General linear group (original) (raw)
En matemàtiques, el grup lineal general de mida n sobre un cos K o un anell A és el conjunt de les matrius invertibles quadrades de mida n×n amb coeficients a K o A amb l'operació de composició o multiplicació de matrius usual. És un grup que es denota GL(n,A) o GLn(A). La composició o multiplicació de dues matrius A i B és: on indica les coordenades de A a la casella i,j. El grup lineal és grup en tant que: * La composició és associativa. * Existeix l'element neutre (la matriu identitat d'ordre n). * La composició de matrius invertibles és una matriu invertible, que pertany al grup lineal.
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Pli ĝenerale, oni povas difini la ĝeneralan linearan grupon de grado n super ĉiu kampo F (ekzemple la kompleksaj nombroj), aŭ eĉ ĉiu ringo R (kiel la ringo de entjeroj); ĝi estas simple la aro de n×n inversigeblaj matricoj kun elementoj de F (aŭ R), denove kun ordinara matrica multipliko kiel la grupa operacio. La speciala lineara grupo, skribita kiel SL(n, F) aŭ SL(n), estas subgrupo de Gl(n, F) konsistanta el matricoj kun determinanto 1. (eo) Die allgemeine lineare Gruppe vom Grad über einem Körper ist die Gruppe bestehend aus der Menge aller regulären -Matrizen mit Koeffizienten aus zusammen mit der Matrizenmultiplikation als Gruppenverknüpfung bezeichnet dabei den Matrizenring. Die Invertierbarkeit garantiert, dass es sich wirklich um eine Gruppe handelt. Die allgemeine lineare Gruppe wird auch mit notiert. Die Bezeichnung kommt von generell linear oder der englischen Bezeichnung „general linear group“. Wenn der Körper ein endlicher Körper mit einer Primzahlpotenz ist, so schreibt man auch statt . Wenn aus dem Kontext klar ist, dass der Körper der reellen oder der komplexen Zahlen zu Grunde gelegt ist, schreibt man auch oder . Die allgemeine lineare Gruppe und ihre Untergruppen finden Anwendung in der Darstellung von Gruppen sowie in der Untersuchung von Symmetrien. Untergruppen der allgemeinen linearen Gruppe werden als Matrizengruppen bezeichnet. (de) In mathematics, the general linear group of degree n is the set of n×n invertible matrices, together with the operation of ordinary matrix multiplication. This forms a group, because the product of two invertible matrices is again invertible, and the inverse of an invertible matrix is invertible, with identity matrix as the identity element of the group. The group is so named because the columns (and also the rows) of an invertible matrix are linearly independent, hence the vectors/points they define are in general linear position, and matrices in the general linear group take points in general linear position to points in general linear position. To be more precise, it is necessary to specify what kind of objects may appear in the entries of the matrix. For example, the general linear group over R (the set of real numbers) is the group of n×n invertible matrices of real numbers, and is denoted by GLn(R) or GL(n, R). More generally, the general linear group of degree n over any field F (such as the complex numbers), or a ring R (such as the ring of integers), is the set of n×n invertible matrices with entries from F (or R), again with matrix multiplication as the group operation. Typical notation is GLn(F) or GL(n, F), or simply GL(n) if the field is understood. More generally still, the GL(V) is the abstract automorphism group, not necessarily written as matrices. The , written SL(n, F) or SLn(F), is the subgroup of GL(n, F) consisting of matrices with a determinant of 1. The group GL(n, F) and its subgroups are often called linear groups or matrix groups (the abstract group GL(V) is a linear group but not a matrix group). These groups are important in the theory of group representations, and also arise in the study of spatial symmetries and symmetries of vector spaces in general, as well as the study of polynomials. The modular group may be realised as a quotient of the special linear group SL(2, Z). If n ≥ 2, then the group GL(n, F) is not abelian. (en) En matemáticas, el grupo lineal general (GL) de un espacio vectorial , denotado como , es el grupo formado por todos los isomorfismos de ese espacio en sí mismo. Cuando el espacio vectorial es siendo un cuerpo F (tal como o ), se escribe (en lugar de ) y se llama grupo lineal general de grado n sobre el cuerpo. Este último grupo puede ser pensado como el grupo de matrices invertibles n por n con las entradas en , con la operación de grupo dada por la multiplicación de matrices. (esto es ciertamente un grupo porque el producto de dos matrices invertibles es otra vez invertible, al igual que la inversa de una invertible.) Si el cuerpo es claro por contexto escribimos a veces , o . El grupo lineal especial (SL), escrito o , es el subgrupo de de las matrices con determinante 1. Se definen el grupo especial lineal proyectivo y el grupo general lineal proyectivo como los cocientes de y por sus grupos normales y respectivamente, donde el último es el grupo de matrices escalares no nulas. El grupo y sus subgrupos se llaman a menudo grupos lineales o grupos matriciales. Estos grupos son importantes en la teoría de las representaciones de grupo, y también se presentan en el estudio de simetrías espaciales y de simetrías de los espacios vectoriales en general, así como el estudio de los polinomios. Si n ≥ 2, el grupo no es grupo abeliano. (es) En mathématiques, le groupe général linéaire — ou groupe linéaire — de degré n d’un corps commutatif K (ou plus généralement d'un anneau commutatif unifère) est le groupe des matrices inversibles de taille n à coefficients dans K, muni du produit matriciel. On le note GLn(K) ou GL(n, K) et il représente les automorphismes de l’espace vectoriel Kn. Ce groupe est non abélien dès lors que n > 1. Lorsque K est un corps commutatif, l’ensemble GL(n, K) est en outre un ouvert pour la topologie de Zariski. Dans les cas particuliers K = ℝ ou K = ℂ, il s’agit même d’un ouvert dense de . GL(n, K) et ses sous-groupes sont souvent appelés « groupes linéaires » ou « groupes matriciels ». En particulier, le , noté SL(n, K) et constitué des matrices de déterminant 1, forme un sous-groupe normal de GL(n, K). Ces groupes sont importants dans la théorie des représentations de groupes et apparaissent lors de l’étude des symétries et des polynômes. (fr) In matematica, e più precisamente in algebra lineare, il gruppo lineare generale è il gruppo di tutte le matrici invertibili n × n a valori in un campo K, dove n è un numero intero positivo. Il gruppo lineare generale viene indicato con GL(n, K) oppure con GLn(K), e si dice anche gruppo di matrici. Il gruppo lineare speciale è il sottogruppo delle matrici aventi determinante uguale a +1. Il gruppo lineare speciale viene indicato con SL(n, K) oppure con SLn(K). (it) 数学において、一般線型群（いっぱんせんけいぐん、英: general linear group）とは線型空間上の自己同型写像のなす群のこと。