Affine transformation (original) (raw)
في الهندسة الرياضية، التحويل التآلفي بين فضائين شعاعيين (أو بشكل دقيق فضائين تآلفيين) يتكون من تحويل خطي يتبع بعملية نقل: (أصل كلمة تآلف هي من اللغة اللاتينية affīnis وتعني "المتصل"). في البعد التآلفي، كل تحويل تآلفي يعطى بالمصفوفة A والمتجهة b . بالمعنى الفيزيائي، التحويل التآلفي هو التحويل الذي يحافظ على: 1. * العلاقة الخطية بين النقاط، أي أن أي ثلاث نقاط واقعة على مستقيم واحد تبقى واقعة على مستقيم بعد التحويل 2. * النسب على طول المستقيم، أي من أجل ثلاث نقاط , , تقع على مستقيم، فإن النسبة تكون محققة قبل وبعد التحويل.
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| dbo:abstract | في الهندسة الرياضية، التحويل التآلفي بين فضائين شعاعيين (أو بشكل دقيق فضائين تآلفيين) يتكون من تحويل خطي يتبع بعملية نقل: (أصل كلمة تآلف هي من اللغة اللاتينية affīnis وتعني "المتصل"). في البعد التآلفي، كل تحويل تآلفي يعطى بالمصفوفة A والمتجهة b . بالمعنى الفيزيائي، التحويل التآلفي هو التحويل الذي يحافظ على: 1. * العلاقة الخطية بين النقاط، أي أن أي ثلاث نقاط واقعة على مستقيم واحد تبقى واقعة على مستقيم بعد التحويل 2. * النسب على طول المستقيم، أي من أجل ثلاث نقاط , , تقع على مستقيم، فإن النسبة تكون محققة قبل وبعد التحويل. (ar) Afinní zobrazení je geometrické zobrazení mezi afinními prostory, které zachovává a . Přesněji řečeno je afinní zobrazení zobrazení mezi afinními prostory takové, že každé tři různé body A,B,C ležící v jedné přímce zobrazí buď do jednoho bodu anebo do tří různých bodů A', B', C' a v tom případě zachovává jejich . Prosté afinní zobrazení afinního prostoru na sebe se nazývá afinita. Je to automorfismus afinního prostoru. Důležitá vlastnost afinních zobrazení je, že převádějí přímky na přímky (nebo bod) a obecněji afinní podprostory na afinní podprostory. Analyticky lze afinní zobrazení vyjádřit jako složení posunutí a lineárního zobrazení. V konečněrozměrném afinním prostoru má afinní zobrazení v libovolné souřadnicové soustavě analytické vyjádření kde A je matice a b vektor. Pro Euklidův prostor to zahrnuje posunutí, otáčení, zrcadlení, změnu měřítka, zkosení, projekce a jejich skládání. (cs) En matemàtiques, i més concretament en l'àmbit de la geometria, una transformació afí, aplicació afí o una afinitat (del llatí affīnĭtas, "semblança") és una funció entre espais afins que conserva els punts, les rectes i els plans. Addicionalment, els conjunts de línies paral·leles queden paral·leles després d'una transformació afí. Una transformació afí no necessàriament conserva els angles entre rectes o les distàncies entre punts, encara que conserva les proporcions de distàncies entre punts que pertanyen a una línia recta. Alguns exemples de transformacions afins són les translacions, els , les homotècies, les semblances, les reflexions, les rotacions, les transformacions de cisallament, i les composicions d'aquestes transformacions en qualsevol combinació i seqüència. Si i són espais afins, llavors tota transformació afí és de la forma , on és una transformació lineal de l'espai , és un vector de , i és un vector de . A diferència d'una transformació purament lineal, no cal que una aplicació afí conservi el punt zero d'un espai lineal. Així, tota transformació lineal és afí, però no tota transformació afí és lineal. Tot els espais euclidians són afins, però hi ha espais afins que no són euclidians. En coordenades afins, que inclouen les coordenades cartesianes en espais euclidians, tota coordenada de sortida d'una aplicació afí és una funció lineal (en el sentit de càlcul) de totes les coordenades d'entrada. Una altra manera de tractar les transformacions afins sistemàticament és seleccionar un punt com l'origen; llavors, qualsevol transformació afí és equivalent a una transformació lineal (de vectors de posició) seguida d'una translació. (ca) In der Geometrie und in der Linearen Algebra, Teilgebieten der Mathematik, ist eine affine Abbildung oder Affinität (auch affine Transformation genannt, insbesondere bei einer bijektiven affinen Abbildung) eine Abbildung zwischen zwei affinen Räumen, bei der Kollinearität, Parallelität und Teilverhältnisse bewahrt bleiben oder gegenstandslos werden. Präziser formuliert: 1. * Die Bilder von Punkten, die auf einer Geraden liegen (d. h. kollinear sind), liegen wieder auf einer Geraden (Invarianz der Kollinearität). Dabei können auch alle – aber dann alle und nicht nur einige – Punkte einer Geraden auf einen Punkt abgebildet werden. 