaitrís n × n a scríobh i dtéarmaí mhaitrís (n-1) × (n-1). Díorthaíodh sainmhínithe eile freisin ar dheitéarmanant n × n. (ga)
En mathématiques, le déterminant est une valeur qu'on peut associer aux matrices ou aux applications linéaires en dimension finie. Sur les exemples les plus simples, ceux de la géométrie euclidienne en dimension 2 ou 3, il s'interprète en termes d'aires ou de volumes, et son signe est relié à la notion d'orientation. Il fut initialement introduit en algèbre, pour résoudre un système d'équations linéaires comportant autant d'équations que d'inconnues. Il se révèle être un outil très puissant dans de nombreux domaines. Il intervient ainsi dans l'étude des endomorphismes, la recherche de leurs valeurs propres, les propriétés d’indépendance linéaire de certaines familles de vecteurs, mais aussi dans le calcul différentiel, par exemple dans la formule de changement de variables dans les intégrales multiples. Comme pour de nombreuses opérations, le déterminant peut être défini par une collection de propriétés (axiomes) qu'on résume par le terme « forme multilinéaire alternée ». Cette définition permet d'en faire une étude théorique complète et d'élargir ses champs d'applications.Le déterminant peut aussi se concevoir comme une généralisation à l'espace de dimension n de la notion d'aire ou de volume orientés. Un domaine spécifique de l'algèbre est consacré à l'étude du déterminant et de ses généralisations : il s'agit de l'algèbre multilinéaire. (fr)
Dalam bidang aljabar linear, determinan (bahasa Belanda: determinant, bahasa Inggris: determinant) adalah nilai yang dapat dihitung dari unsur suatu matriks persegi. Determinan matriks A ditulis dengan tanda det(A), det A, atau |A|. Determinan dapat dianggap sebagai faktor penskalaan transformasi yang digambarkan oleh matriks. Apabila matriksnya berbetuk 2 × 2, rumus untuk mencari determinan adalah: Apabila matriksnya berbentuk 3 × 3 matrix A, rumusnya adalah: Rumus Leibniz untuk mencari determinan matriks n × n adalah: Metode eliminasi Gauss juga dapat dipakai. Sebagai contoh, determinan matriks berikut: dapat dihitung dengan menggunakan matriks berikut: Di sini, B diperoleh dari A dengan menambahkan −1/2× baris pertama dengan baris kedua, sehingga det(A) = det(B). C diperoleh dari B dengan menambahkan kolom pertama dengan kolom ketiga, sehingga det(C) = det(B). Sementara itu, D didapat dari C dengan menukar kolom kedua dan ketiga, sehingga det(D) = −det(C). Determinan matriks segitiga D merupakan hasil dari perkalian diagonal utamanya: (−2) · 2 · 4.5 = −18. Maka dari itu, det(A) = −det(D) = +18. (in)
数学における行列式（ぎょうれつしき、英: determinant）とは、正方行列に対して定義される量で、歴史的には行列が表す一次方程式の可解性を判定する指標として導入された。幾何的には線型空間またはより一般の有限生成自由加群上の自己準同型に対して定義され、線型変換に対して線形空間の拡大率ということができる。行列の可逆性を判定する指標として線型代数学における最も重要な指標の一つと見なされている。 (ja)
선형대수학에서 행렬식(行列式, 영어: determinant 디터미넌트[*])은 정사각 행렬에 스칼라를 대응시키는 함수의 하나이다. 실수 정사각 행렬의 행렬식의 절댓값은 그 행렬이 나타내는 선형 변환이 초부피를 확대시키는 배수를 나타내며, 행렬식의 부호는 방향 보존 여부를 나타낸다. (ko)
In de lineaire algebra is de determinant van een vierkante matrix een speciaal getal dat kan worden berekend uit de elementen van die matrix. Indien de matrix als een lineaire transformatie wordt gezien, is de fundamentele meetkundige betekenis van een determinant, die van een schaalfactor of coëfficiënt voor maten. Een 2×2-matrix met determinant 2 zal, als deze wordt toegepast op een verzameling punten met een eindige oppervlakte, deze punten transformeren naar een verzameling punten met een oppervlakte die twee keer zo groot is als de oorspronkelijke oppervlakte. De determinant van een matrix wordt aangeduid met , of zonder haakjes als , of ook door . Deze laatste notatie wordt ook gebruikt in gevallen waarin de matrixelementen in hun geheel worden geschreven, door in plaats van de gebruikelijke arrayhaken twee verticale strepen te zetten. De determinant van de 2×2-matrix wordt bijvoorbeeld genoteerd als De notatie voor determinant van schept soms verwarring met een andere matrixfunctie, namelijk . Behalve in de lineaire algebra zijn determinanten belangrijk in de differentiaal- en integraalrekening, waar zij een rol spelen in de substitutieregels bij de overgang tussen verschillende coördinatenstelsels. (nl)
