Measure (mathematics) (original) (raw)
Míra je základním pojmem teorie míry. Z neformálního hlediska je míra zobecněním pojmů velikosti (délky, obsahu, objemu, případně i počtu). Míra je zvolený způsob, jakým se měří množiny. Mírou množiny se rozumí již konkrétní výsledek (číslo) přiřazený (naměřený) konkrétní množině tímto způsobem.
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| dbo:abstract | Míra je základním pojmem teorie míry. Z neformálního hlediska je míra zobecněním pojmů velikosti (délky, obsahu, objemu, případně i počtu). Míra je zvolený způsob, jakým se měří množiny. Mírou množiny se rozumí již konkrétní výsledek (číslo) přiřazený (naměřený) konkrétní množině tímto způsobem. (cs) يعتبر القياس في الرياضيات دالة تقوم بربط عدد ما يدعى الحجم أو السعة أو الاحتمال بمجموعة جزئية من مجموعة كبرى. وهذا المفهوم للقياس الرياضي يعتبر أساسيا في التحليل الرياضي ونظرية الاحتمالات. تطور هذا المفهوم من الحاجة لإجراء مكاملة على مجموعات اعتبارية غير معينة بدلا من إجراء التكامل بالطريقة التقليدية. نظرية القياس تشكل أحد أجزاء التحليل الحقيقي الذي يبحث في ، القياسات، والتكاملات. وتعتبر ذات أهمية خاصة في نظرية الاحتمالات والإحصاء. (ar) Ein Maß ist in der Mathematik eine Funktion, die geeigneten Teilmengen einer Grundmenge Zahlen zuordnet, die als „Maß“ für die Größe dieser Mengen interpretiert werden können. Dabei müssen sowohl der Definitionsbereich eines Maßes, also die messbaren Mengen, als auch die Zuordnung selbst gewisse Voraussetzungen erfüllen, wie sie beispielsweise durch elementargeometrische Begriffe der Länge einer Strecke, dem Flächeninhalt einer geometrischen Figur oder dem Volumen eines Körpers nahegelegt werden. Das Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Konstruktion und der Untersuchung von Maßen beschäftigt, ist die Maßtheorie. Der allgemeine Maßbegriff geht zurück auf Arbeiten von Émile Borel, Henri Léon Lebesgue, Johann Radon und Maurice René Fréchet. Dabei stehen Maße stets in engem Zusammenhang mit der Integration von Funktionen und bilden die Grundlage moderner Integralbegriffe (siehe Lebesgue-Integral). Seit der Axiomatisierung der Wahrscheinlichkeitsrechnung durch Andrei Kolmogorow ist die Stochastik ein weiteres großes Anwendungsgebiet für Maße. Dort werden Wahrscheinlichkeitsmaße verwendet, um zufälligen Ereignissen, die als Teilmengen eines Ergebnisraums aufgefasst werden, Wahrscheinlichkeiten zuzuordnen. (de) Μέτρο στα μαθηματικά ονομάζεται οποιαδήποτε συνάρτηση ορισμένη σε μία Σ-άλγεβρα με τις ακόλουθες ιδιότητες: * Αριθμήσιμη προσθετικότητα: Για κάθε συλλογή ξένων ανα μεταξύ τους συνόλων * Μηδενικό μέτρο στο κενό σύνολο: Συγκεκριμένα ο παραπάνω ορισμός ορίζει ένα μη-αρνητικό μέτρο. Μέτρα με σύνολο τιμών το ή το εξετάζονται στην θεωρία ολοκλήρωσης. (el) En analitiko, mezuro estas bildigo, kiu asignas al ĉiu mezurebla aro (elemento de sigma-alĝebro) nenegativan reelon aŭ nefinion, laŭ ia koncepto de “grandeco” (longo, areo, volumeno ktp.) de tiuj aroj. (eo) La teoría de la medida es una rama del análisis y de la geometría que investiga las medidas, las funciones medibles y la integración. Es de importancia central en geometría, probabilidad y en estadística. En matemáticas, una medida de un conjunto es una forma sistemática y rigurosa de asignar un número a cada subconjunto apropiado de dicho conjunto. Intuitivamente, dicho número puede ser interpretado como una cierta medida del tamaño de dicho subconjunto. En este sentido, la medida es una generalización de los conceptos de "longitud","área", y "volumen". Dicha generalización se extiende tanto a mayores dimensiones (en el sentido de "hipervolúmenes") como a conceptos más abstractos, puesto que el conjunto sobre el que se aplica una medida no tiene por qué ser un subconjunto de un espacio geométrico. Un ejemplo sería la medida de Lebesgue: cuando se aplica en un espacio Euclídeo , la medida de