2. * Die Bilder zweier paralleler Geraden sind parallel, wenn keine der beiden Geraden auf einen Punkt abgebildet wird. 3. * Drei verschiedene Punkte, die auf einer Geraden liegen (kollineare Punkte), werden so abgebildet, dass das Teilverhältnis ihrer Bildpunkte mit dem der Urbildpunkte übereinstimmt – es sei denn, alle drei werden auf denselben Bildpunkt abgebildet. Eine bijektive affine Abbildung eines affinen Raumes auf sich selbst wird Affinität genannt. In der Schulmathematik und manchen Anwendungsgebieten (zum Beispiel in der Statistik, siehe unten) werden spezielle affine Abbildungen auch lineare Abbildung oder lineare Funktion genannt. Im allgemeinen mathematischen Sprachgebrauch ist eine lineare Abbildung jedoch ein Homomorphismus von Vektorräumen. (de) In Euclidean geometry, an affine transformation or affinity (from the Latin, affinis, "connected with") is a geometric transformation that preserves lines and parallelism, but not necessarily Euclidean distances and angles. More generally, an affine transformation is an automorphism of an affine space (Euclidean spaces are specific affine spaces), that is, a function which maps an affine space onto itself while preserving both the dimension of any affine subspaces (meaning that it sends points to points, lines to lines, planes to planes, and so on) and the ratios of the lengths of parallel line segments. Consequently, sets of parallel affine subspaces remain parallel after an affine transformation. An affine transformation does not necessarily preserve angles between lines or distances between points, though it does preserve ratios of distances between points lying on a straight line. If X is the point set of an affine space, then every affine transformation on X can be represented as the composition of a linear transformation on X and a translation of X. Unlike a purely linear transformation, an affine transformation need not preserve the origin of the affine space. Thus, every linear transformation is affine, but not every affine transformation is linear. Examples of affine transformations include translation, scaling, homothety, similarity, reflection, rotation, shear mapping, and compositions of them in any combination and sequence. Viewing an affine space as the complement of a hyperplane at infinity of a projective space, the affine transformations are the projective transformations of that projective space that leave the hyperplane at infinity invariant, restricted to the complement of that hyperplane. A generalization of an affine transformation is an affine map (or affine homomorphism or affine mapping) between two (potentially different) affine spaces over the same field k. Let (X, V, k) and (Z, W, k) be two affine spaces with X and Z the point sets and V and W the respective associated vector spaces over the field k. A map f: X → Z is an affine map if there exists a linear map mf : V → W such that mf (x − y) = f (x) − f (y) for all x, y in X. (en) En geometrio, afina transformo aŭ afina mapo (de la latina, affinis - "koneksa kun") inter du vektoraj spacoj estas transformo kiu konsistas el lineara transformo sekvita per movo: En la finidimensia okazo ĉiu afina transformo estas donita per matrico A kaj vektoro b, kiu povas esti skribita kiel la matrico A kun superflua kolumno b. Se homogenaj koordinatoj estas uzataj do la afina transformo korespondas al multipliko de matrico kaj vektoro, kaj komponaĵo de afinaj transformoj korespondas al ordinara matrica multipliko, se superflua linio (0, 0, ... 0, 1) estas aldonita je la malsupro de la matrico: kaj ero 1 estas aldonita je la malsupro al ĉiu kolumna vektoro: Afina transformo estas inversigebla se kaj nur se A estas . La inversigeblaj afinaj transformoj formas la , kiu havas ĝeneralan linearan grupon de ordo n kiel subgrupo kaj mem estas subgrupo de ĝenerala lineara grupo de ordo n+1. (eo) En geometría, una transformación afín o aplicación afín (también llamada afinidad) entre dos espacios afines (en particular, dos espacios vectoriales) consiste en una transformación lineal seguida de una traslación: En el caso de dimensión finita, toda transformación afín puede representarse por una matriz y un vector que satisfacen ciertas propiedades que se especifican a continuación. Geométricamente, una transformación afín en un espacio euclídeo es una transformación que preserva: 1. * Las relaciones de colinealidad (y coplanaridad) entre