あるいは基底を固定することで、正則行列のなす群のことを指すこともある。 (ja) 수학에서 일반선형군(一般線型群, 영어: general linear group)은 주어진 벡터 공간의 가역 선형 변환들이 이루는 군이다. (ko) In de wiskunde is de algemene lineaire groep van de orde over een unitaire ring , aangeduid door of , de groep bestaande uit de inverteerbare -matrices met elementen in , met als groepsoperatie de gewone matrixvermenigvuldiging. In veel gevallen zal een lichaam NL / veld B zijn. Doordat het product van twee inverteerbare matrices opnieuw inverteerbaar is en de inverse van een inverteerbare matrix is ook weer inverteerbaar, is inderdaad een groep. De algemene lineaire groepen vinden toepassing in de theorie van de groepsrepresentaties en bij de studie naar symmetrieën. Als de ring een eindig lichaam is met een priemgetal of een macht van een priemgetal, schrijft men wel in plaats van . Als uit de context blijkt dat de ring het lichaam/veld van de reële getallen of van de complexe getallen is, wordt ook eenvoudig of geschreven. Voor alle is de groep niet abels. De groep is abels als een commutatieve ring is. De speciale lineaire groep, geschreven als of , is de ondergroep van bestaande uit matrices met determinant gelijk aan 1. De groepen en hun ondergroepen worden vaak lineaire groepen of matrixgroepen genoemd. Het is een voorwaarde dat een groep is. Als dit het geval is, is een lineaire groep, maar geen matrixgroep. De modulaire groep kan worden gerealiseerd als een quotiëntgroep van de speciale lineaire groep . (nl) Pełna grupa liniowa (ogólna grupa liniowa), GL(n, R) – grupa wszystkich odwracalnych macierzy kwadratowych stopnia nad danym pierścieniem z mnożeniem macierzy jako działaniem określonym w grupie. (pl) Na matemática, o grupo linear geral de grau n é o grupo formado pelas matrizes n×n , com a operação de multiplicação de matrizes. Com maior precisão, é necessário especificar em que corpo ou anel com unidade são definidos os elementos da matriz. Neste caso, o grupo linear geral de grau n sobre o corpo ou anel K é representado por GL(n, K). Se K é o corpo finito , este grupo também é representado por GL(n, p). O grupo linear especial SL(n, K) é o subgrupo de GL(n, K) das matrizes de determinante 1. O grupo GL(n, K) e seus subgrupos são chamados de grupos lineares ou grupos de matrizes. Estes grupos são importantes na teoria de representação de grupos, e aparecem no estudo de simetrias espaciais e simetrias de espaços vetoriais, assim como no estudo de polinômios. O grupo modular é isomorfo a um grupo quociente do grupo SL(2, Z). Se 'n ≥ 2, então o grupo GL(n, K) não é abeliano. (pt) Полная линейная группа (иногда используют термин общая линейная группа) относится к двум различным (хотя и тесно связанным) понятиям. Полная линейная группа векторного пространства V — это группа обратимых линейных операторов вида C: V → V. Роль групповой операции играет обычная композиция линейных операторов. Обычно обозначается GL(V). Полная линейная группа порядка n — это группа обратимых матриц порядка n (то есть квадратных матриц с n строками и n столбцами). Роль групповой операции играет обычное умножение матриц. Обычно обозначается GL(n). Если требуется явно указать, какому полю (или, в более общем случае, коммутативному кольцу с единицей) K должны принадлежать элементы матрицы, то пишут: GL(n, K) или GLn(K). Так, если рассматриваются матрицы над действительными числами, полная линейная группа порядка n обозначается GL(n, R), а если над комплексными числами, то GL(n, C). Оба рассмотренных