Lebesgue asigna los valores convencionales de longitud, área y volumen a subconjuntos apropiados del espacio Euclídeo n-dimensional. Por ejemplo, la medida de Lebesgue en el intervalo [0,1] es la longitud de dicho intervalo en el sentido convencional de la misma -- específicamente, 1. Técnicamente, una medida es una función que asigna un número real no-negativo (o +∞) a ciertos subconjuntos de un conjunto X. La medida cumple una serie de propiedades: debe ser, por ejemplo, contable , en el sentido de que la medida de un subconjunto 'grande' puede siempre ser descompuesta en un número finito (o contablemente infinito) de subconjuntos disjuntos más pequeños, de tal modo que la medida sea la suma de las medidas de dichos subconjuntos más pequeños. En general, si se pretende asociar un tamaño consistente a cada subconjunto de un conjunto dado y al mismo tiempo satisfacer el resto de axiomas de una medida, las únicas medidas que se suelen poder definir son ejemplos triviales como la . Este problema fue resuelto definiendo la medida como aplicable a unas familias reducidas de subconjuntos, usualmente llamados los conjuntos medibles. Las condiciones de consistencia que deben cumplir los miembros de estas familias quedan encapsuladas en el concepto auxiliar de σ-álgebra. Esto significa que los subconjuntos no medibles, esto es, los subconjuntos para los que uno no puede definir una medida (sea de Lebesgue u otra) son muchos. Generalmente, la limitación de que haya conjuntos no medibles puede interpretarse como una consecuencia no-trivial del axioma de elección. Por ejemplo, con base en dicho axioma, la paradoja de Banach-Tarski señala que la bola unidad en tres dimensiones (esto es, una esfera de radio unidad) puede ser descompuesta en un número finito de piezas (no menos de cinco) tales que pueden ser recompuestos para formar dos bolas unitarias. Esto es, uno puede formar dos esferas de radio unidad usando tan solo cinco piezas de una sola esfera de radio unidad. Si este es el caso, parece absurdo pretender definir la medida de una bola unitaria, puesto que por subaditividad contable uno puede asignar al menos dos valores distintos a la misma. La teoría de la medida demarca las condiciones que los conjuntos tienen que cumplir para ser medibles. (es) En mathématiques, une mesure positive (ou simplement mesure quand il n'y a pas de risque de confusion) est une fonction qui associe une grandeur numérique à certains sous-ensembles d'un ensemble donné. Il s'agit d'un important concept en analyse et en théorie des probabilités. Intuitivement, la mesure d'un ensemble ou sous-ensemble est similaire à la notion de taille, ou de cardinal pour les ensembles discrets. Dans ce sens, la mesure est une généralisation des concepts de longueur, aire ou volume dans des espaces de dimension 1, 2 ou 3 respectivement. L'étude des espaces munis de mesures est l'objet de la théorie de la mesure. (fr) In mathematics, the concept of a measure is a generalization and formalization of geometrical measures (length, area, volume) and other common notions, such as mass and probability of events. These seemingly distinct concepts have many similarities and can often be treated together in a single mathematical context. Measures are foundational in probability theory, integration theory, and can be generalized to assume negative values, as with electrical charge. Far-reaching generalizations (such as spectral measures and projection-valued measures) of measure are widely used in quantum physics and physics in general. The intuition behind this concept dates back to ancient Greece, when Archimedes tried to calculate the area of a circle. But it was not until the late 19th and early 20th centuries that measure theory became a branch of mathematics. The foundations of modern measure theory were laid in the works of Émile