puntos, es decir, puntos que recaían sobre una misma línea (o sobre un mismo plano) antes de la transformación, son preservadas tras una transformación afín. 2. * Las razones entre distancias a lo largo de una línea, es decir, para tres puntos alineados distintos las razones antes y después de la transformación son iguales. En general, una transformación afín está compuesta de transformaciones lineales (rotaciones, homotecias y sesgos) compuestas con una traslación o desplazamiento. En el caso 1-dimensional A y b se llaman, respectivamente, la pendiente y el término independiente. (es) En géométrie, une application affine est une application entre deux espaces affines qui est compatible avec leur structure. Cette notion généralise celle de fonction affine de ℝ dans ℝ, sous la forme , où est une application linéaire et est un point. Une bijection affine (qui est un cas particulier de transformation géométrique) envoie les sous-espaces affines, comme les points, les droites ou les plans, sur le même type d'objet géométrique, tout en préservant la notion de parallélisme. Dans son Introductio in analysin infinitorum de 1748, Leonhard Euler introduit le mot « affinité » dans un sens mathématique, avec une acception différente, lorsqu’il discute les courbes dont les abscisses et les ordonnées respectives sont dans des rapports déterminés, mais pas nécessairement égaux : « à cause de l’espèce d’analogie qu'on remarque dans les courbes qu’on obtient de cette manière, on dira qu’elles ont entre elles de l’affinité. » (fr) 幾何学におけるアフィン写像（アフィンしゃぞう、英語: affine map）はベクトル空間（厳密にはアフィン空間）の間で定義される、平行移動を伴う線型写像である。アフィン (affine) はラテン語で「類似・関連」を意味する affinis に由来する。 始域と終域が同じであるようなアフィン写像はアフィン変換（アフィンへんかん、英語: affine transformation）と呼ばれる。アフィン写像はアフィン空間の構造を保つ。 (ja) 기하학에서 아핀 변환(-變換, 영어: affine transformation)은 아핀 기하학적 성질들을 보존하는 두 아핀 공간 사이의 함수이다. (ko) In geometria, si definisce trasformazione affine dello spazio euclideo qualunque composizione di una trasformazione lineare con una traslazione; in simboli, la più generale trasformazione affine può essere scritta come dove è una trasformazione lineare e è una traslazione; esplicitamente, l'azione di è data da , dove è la matrice quadrata che rappresenta e il vettore che determina la traslazione. Le trasformazioni affini sono le trasformazioni più generali che preservano i sottospazi affini. Tra queste, giocano un ruolo importante le affinità: queste sono le trasformazioni affini di uno spazio in sé stesso, che sono anche una corrispondenza biunivoca. Esempi di affinità sono rotazioni, omotetie, traslazioni, , riflessioni. Le affinità non sono necessariamente isometrie, non preservano cioè angoli e distanze, mentre mantengono sempre il parallelismo tra le rette. (it) Een affiene transformatie is een bijectieve transformatie van de affiene meetkunde, waarbij de meetkundige structuur hetzelfde blijft: punten blijven punten, lijnen blijven rechten, vlakken blijven vlakken en evenwijdige lijnen blijven evenwijdig. De affiene groep is de groep van affiene transformaties. Ze zijn van de vorm , met inverteerbaar. Als de coördinaten zijn van een punt in de -dimensionale affiene meetkunde, worden de coördinaten van het beeld onder een affiene transformatie bepaald door: , waarin de matrix is van een lineaire afbeelding van de ruimte en de coördinaten zijn van een translatievector . Als de matrix de eenheidsmatrix is, spreekt men van een translatie. Als een veelvoud is van de eenheidsmatrix, spreekt men van een vermenigvuldiging. De translaties en vermenigvuldigingen vormen een groep, namelijk die van de dilataties. (nl) Przekształcenie afiniczne (z łaciny, affinis, „powiązany z”), powinowactwo lub pokrewieństwo – przekształcenie geometryczne przestrzeni euklidesowych, odwzorowujące odcinki na odcinki, proste w proste, płaszczyzny w płaszczyzny, linie równoległe w linie równoległe. Jednak w ogólności transformacja afiniczna nie zachowuje kątów między prostymi ani odległości między punktami, jednak zachowuje stosunki odległości między punktami na tej samej linii. Także transformacja afiniczna niekoniecznie zachowuje punkt początkowy przestrzeni wektorowej – w odróżnieniu od transformacji liniowej – dlatego każda transformacja liniowa jest afiniczna, ale nie odwrotnie. Do transformacji afinicznych należą: translacja, skalowanie, odbicie, obrót, pochylenie (por animacja niżej), jednokładność oraz złożenie tych