In algebra lineare, il determinante di una matrice quadrata è un numero che descrive alcune proprietà algebriche e geometriche della matrice. Si tratta di un potente strumento usato in vari settori della matematica, ad esempio nello studio dei sistemi di equazioni lineari, nel calcolo infinitesimale a più dimensioni (ad esempio nello Jacobiano), nel calcolo tensoriale, nella geometria differenziale, o nella teoria combinatoria. Il significato geometrico principale del determinante si ottiene interpretando la matrice quadrata di ordine come trasformazione lineare di uno spazio vettoriale a dimensioni: con questa interpretazione, il valore assoluto di è il fattore con cui vengono modificati i volumi degli oggetti contenuti nello spazio (anche se ciò è improprio senza considerare il significato di misura). Se è diverso da zero, il segno del determinante indica inoltre se la trasformazione preserva o cambia l'orientazione dello spazio rispetto agli assi di riferimento. Esso viene generalmente indicato con e, a volte, con . Quest'ultima notazione è più compatta, ma anche più ambigua, in quanto utilizzata talvolta per descrivere una norma della matrice. (it)
Em matemática, determinante é uma função matricial que associa a cada matriz quadrada um escalar, ou seja, é uma função que transforma uma matriz quadrada em um número real. Esta função permite saber se a matriz tem ou não inversa, pois as que não têm são precisamente aquelas cujo determinante é igual a 0. O determinante de uma matriz é denotado por , ou . Para as matrizes de ordem 1, o valor do determinante é o próprio elemento: . No caso de matrizes de ordem 2, multiplicam-se os elementos da diagonal principal e diminui-se do resultado a multiplicação dos elementos da diagonal secundária, ou seja: Para matrizes de ordem 3, pode ser utilizada a Regra de Sarrus, a qual fornece: De modo geral, para uma matriz de ordem , com , pode-se utilizar de dois outros processos, conhecidos como fórmula de Laplace e fórmula de Leibniz para determinantes. Geometricamente, o determinante pode ser visto como o fator de escala de volume da transformação linear descrita por uma matriz. Este também é o volume com sinal do paralelepípedo n-dimensional gerado pelos vetores coluna ou linha da matriz. O determinante é positivo ou negativo, dependendo de o mapeamento linear preservar ou reverter a orientação do espaço n-dimensional. Determinantes aparecem em várias áreas da matemática. Por exemplo, uma matriz é frequentemente usada para representar os coeficientes em um sistema de equações lineares, e o determinante pode ser usado para resolver essas equações no caso de sistemas com o mesmo número de variáveis e de equações (se o determinante da matriz dos coeficientes for um valor diferente de zero, o sistema possui uma única solução; caso o valor do determinante seja zero, o sistema é possível indeterminado ou impossível), embora outros métodos de solução sejam muito mais eficientes em termos computacionais. Ainda na álgebra linear, uma matriz (com entradas em um corpo) é singular (não invertível) se, e somente se, seu determinante for zero. Isso leva ao uso de determinantes na definição do polinômio característico de uma matriz, cujas raízes são os autovalores. Os determinantes também utilizados para cálculos relacionados à independência linear e dão a orientação de uma base em um espaço vetorial. Na geometria analítica, os