Borel, Henri Lebesgue, Nikolai Luzin, Johann Radon, Constantin Carathéodory, and Maurice Fréchet, among others. (en) Dalam matematika, ukuran adalah pemetaan yang menghubungkan himpunan bagian tertentu dengan suatu nilai, yang dianggap sebagai ukuran dari himpunan bagian tersebut. Ukuran dapat dipahami sebagai perumiman dari konsep seperti "panjang", "luas" dan "volume". Konsep ukuran ini penting untuk dapat dengan benar mendefinisikan integral dari suatu fungsi secara umum. Ukuran adalah konsep yang penting dalam analisis dan teori peluang. Teori ukuran adalah cabang analisis real yang menginvestigasi aljabar σ, ukuran, fungsi ukuran dan integral. Gagasan mengenai teori ukuran sudah ada semenjak zaman Yunani kuno, ketika Archimeder hendak menghitung nilai eksak luas lingkaran. Tetapi teori ukuran sendiri baru berkembang di abad ke-20. Perintis dari teori ukuran adalah Henri Lebesgue, Georg Cantor, Émile Borel, and . Henri Lebesgue mengembangkan ukuran Lebesgue dan integral Lebesgue dalam . Georg Cantor dan Émile Borel kemudian mengidentifikasi besaran terukur dan besaran Borel. Constantin Carathéodory mendefinisikan dimensi eksternal dan konstruksi Carathéodory. Alfred Haar dikenal untuk ukuran Haar, konsep yang serupa dengan ukuran Lebesgue di grup topologis. (in) In analisi matematica, una misura, talvolta detta misura positiva, è una funzione che assegna un numero reale a taluni sottoinsiemi di un dato insieme per rendere quantitativa la nozione della loro estensione. In particolare, si assegnano lunghezze a segmenti di curva, aree a superfici, volumi a figure tridimensionali e probabilità ad eventi. La teoria della misura è la branca dell'analisi reale e complessa che studia sigma-algebre, spazi misurabili, insiemi misurabili, misure, funzioni misurabili ed integrali. La teoria astratta della misura ha come casi particolari la teoria della probabilità, e trova numerose applicazioni in diversi settori della matematica pura ed applicata. La nozione di misura, e quelle ad essa correlate, sono nate a cavallo tra il XIX secolo ed il XX secolo, nell'ambito appunto della formalizzazione della teoria della misura. (it) ( 이 문서는 수학에서 집합의 크기를 측정하는 함수 측도(測度)에 관한 것입니다. 인천광역시의 섬 측도(測島)에 대해서는 선재도 문서를 참고하십시오.) 수학에서 측도(測度, 영어: measure)는 특정 부분 집합에 대해 일종의 ‘크기’를 부여하며, 그 크기를 가산개로 쪼개어 계산할 수 있게 하는 함수이다. 측도의 개념은 유한 집합의 원소의 수 · 실수 구간의 길이 · 평면 도형의 넓이 · 3차원 입체의 부피의 개념을 공통적으로 일반화한다. 측도가 부여된 집합을 측도 공간(測度空間, 영어: measure space)이라고 한다. 이와 같이 측도와 측도 공간을 연구하는 수학 분야를 측도론(測度論, 영어: measure theory)이라고 한다. (ko) In de maattheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een maat intuïtief gesproken een afbeelding die een grootte, volume of kans toekent aan objecten. Het resultaat is steeds positief of eventueel 0. Meer formeel gezien is een maat op een verzameling een systematische manier om aan elke geschikte deelverzameling een getal toe te kennen dat kan worden gezien als de grootte van deze deelverzameling. In die zin is een maat een veralgemening van de begrippen lengte, oppervlakte en volume. Een belangrijk voorbeeld is de lebesgue-maat op een euclidische ruimte die de conventionele begrippen lengte, oppervlakte en volume van de euclidische meetkunde aan geschikte deelverzamelingen van toekent. De lebesgue-maat van bijvoorbeeld het interval [0,1] in de reële getallen is zijn lengte met de waarde 1. Niet iedere functie die een niet-negatief reëel getal of de waarde oneindig toekent aan de deelverzamelingen van een verzameling, kan fungeren als maat. Een belangrijke eigenschap van een maat is de sigma-additiviteit, die stelt dat de maat van de vereniging van een rij disjuncte deelverzamelingen gelijk is aan de som van de maten van de afzonderlijke deelverzamelingen. In het algemeen is het echter onmogelijk om op consistente wijze een maat te associëren met elke deelverzameling van een gegeven verzameling, en