transformacji w dowolny sposób. Jeżeli oraz są przestrzeniami afinicznymi, to każda transformacja afiniczna jest postaci gdzie: – transformacja liniowa z przestrzeni do przestrzeni – wektor w – wektor w Transformacje afiniczne są homomorfizmami przestrzeni afinicznych, będących uogólnieniem przestrzeni euklidesowych, czyli spełniają one analogiczną rolę, co przekształcenia liniowe względem przestrzeni liniowych (również będących uogólnieniem przestrzeni euklidesowych). W poniższym artykule powinowactwo będzie oznaczać przekształcenie przestrzeni euklidesowych, zaś przekształcenie afiniczne będzie odnosiło się do odwzorowania przestrzeni afinicznych; pokrewieństwa będą oznaczać dowolne z tych przekształceń. (pl) En affin avbildning (även kallad affin transformation eller affin funktion) är inom matematik en sammansättning av en linjär avbildning och en translation. Geometriskt utgör de affina avbildningarna alla operationer som bevarar räta linjer. Ett grundläggande exempel utgörs av förstagradspolynomen, på formen Om b =0, så har vi specialfallet , som i sin tur är ett specialfall av linjära avbildningar. (Det faktum att grafen alltid är en linje gör alltså inte att villkoren för linearitet uppfylls annat än när .) För en vektor x i det n-dimensionella euklidiska rummet kan en affin avbildning y uttryckas på formen där A är n×n-matrisen för en linjär avbildning och b är en translationsvektor. Även sammansättningen av två affina avbildningar är en affin avbildning, eftersom har samma form. Genom att lägga till en virtuell dimension kan en affin avbildning utföras genom enbart en matrismultiplikation. Detta utnyttjas ofta i datorsystem, till exempel i OpenGL och Postscript. (sv) Афінне перетворення (лат. affinis, «пов'язаний з») — відображення площини або простору в собі, при якому паралельні прямі переходять у паралельні прямі, пересічні — в пересічні, мимобіжні — в мимобіжні. Це можна записати у вигляді де — невироджена матриця і . Інакше кажучи, відображення називається афінним, якщо його можна отримати таким способом: 1. * Обрати «новий» базис простору з «новим» початком координат ; 2. * Координатам x кожної точки простору поставити у відповідність нові координати f (x), які мають те саме положення в просторі відносно «нової» системи координат, яке координати x мали в «старій». (uk) Аффи́нное преобразование, иногда афинное преобразование (от лат. affinis «соприкасающийся, близкий, смежный») — отображение плоскости или пространства в себя, при котором параллельные прямые переходят в параллельные прямые, пересекающиеся — в пересекающиеся, скрещивающиеся — в скрещивающиеся. (ru) 仿射变换（Affine transformation），又称仿射映射，是指在几何中，對一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换为另一个向量空间。 一個對向量平移，與旋轉缩放的仿射映射為 上式在齐次坐标上，等價於下面的式子 在分形的研究裡，收縮平移仿射映射可以製作具有自相似性的分形。 (zh) |
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(ko) Аффи́нное преобразование, иногда афинное преобразование (от лат. affinis «соприкасающийся, близкий, смежный») — отображение плоскости или пространства в себя, при котором параллельные прямые переходят в параллельные прямые, пересекающиеся — в пересекающиеся, скрещивающиеся — в скрещивающиеся. (ru) 仿射变换（Affine transformation），又称仿射映射，是指在几何中，對一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换为另一个向量空间。 一個對向量平移，與旋轉缩放的仿射映射為 上式在齐次坐标上，等價於下面的式子 在分形的研究裡，收縮平移仿射映射可以製作具有自相似性的分形。 (zh) En matemàtiques, i més concretament en l'àmbit de la geometria, una transformació afí, aplicació afí o una afinitat (del llatí affīnĭtas, "semblança") és una funció entre espais afins que conserva els punts, les rectes i els plans. Addicionalment, els conjunts de línies paral·leles queden paral·leles després d'una transformació afí. Una transformació afí no necessàriament conserva els angles entre rectes o les distàncies entre punts, encara que conserva les proporcions de distàncies entre punts que pertanyen a una línia recta. 