determinantes expressam os volumes n-dimensionais com sinal dos paralelepípedos n-dimensionais. Isso leva ao uso de determinantes no cálculo, com o determinante da matriz jacobiana na regra de mudança de variáveis para integrais de funções de várias variáveis. Determinantes aparecem frequentemente em identidades algébricas, como a identidade de Vandermonde. Também aparecem no cálculos de circulantes. Os determinantes possuem muitas propriedades algébricas. Uma delas é a multiplicatividade, a saber, que o determinante de um produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes das matrizes. Tipos especiais de matrizes têm determinantes especiais; por exemplo, o determinante de uma matriz ortogonal é sempre , e o determinante de uma matriz hermitiana complexa é sempre real. (pt)
Wyznacznik – funkcja przyporządkowująca każdej macierzy kwadratowej o współczynnikach z pierścienia przemiennego pewien element tego pierścienia. Pierścieniem może być np. ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych. Wyznacznik może być zdefiniowany na kilka równoważnych sposobów. Niezależnie od tego wyznacznik można traktować jako funkcję nie samej macierzy, a jej współczynników Jest on wówczas wielomianem zmiennych stopnia o współczynnikach z (pl)
Определи́тель (детермина́нт) в линейной алгебре — скалярная величина, которая характеризует ориентированное «растяжение» или «сжатие» многомерного евклидова пространства после преобразования матрицей; имеет смысл только для квадратных матриц. Стандартные обозначения определителя матрицы — , , . Определитель квадратной матрицы размеров , заданной над коммутативным кольцом , является элементом кольца . Эта величина определяет многие свойства матрицы , в частности, матрица обратима тогда и только тогда, когда её определитель является обратимым элементом кольца . В случае, когда — поле, определитель матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда ранг матрицы меньше , то есть когда системы строк и столбцов матрицы являются линейно зависимыми. (ru)
Inom linjär algebra, är en determinant en funktion som tillordnar en skalär till en kvadratisk matris. Skalären anger vilka skaländringar matrisens linjära transformation ger upphov till. Geometriskt kan determinanten till exempel tolkas som den skalfaktor med vilken volymen av enhetskuben skall multipliceras för att bilda samma volym som den volym som bildas när matrisens linjära transformation tillämpas på enhetskuben. Den är även viktig inom matematisk analys, då den används vid variabelsubstitution (se jacobian). Determinanten av en matris A betecknas det(A). Även notationen |A| används ibland men kan förväxlas med beteckningen för norm och absolutbelopp. Om alla element skall skrivas ut för determinanten används skrivsättet (sv)
Визна́чник або детерміна́нт — це число; вираз складений за певним законом з n² елементів квадратної матриці. Одна з найважливіших характеристик квадратних матриць. Для квадратної матриці розміру визна́чник є многочленом степеня від елементів матриці, і є сумою добутків елементів матриці зі всіма можливими комбінаціями різних номерів рядків і стовпців (в кожному із добутків є рівно по одному елементу з кожного рядка і кожного стовпця).Кожному добутку приписується знак плюс чи мінус, в залежності від парності перестановки номерів. Якщо елементами матриці є числа, то визна́чник — також число. Взагалі, визна́чник може бути функціональним або належати якомусь комутативному кільцю, залежно від походження матриці. З точністю до знака, визна́чник матриці виражає коефіцієнт, на який множаться -мірні об'єми під дією цієї матриці. (uk)
行列式（Determinant），记作或，是一个在方块矩阵上计算得到的标量。行列式可以看做是或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，其定义也被推广到诸如线性自同态和向量组等结构上。行列式的特性可以被概括为一个交替多线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。 (zh)