tegelijkertijd ook te voldoen aan de andere eisen die aan een maat gesteld worden. Dit probleem werd opgelost door een maat slechts te definiëren op een geschikte deelcollectie van alle deelverzamelingen; de deelverzamelingen waarop de maat wordt gedefinieerd, worden meetbaar genoemd. Zij dienen een sigma-algebra te vormen, wat betekent dat de verenigingen, doorsneden en complementen van rijen van meetbare deelverzamelingen ook meetbaar zijn. Niet-meetbare verzamelingen in een euclidische ruimte, waarop de lebesgue-maat niet consequent kan worden gedefinieerd, zijn per definitie zo complex dat zij bijna onbegrijpelijk zijn, er is in zekere zin een ondoorzichtige mix van de verzameling en zijn complement. Men kan stellen dat hun bestaan een niet-triviaal gevolg is van het keuzeaxioma. Maattheorie werd in opeenvolgende fasen in de late 19e en de vroege 20e eeuw tot ontwikkeling gebracht door onder andere Émile Borel, Henri Lebesgue, Johann Radon en Maurice René Fréchet. De belangrijkste toepassingen van maten zijn in de grondslagen van de lebesgue-integraal en in Andrei Kolmogorovs axiomatisering van de kansrekening. In de integraalrekening staat het specificeren van een maat het toe om integralen te definiëren op ruimten die algemener zijn dan deelverzamelingen van de euclidische ruimte. Verder zijn integralen met betrekking tot de lebesgue-maat op de euclidische ruimten algemener en hebben zij een rijkere theorie dan hun voorganger, de riemann-integraal. De kansrekening bestudeert maten die aan de gehele ruimte de maat 1 toewijzen, en beschouwt meetbare deelverzamelingen daarvan als gebeurtenissen, waarvan de kans door de maat wordt gegeven. (nl) Miara – funkcja określająca „wielkości” mierzalnych podzbiorów ustalonego zbioru poprzez przypisanie im liczb nieujemnych bądź nieskończoności przy założeniu, że zbiór pusty ma miarę zero, a miara sumy zbiorów rozłącznych jest sumą ich miar. Pojęcie miary wyrosło z ogólnego spojrzenia na zagadnienia długości, pola powierzchni czy objętości w pracach Lebesgue’a. Jego miara jest uogólnieniem tych pojęć dla podzbiorów przestrzeni które należą do przestrzeni mierzalnej generowanej przez przedziały n-wymiarowe (czyli zbiory postaci ). Na danym zbiorze można określać różne miary. Np. załóżmy, że mamy 10 odróżnialnych kostek do gry w różnych kolorach. Wtedy możemy zdefiniować miary: 1. * miara określająca liczby kostek o kolorze czerwonym w zadanych podzbiorach zbioru kostek, 2. * miara prawdopodobieństwa, np. określająca prawdopodobieństwo wyrzucenia podczas rzutu 10 kostek sumarycznej liczby oczek większej niż 30, 3. * miara Diraca określająca, czy dany podzbiór kostek posiada ustaloną kostkę itp. Głównym zastosowaniem miar jest definicja ogólnego pojęcia całki na zbiorach o strukturze bardziej skomplikowanej niż przedziały na prostej rzeczywistej. Całki tego typu wykorzystuje się w teorii prawdopodobieństwa i w różnych działach analizy matematycznej. Czasem jest niemożliwe lub niepotrzebne przypisywanie miary wszystkim podzbiorom danego zbioru, dlatego w definicji miary bierze się pod uwagę zbiory należące do σ-ciała danego zbioru. Własnościami miar zajmuje się teoria miary, będąca gałęzią analizy matematycznej. Teoria miary bada σ-ciała, miary, funkcje mierzalne oraz całki. (pl) Mått inom måtteorin är ett matematiskt begrepp som används för att ange ”storleken” på en mängd. Längd, area och volym är några exempel på vanliga mått. Begreppet är centralt för att på ett korrekt sätt kunna definiera integralen av en funktion på ett generellt sätt. Måtteori är ett mycket viktigt område inom matematisk analys och sannolikhetsteori. Idéer för måtteori fanns i det antika Grekland, då Arkimedes ville fastställa det exakta värdet på cirkelns område. Men måtteori är en 1900-talsuppfinning. Pionjärerna inom måtteori är Henri Lebesgue, Georg Cantor, Émile