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Präziser formuliert: Eine bijektive affine Abbildung eines affinen Raumes auf sich selbst wird Affinität genannt. (de) In Euclidean geometry, an affine transformation or affinity (from the Latin, affinis, "connected with") is a geometric transformation that preserves lines and parallelism, but not necessarily Euclidean distances and angles. Examples of affine transformations include translation, scaling, homothety, similarity, reflection, rotation, shear mapping, and compositions of them in any combination and sequence. (en) En geometrio, afina transformo aŭ afina mapo (de la latina, affinis - "koneksa kun") inter du vektoraj spacoj estas transformo kiu konsistas el lineara transformo sekvita per movo: En la finidimensia okazo ĉiu afina transformo estas donita per matrico A kaj vektoro b, kiu povas esti skribita kiel la matrico A kun superflua kolumno b. kaj ero 1 estas aldonita je la malsupro al ĉiu kolumna vektoro: (eo) En geometría, una transformación afín o aplicación afín (también llamada afinidad) entre dos espacios afines (en particular, dos espacios vectoriales) consiste en una transformación lineal seguida de una traslación: En el caso de dimensión finita, toda transformación afín puede representarse por una matriz y un vector que satisfacen ciertas propiedades que se especifican a continuación. Geométricamente, una transformación afín en un espacio euclídeo es una transformación que preserva: (es) En géométrie, une application affine est une application entre deux espaces affines qui est compatible avec leur structure. Cette notion généralise celle de fonction affine de ℝ dans ℝ, sous la forme , où est une application linéaire et est un point. Une bijection affine (qui est un cas particulier de transformation géométrique) envoie les sous-espaces affines, comme les points, les droites ou les plans, sur le même type d'objet géométrique, tout en préservant la notion de parallélisme. (fr) In geometria, si definisce trasformazione affine dello spazio euclideo qualunque composizione di una trasformazione lineare con una traslazione; in simboli, la più generale trasformazione affine può essere scritta come dove è una trasformazione lineare e è una traslazione; esplicitamente, l'azione di è data da , dove è la matrice quadrata che rappresenta e il vettore che determina la traslazione. (it) Een affiene transformatie is een bijectieve transformatie van de affiene meetkunde, waarbij de meetkundige structuur hetzelfde blijft: punten blijven punten, lijnen blijven rechten, vlakken blijven vlakken en evenwijdige lijnen blijven evenwijdig. De affiene groep is de groep van affiene transformaties. Ze zijn van de vorm , met inverteerbaar. Als de coördinaten zijn van een punt in de -dimensionale affiene meetkunde, worden de coördinaten van het beeld onder een affiene transformatie bepaald door: , (nl) Przekształcenie afiniczne (z łaciny, affinis, „powiązany z”), powinowactwo lub pokrewieństwo – przekształcenie geometryczne przestrzeni euklidesowych, odwzorowujące odcinki na odcinki, proste w proste, płaszczyzny w płaszczyzny, linie równoległe w linie równoległe. Jednak w ogólności transformacja afiniczna nie zachowuje kątów między prostymi ani odległości między punktami, jednak zachowuje stosunki odległości między punktami na tej samej linii. Także transformacja afiniczna niekoniecznie zachowuje punkt początkowy przestrzeni wektorowej – w odróżnieniu od transformacji liniowej – dlatego każda transformacja liniowa jest afiniczna, ale nie odwrotnie. (pl) Афінне перетворення (лат. affinis, «пов'язаний з») — відображення площини або простору в собі, при якому паралельні прямі переходять у паралельні прямі, пересічні — в пересічні, мимобіжні — в мимобіжні. Це можна записати у вигляді де — невироджена матриця і . Інакше кажучи, відображення називається афінним, якщо його можна отримати таким способом: (uk) En affin avbildning (även kallad affin transformation eller affin funktion) är inom matematik en sammansättning av en linjär avbildning och en translation. Geometriskt utgör de affina avbildningarna alla operationer som bevarar räta linjer. Ett grundläggande exempel utgörs av förstagradspolynomen, på formen Om b =0, så har vi specialfallet , som i sin tur är ett specialfall av linjära avbildningar. (Det faktum att grafen alltid är en linje gör alltså inte att villkoren för linearitet uppfylls annat än när .) har samma form. (sv) |
| rdfs:label | Affine transformation (en) تحويل تآلفي (ar) Transformació afí (ca) Afinní zobrazení (cs) Affine Abbildung (de) Afina transformo (eo) Transformación afín (es) Trasformazione affine (it) Application affine (fr) 아핀 변환 (ko) アフィン写像 (ja) Affiene transformatie (nl) Przekształcenie afiniczne (pl) Transformação afim (pt) Affin avbildning (sv) Аффинное преобразование (ru) Афінне перетворення (uk) 仿射变换 (zh) |
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