dbo:wikiPageExternalLink

dbo:wikiPageWikiLink

dbp:explain

What exactly is meant by this term must be specified. This statement is valid only if the bilinear form is required to be linear on the same side for both arguments; in contrast, Bourbaki defines a bilinear form B as having the property B = aBb, i.e., left-linear in the left argument and right-linear in the other. (en)

dbp:id

Determinant&oldid=12692 (en)

dbp:proof

This can be shown by writing out each term in components . The left-hand side is : Expanding gives : The terms which are quadratic in are seen to be , and similarly for , so the expression can be written : We can then write the cross-terms as : which can be recognized as : which completes the proof. (en)

dbp:title

Proof of identity (en)
Determinant (en)

rdfs:comment

في الجبر الخطي، المُحَدِّد (بالإنجليزية: Determinant)‏ لمصفوفة مربعة n×n، هو عدد يمكن أن يحسب من خلال مداخل المصفوفة المربعة، يحدد عددا من خصائص التحويل الخطي الذي تصفه هذه المصفوفة.يكون الُمحَدِّد مساوٍيا لصفر إذا وفقط إذا كانت المصفوفة غير معكوسة (أنظر معكوس المصفوفة ). يرمز عادة لمحدد مصفوفة ما A أو . للمحدد معنى هندسي: إذا كانت A مصفوفة مربعة حقيقية، فإن القيمة المطلقة لمحددها مساويةٌ لحجم متوازي السطوح (في فضاء إقليدي)، ورؤوس متوازي السطوح هي أعمدة المحدد. (ar)
En lineara algebro, determinanto estas funkcio kiu asociigas skalaron det(A) al ĉiu n×n kvadrata matrico A. La fundamenta geometria signifo de determinanto estas kiel la por volumeno se A estas konsiderita kiel lineara transformo. Por ĉiu pozitiva entjero n, estas unika determinanta funkcio por la n×n matricoj super ĉiu komuta ringo R. Aparte, ĉi tiu funkcio ekzistas kiam R estas la kampo de reelaj aŭ kompleksaj nombroj. Determinanto de A estas ankaŭ iam skribita kiel |A|, sed ĉi tiu skribmaniero estas ambigua: ĝi estas ankaŭ uzata por matricaj normoj, kaj por la kvadrata radiko de . (eo)
En matemáticas se define el determinante como una forma multilineal alternada sobre un espacio vectorial. Esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante de una matriz haciéndolo aplicable en numerosos campos. El concepto de determinante o volumen orientado fue introducido para estudiar el número de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales. (es)
Sa mhatamaitic, is éard atá i ndeitéarmanant ná uimhir a fhaightear ó eilimintí maitríse cearnaí. Mar shampla i maitrís 2 × 2 sainmhínítear an deitéarmanant mar ad-bc. Má comharthaíonn A an mhaitrís, comharthaíonn det A nó |A| deitéarmanant A. I gcás maitrís 3 × 3 is é a dheitéarmanant ná: a(ei - hf) - b(di - gf) + c(dh - eg).Is féidir deitéarmanant mhaitrís n × n a scríobh i dtéarmaí mhaitrís (n-1) × (n-1). Díorthaíodh sainmhínithe eile freisin ar dheitéarmanant n × n. (ga)
数学における行列式（ぎょうれつしき、英: determinant）とは、正方行列に対して定義される量で、歴史的には行列が表す一次方程式の可解性を判定する指標として導入された。幾何的には線型空間またはより一般の有限生成自由加群上の自己準同型に対して定義され、線型変換に対して線形空間の拡大率ということができる。行列の可逆性を判定する指標として線型代数学における最も重要な指標の一つと見なされている。 (ja)
선형대수학에서 행렬식(行列式, 영어: determinant 디터미넌트[*])은 정사각 행렬에 스칼라를 대응시키는 함수의 하나이다. 실수 정사각 행렬의 행렬식의 절댓값은 그 행렬이 나타내는 선형 변환이 초부피를 확대시키는 배수를 나타내며, 행렬식의 부호는 방향 보존 여부를 나타낸다. (ko)
Wyznacznik – funkcja przyporządkowująca każdej macierzy kwadratowej o współczynnikach z pierścienia przemiennego pewien element tego pierścienia. Pierścieniem może być np. ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych. Wyznacznik może być zdefiniowany na kilka równoważnych sposobów. Niezależnie od tego wyznacznik można traktować jako funkcję nie samej macierzy, a jej współczynników Jest on wówczas wielomianem zmiennych stopnia o współczynnikach z (pl)
行列式（Determinant），记作或，是一个在方块矩阵上计算得到的标量。行列式可以看做是或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，其定义也被推广到诸如线性自同态和向量组等结构上。行列式的特性可以被概括为一个交替多线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。 (zh)