понятия в действительности тесно связаны. Во-первых, квадратную матрицу порядка n можно рассматривать как линейный оператор, действующий на арифметическом векторном пространстве K n (то есть пространстве n-мерных столбцов с элементами из K). Поэтому GL(n, R) = GL(Rn) и GL(n, C) = GL(Cn). Во-вторых, введение базиса в n-мерном векторном пространстве V над полем скаляров K позволяет взаимно однозначно сопоставить линейному оператору C : V → V его матрицу — квадратную матрицу порядка n из компонент оператора C в этом базисе. При этом обратимому оператору будет отвечать невырожденная матрица, и мы получаем взаимно однозначное соответствие между группами GL(V) и GL(n, K) (это соответствие в действительности является изоморфизмом данных групп). (ru) 在數學中，n 次一般線性群是 n×n 可逆矩陣的集合，和與之一起的普通矩陣乘法運算。這形成了一個群，因為兩個可逆矩陣的乘積也是可逆矩陣，而可逆矩陣的逆元還是可逆矩陣。叫這個名字是因為可逆矩陣的縱列是線性無關的，因此它們定義的向量／點是在一般線性位置上的，而在一般線性群中的矩陣把在一般線性位置上的點變換成在一般線性位置上的點。 为了使定义更明确，必需規定哪類對象可以成為矩陣的元素。例如，在 R（實數集）上的一般線性群是實數的 n×n 可逆矩陣的群，并指示為 GLn(R)或 GL(n, R)。 更一般的說，在任何域 F（比如複數集）或環 R（比如整數集的環）上的 n 次一般線性群是帶有來自 F（或 R）的元素的 n×n 可逆矩陣的群，帶有矩陣乘法作為群運算。典型符號是 GLn(F)或 GL(n, F)，如果域是自明的也可簡寫為 GL(n)。 更一般的說， GL(V)仍是抽象自同構群，不必需寫為矩陣。 ，寫為 SL(n, F)或 SLn(F)，是由行列式 =1的矩陣構成的 GL(n, F)的子群。 群 GL(n, F)和它的子群經常叫做線性群或矩陣群（抽象群 GL(V)是線性群但不是矩陣群）。這些群在群表示理論中是重要的，并引發對空間對稱和一般向量空間對稱的研究，還有多項式的研究。可以實現為特殊線性群SL(2, Z)的商群。 如果 n ≥ 2，則群 GL(n, F)不是阿貝爾群。 (zh) Загальна лінійна група — в математиці група всіх оборотних квадратних матриць над деяким кільцем. (uk) |
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Il gruppo lineare speciale è il sottogruppo delle matrici aventi determinante uguale a +1. Il gruppo lineare speciale viene indicato con SL(n, K) oppure con SLn(K). (it) 数学において、一般線型群（いっぱんせんけいぐん、英: general linear group）とは線型空間上の自己同型写像のなす群のこと。あるいは基底を固定することで、正則行列のなす群のことを指すこともある。 (ja) 수학에서 일반선형군(一般線型群, 영어: general linear group)은 주어진 벡터 공간의 가역 선형 변환들이 이루는 군이다. (ko) Pełna grupa liniowa (ogólna grupa liniowa), GL(n, R) – grupa wszystkich odwracalnych macierzy kwadratowych stopnia nad danym pierścieniem z mnożeniem macierzy jako działaniem określonym w grupie. (pl) 在數學中，n 次一般線性群是 n×n 可逆矩陣的集合，和與之一起的普通矩陣乘法運算。這形成了一個群，因為兩個可逆矩陣的乘積也是可逆矩陣，而可逆矩陣的逆元還是可逆矩陣。叫這個名字是因為可逆矩陣的縱列是線性無關的，因此它們定義的向量／點是在一般線性位置上的，而在一般線性群中的矩陣把在一般線性位置上的點變換成在一般線性位置上的點。 为了使定义更明确，必需規定哪類對象可以成為矩陣的元素。例如，在 R（實數集）上的一般線性群是實數的 n×n 可逆矩陣的群，并指示為 GLn(R)或 GL(n, R)。 更一般的說，在任何域 F（比如複數集）或環 R（比如整數集的環）上的 n 次一般線性群是帶有來自 F（或 R）的元素的 n×n 可逆矩陣的群，帶有矩陣乘法作為群運算。典型符號是 GLn(F)或 GL(n, F)，如果域是自明的也可簡寫為 GL(n)。 更一般的說， GL(V)仍是抽象自同構群，不必需寫為矩陣。 ，寫為 SL(n, F)或 SLn(F)，是由行列式 =1的矩陣構成的 GL(n, F)的子群。 群 GL(n, F)和它的子群經常叫做線性群或矩陣群（抽象群 GL(V)是線性群但不是矩陣群）。這些群在群表示理論中是重要的，并引發對空間對稱和一般向量空間對稱的研究，還有多項式的研究。可以實現為特殊線性群SL(2, Z)的商群。 如果 n ≥ 2，則群 GL(n, F)不是阿貝爾群。 (zh) Загальна лінійна група — в математиці група всіх оборотних квадратних матриць над деяким кільцем. (uk) Die allgemeine lineare Gruppe vom Grad über einem Körper ist die Gruppe bestehend aus der Menge aller regulären -Matrizen mit Koeffizienten aus zusammen mit der Matrizenmultiplikation als Gruppenverknüpfung bezeichnet dabei den Matrizenring. Die Invertierbarkeit garantiert, dass es sich wirklich um eine Gruppe handelt. Die allgemeine lineare Gruppe wird auch mit notiert. Die Bezeichnung kommt von generell linear oder der englischen Bezeichnung „general linear group“. Untergruppen der allgemeinen linearen Gruppe werden als Matrizengruppen bezeichnet. (de) En matematiko, la ĝenerala lineara grupo de grado n super la reelaj nombroj estas la aro de n×n inversigeblaj matricoj de reelaj nombroj, kaj ankaŭ la operacio de ordinara matrica multipliko. Ili formas grupon, ĉar produto de du inversigeblaj matricoj estas denove inversigebla. Ĝi estas signifita per Gl(n, R), aŭ Gln(R). La speciala lineara grupo, skribita kiel SL(n, F) aŭ SL(n), estas subgrupo de Gl(n, F) konsistanta el matricoj kun determinanto 1. (eo) In mathematics, the general linear group of degree n is the set of n×n invertible matrices, together with the operation of ordinary matrix multiplication. 