En matemàtiques, el determinant és una eina molt potent en nombrosos dominis (estudi d'endomorfismes, recerca de valors propis, càlcul diferencial). És així com es defineixen el determinant d'un sistema d'equacions, el determinant d'un endomorfisme, o el determinant d'un sistema de vectors. Va ser introduïda inicialment a l'àlgebra per a resoldre el problema de determinar el nombre de solucions d'un sistema d'equacions lineals. (ca)
Determinantem čtvercové matice řádu se v lineární algebře nazývá součet všech součinů prvků této matice takových, že v žádném z uvedených součinů se nevyskytují dva prvky z téhož řádku ani z téhož sloupce a každý součin je přitom opatřen znaménkem permutace. Jedná se tedy zobrazení, které přiřadí každé čtvercové matici A skalár. (cs)
Στην γραμμική άλγεβρα, η ορίζουσα είναι μια τιμή, η οποία σχετίζεται με ένα τετραγωνικό πίνακα. Μπορεί να υπολογιστεί από τα στοιχεία του πίνακα σε μια συγκεκριμένη αριθμητική έκφραση, αν και υπάρχουν και άλλοι τρόποι να βρούμε αυτήν την τιμή. Η ορίζουσα παρέχει σημαντικές πληροφορίες όταν ο πίνακας αποτελείται από τους συντελεστές ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων, ή όταν αντιστοιχεί σε ένα γραμμικό μετασχηματισμό ενός διανυσματικού χώρου. Στην πρώτη περίπτωση το σύστημα έχει μοναδική λύση ακριβώς όταν η ορίζουσα είναι μη μηδενική, ενώ όταν η ορίζουσα είναι μηδέν είτε δεν υπάρχουν λύσεις είτε υπάρχουν πολλές. Στην δεύτερη περίπτωση, για τις ίδιες συνθήκες σημαίνει ότι για τον μετασχηματισμό ορίζεται η αντίστροφη πράξη. Για την τιμή της ορίζουσας ενός τετραγωνικού πίνακα με στοιχεία πραγ (el)
In der linearen Algebra ist die Determinante eine Zahl (ein Skalar), die einer quadratischen Matrix zugeordnet wird und aus ihren Einträgen berechnet werden kann. Sie gibt an, wie sich das Volumen bei der durch die Matrix beschriebenen linearen Abbildung ändert, und ist ein nützliches Hilfsmittel bei der Lösung linearer Gleichungssysteme. Allgemeiner kann man jeder linearen Selbstabbildung (Endomorphismus) eine Determinante zuordnen. Übliche Schreibweisen für die Determinante einer quadratischen Matrix sind , oder . Zum Beispiel kann die Determinante einer -Matrix mit der Formel (de)
In mathematics, the determinant is a scalar value that is a function of the entries of a square matrix. It characterizes some properties of the matrix and the linear map represented by the matrix. In particular, the determinant is nonzero if and only if the matrix is invertible and the linear map represented by the matrix is an isomorphism. The determinant of a product of matrices is the product of their determinants (the preceding property is a corollary of this one).The determinant of a matrix A is denoted det(A), det A, or |A|. In the case of a 2 × 2 matrix the determinant can be defined as (en)
Matematikan, determinantea espazio bektorial baten gainean txandakatutako forma multilineal gisa definitzen da. Definizio honek propietate matematiko batzuk adierazten ditu eta matrize baten determinantearen kontzeptua orokortzen du, eremu askotan aplikagarri bihurtuz. Determinantea edo bolumen orientatuaren kontzeptua ekuazio linealen sistemen soluzio-kopurua aztertzeko sartu zen. Adibidez, matrizearen determinantea honela idazten da: eta balio hau du: . (eu)
En mathématiques, le déterminant est une valeur qu'on peut associer aux matrices ou aux applications linéaires en dimension finie. Sur les exemples les plus simples, ceux de la géométrie euclidienne en dimension 2 ou 3, il s'interprète en termes d'aires ou de volumes, et son signe est relié à la notion d'orientation. Il fut initialement introduit en algèbre, pour résoudre un système d'équations linéaires comportant autant d'équations que d'inconnues. Il se révèle être un outil très puissant dans de nombreux domaines. Il intervient ainsi dans l'étude des endomorphismes, la recherche de leurs valeurs propres, les propriétés d’indépendance linéaire de certaines familles de vecteurs, mais aussi dans le calcul différentiel, par exemple dans la formule de changement de variables dans les intégra (fr)
Dalam bidang aljabar linear, determinan (bahasa Belanda: determinant, bahasa Inggris: determinant) adalah nilai yang dapat dihitung dari unsur suatu matriks persegi. Determinan matriks A ditulis dengan tanda det(A), det A, atau |A|. Determinan dapat dianggap sebagai faktor penskalaan transformasi yang digambarkan oleh matriks. Apabila matriksnya berbetuk 2 × 2, rumus untuk mencari determinan adalah: Apabila matriksnya berbentuk 3 × 3 matrix A, rumusnya adalah: Rumus Leibniz untuk mencari determinan matriks n × n adalah: dapat dihitung dengan menggunakan matriks berikut: (in)
In algebra lineare, il determinante di una matrice quadrata è un numero che descrive alcune proprietà algebriche e geometriche della matrice. Si tratta di un potente strumento usato in vari settori della matematica, ad esempio nello studio dei sistemi di equazioni lineari, nel calcolo infinitesimale a più dimensioni (ad esempio nello Jacobiano), nel calcolo tensoriale, nella geometria differenziale, o nella teoria combinatoria. (it)
In de lineaire algebra is de determinant van een vierkante matrix een speciaal getal dat kan worden berekend uit de elementen van die matrix. Indien de matrix als een lineaire transformatie wordt gezien, is de fundamentele meetkundige betekenis van een determinant, die van een schaalfactor of coëfficiënt voor maten. Een 2×2-matrix met determinant 2 zal, als deze wordt toegepast op een verzameling punten met een eindige oppervlakte, deze punten transformeren naar een verzameling punten met een oppervlakte die twee keer zo groot is als de oorspronkelijke oppervlakte. (nl)
Em matemática, determinante é uma função matricial que associa a cada matriz quadrada um escalar, ou seja, é uma função que transforma uma matriz quadrada em um número real. Esta função permite saber se a matriz tem ou não inversa, pois as que não têm são precisamente aquelas cujo determinante é igual a 0. O determinante de uma matriz é denotado por , ou . Para as matrizes de ordem 1, o valor do determinante é o próprio elemento: . Para matrizes de ordem 3, pode ser utilizada a Regra de Sarrus, a qual fornece: (pt)
Определи́тель (детермина́нт) в линейной алгебре — скалярная величина, которая характеризует ориентированное «растяжение» или «сжатие» многомерного евклидова пространства после преобразования матрицей; имеет смысл только для квадратных матриц. Стандартные обозначения определителя матрицы — , , . (ru)
Inom linjär algebra, är en determinant en funktion som tillordnar en skalär till en kvadratisk matris. Skalären anger vilka skaländringar matrisens linjära transformation ger upphov till. Geometriskt kan determinanten till exempel tolkas som den skalfaktor med vilken volymen av enhetskuben skall multipliceras för att bilda samma volym som den volym som bildas när matrisens linjära transformation tillämpas på enhetskuben. Den är även viktig inom matematisk analys, då den används vid variabelsubstitution (se jacobian). (sv)
Визна́чник або детерміна́нт — це число; вираз складений за певним законом з n² елементів квадратної матриці. Одна з найважливіших характеристик квадратних матриць. Для квадратної матриці розміру визна́чник є многочленом степеня від елементів матриці, і є сумою добутків елементів матриці зі всіма можливими комбінаціями різних номерів рядків і стовпців (в кожному із добутків є рівно по одному елементу з кожного рядка і кожного стовпця).Кожному добутку приписується знак плюс чи мінус, в залежності від парності перестановки номерів. (uk)

is dbo:wikiPageRedirects of