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(esto es ciertamente un grupo porque el producto de dos matrices invertibles es otra vez invertible, al igual que la inversa de una invertible.) Si el cuerpo es claro por contexto escribimos a veces , o . (es) En mathématiques, le groupe général linéaire — ou groupe linéaire — de degré n d’un corps commutatif K (ou plus généralement d'un anneau commutatif unifère) est le groupe des matrices inversibles de taille n à coefficients dans K, muni du produit matriciel. On le note GLn(K) ou GL(n, K) et il représente les automorphismes de l’espace vectoriel Kn. Ce groupe est non abélien dès lors que n > 1. Lorsque K est un corps commutatif, l’ensemble GL(n, K) est en outre un ouvert pour la topologie de Zariski. Dans les cas particuliers K = ℝ ou K = ℂ, il s’agit même d’un ouvert dense de . (fr) In de wiskunde is de algemene lineaire groep van de orde over een unitaire ring , aangeduid door of , de groep bestaande uit de inverteerbare -matrices met elementen in , met als groepsoperatie de gewone matrixvermenigvuldiging. In veel gevallen zal een lichaam NL / veld B zijn. Doordat het product van twee inverteerbare matrices opnieuw inverteerbaar is en de inverse van een inverteerbare matrix is ook weer inverteerbaar, is inderdaad een groep. De algemene lineaire groepen vinden toepassing in de theorie van de groepsrepresentaties en bij de studie naar symmetrieën. (nl) Na matemática, o grupo linear geral de grau n é o grupo formado pelas matrizes n×n , com a operação de multiplicação de matrizes. Com maior precisão, é necessário especificar em que corpo ou anel com unidade são definidos os elementos da matriz. Neste caso, o grupo linear geral de grau n sobre o corpo ou anel K é representado por GL(n, K). Se K é o corpo finito , este grupo também é representado por GL(n, p). O grupo linear especial SL(n, K) é o subgrupo de GL(n, K) das matrizes de determinante 1. Se 'n ≥ 2, então o grupo GL(n, K) não é abeliano. (pt) Полная линейная группа (иногда используют термин общая линейная группа) относится к двум различным (хотя и тесно связанным) понятиям. Полная линейная группа векторного пространства V — это группа обратимых линейных операторов вида C: V → V. Роль групповой операции играет обычная композиция линейных операторов. Обычно обозначается GL(V). Полная линейная группа порядка n — это группа обратимых матриц порядка n (то есть квадратных матриц с n строками и n столбцами). Роль групповой операции играет обычное умножение матриц. (ru) |
| rdfs:label | Grup lineal general (ca) Allgemeine lineare Gruppe (de) General linear group (en) Ĝenerala lineara grupo (eo) Grupo lineal general (es) Gruppo generale lineare (it) Groupe général linéaire (fr) 일반선형군 (ko) 一般線型群 (ja) Algemene lineaire groep (nl) Pełna grupa liniowa (pl) Grupo linear geral (pt) Полная линейная группа (ru) 一般线性群 (zh) Загальна лінійна група (uk) |
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