Borel, Constantin Carathéodory och . Henri Lebesgue utvecklade det revolutionerande Lebesguemåttet och Lebesgueintegralen i . Georg Cantor och Émile Borel identifierade senare mätbara mängder och Borelmängder. Constantin Carathéodory definierade yttre mått och Carathéodorys konstruktion. Alfred Haar är känd för Haarmåttet, ett koncept som liknar Lebesguemåttet i . (sv) Em matemática, uma medida é uma função que atribui um valor aos subconjuntos de um conjunto S. Quando a medida é positiva e a medida de S é 1, diz-se que a medida é uma probabilidade. (pt) 测度（英語：Measure）在数学分析里是指一个函数，它对一个给定集合的某些子集指定一个数。感官上，测度的概念相当于长度、面积、体积等。一个特别重要的例子是欧氏空间上的勒贝格测度，它把欧氏几何上传统的诸如长度、面积和体积等概念赋予 n 维欧式空间 Rn 。例如，实数区间 [0, 1] 上的勒贝格测度就是它显而易见的长度，即 1。 传统的积分是在区间上进行的，后来人们希望把积分推广到任意的集合上，就发展出测度的概念，它在数学分析和概率论有重要的地位。 测度论是实分析的一个分支，研究对象有σ代数、测度、可测函数和积分，其重要性在概率论和统计学中都有所体现。 (zh) Ме́ра мно́жества — числовая характеристика множества, интуитивно её можно понимать как массу множества при некотором распределении массы по пространству. Понятие меры множества возникло в теории функций вещественной переменной при развитии понятия интеграла. Собственно, мера — это некоторая числовая функция, ставящая в соответствие каждому множеству (из некоторого семейства множеств) некоторое неотрицательное число. Кроме неотрицательности мера как функция должна также обладать свойством аддитивности — мера объединения непересекающихся множеств должна равняться сумме их мер. Необходимо отметить, что не всякое множество измеримо — для каждой функции меры обычно подразумевается некоторое семейство множеств (называемых измеримыми по данной мере), для которых мера существует. Частным случаем меры является мера Лебега для подмножеств , обобщающая понятие объёма , площади или длины на случай множеств, более общих, чем просто ограниченные гладкой поверхностью. (ru) Міра множини — спільна назва різних типів узагальнень понять евклідової довжини, площі плоских фігур та -вимірного об'єму для загальніших просторів. Якщо зворотне не вказане явно, то зазвичай мається на увазі зліченно-адитивна міра. Поняття міри виникло в теорії функції дійсної змінної, а звідти перейшло до теорії ймовірностей, теорії динамічних систем, функціонального аналізу та багато інших областей математики. (uk) |
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(ar) Μέτρο στα μαθηματικά ονομάζεται οποιαδήποτε συνάρτηση ορισμένη σε μία Σ-άλγεβρα με τις ακόλουθες ιδιότητες: * Αριθμήσιμη προσθετικότητα: Για κάθε συλλογή ξένων ανα μεταξύ τους συνόλων * Μηδενικό μέτρο στο κενό σύνολο: Συγκεκριμένα ο παραπάνω ορισμός ορίζει ένα μη-αρνητικό μέτρο. Μέτρα με σύνολο τιμών το ή το εξετάζονται στην θεωρία ολοκλήρωσης. (el) En analitiko, mezuro estas bildigo, kiu asignas al ĉiu mezurebla aro (elemento de sigma-alĝebro) nenegativan reelon aŭ nefinion, laŭ ia koncepto de “grandeco” (longo, areo, volumeno ktp.) de tiuj aroj. (eo) ( 이 문서는 수학에서 집합의 크기를 측정하는 함수 측도(測度)에 관한 것입니다. 인천광역시의 섬 측도(測島)에 대해서는 선재도 문서를 참고하십시오.) 수학에서 측도(測度, 영어: measure)는 특정 부분 집합에 대해 일종의 ‘크기’를 부여하며, 그 크기를 가산개로 쪼개어 계산할 수 있게 하는 함수이다. 측도의 개념은 유한 집합의 원소의 수 · 실수 구간의 길이 · 평면 도형의 넓이 · 3차원 입체의 부피의 개념을 공통적으로 일반화한다. 측도가 부여된 집합을 측도 공간(測度空間, 영어: measure space)이라고 한다. 이와 같이 측도와 측도 공간을 연구하는 수학 분야를 측도론(測度論, 영어: measure theory)이라고 한다. (ko) Em matemática, uma medida é uma função que atribui um valor aos subconjuntos de um conjunto S. Quando a medida é positiva e a medida de S é 1, diz-se que a medida é uma probabilidade. (pt) 测度（英語：Measure）在数学分析里是指一个函数，它对一个给定集合的某些子集指定一个数。感官上，测度的概念相当于长度、面积、体积等。一个特别重要的例子是欧氏空间上的勒贝格测度，它把欧氏几何上传统的诸如长度、面积和体积等概念赋予 n 维欧式空间 Rn 。例如，实数区间 [0, 1] 上的勒贝格测度就是它显而易见的长度，即 1。 传统的积分是在区间上进行的，后来人们希望把积分推广到任意的集合上，就发展出测度的概念，它在数学分析和概率论有重要的地位。 测度论是实分析的一个分支，研究对象有σ代数、测度、可测函数和积分，其重要性在概率论和统计学中都有所体现。 (zh) Міра множини — спільна назва різних типів узагальнень понять евклідової довжини, площі плоских фігур та -вимірного об'єму для загальніших просторів. Якщо зворотне не вказане явно, то зазвичай мається на увазі зліченно-адитивна міра. Поняття міри виникло в теорії функції дійсної змінної, а звідти перейшло до теорії ймовірностей, теорії динамічних систем, функціонального аналізу та багато інших областей математики. (uk) Ein Maß ist in der Mathematik eine Funktion, die geeigneten Teilmengen einer Grundmenge Zahlen zuordnet, die als „Maß“ für die Größe dieser Mengen interpretiert werden können. Dabei müssen sowohl der Definitionsbereich eines Maßes, also die messbaren Mengen, als auch die Zuordnung selbst gewisse Voraussetzungen erfüllen, wie sie beispielsweise durch elementargeometrische Begriffe der Länge einer Strecke, dem Flächeninhalt einer geometrischen Figur oder dem Volumen eines Körpers nahegelegt werden. (de) La teoría de la medida es una rama del análisis y de la geometría que investiga las medidas, las funciones medibles y la integración. Es de importancia central en geometría, probabilidad y en estadística. (es) In mathematics, the concept of a measure is a generalization and formalization of geometrical measures (length, area, volume) and other common notions, such as mass and probability of events. These seemingly distinct concepts have many similarities and can often be treated together in a single mathematical context. Measures are foundational in probability theory, integration theory, and can be generalized to assume negative values, as with electrical charge. Far-reaching generalizations (such as spectral measures and projection-valued measures) of measure are widely used in quantum physics and physics in general. (en) En mathématiques, une mesure positive (ou simplement mesure quand il n'y a pas de risque de confusion) est une fonction qui associe une grandeur numérique à certains sous-ensembles d'un ensemble donné. Il s'agit d'un important concept en analyse et en théorie des probabilités. Intuitivement, la mesure d'un ensemble ou sous-ensemble est similaire à la notion de taille, ou de cardinal pour les ensembles discrets. Dans ce sens, la mesure est une généralisation des concepts de longueur, aire ou volume dans des espaces de dimension 1, 2 ou 3 respectivement. (fr) Dalam matematika, ukuran adalah pemetaan yang menghubungkan himpunan bagian tertentu dengan suatu nilai, yang dianggap sebagai ukuran dari himpunan bagian tersebut. Ukuran dapat dipahami sebagai perumiman dari konsep seperti "panjang", "luas" dan "volume". Konsep ukuran ini penting untuk dapat dengan benar mendefinisikan integral dari suatu fungsi secara umum. Ukuran adalah konsep yang penting dalam analisis dan teori peluang. Teori ukuran adalah cabang analisis real yang menginvestigasi aljabar σ, ukuran, fungsi ukuran dan integral. (in) In analisi matematica, una misura, talvolta detta misura positiva, è una funzione che assegna un numero reale a taluni sottoinsiemi di un dato insieme per rendere quantitativa la nozione della loro estensione. In particolare, si assegnano lunghezze a segmenti di curva, aree a superfici, volumi a figure tridimensionali e probabilità ad eventi. La nozione di misura, e quelle ad essa correlate, sono nate a cavallo tra il XIX secolo ed il XX secolo, nell'ambito appunto della formalizzazione della teoria della misura. (it) In de maattheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een maat intuïtief gesproken een afbeelding die een grootte, volume of kans toekent aan objecten. Het resultaat is steeds positief of eventueel 0. Meer formeel gezien is een maat op een verzameling een systematische manier om aan elke geschikte deelverzameling een getal toe te kennen dat kan worden gezien als de grootte van deze deelverzameling. In die zin is een maat een veralgemening van de begrippen lengte, oppervlakte en volume. Een belangrijk voorbeeld is de lebesgue-maat op een euclidische ruimte die de conventionele begrippen lengte, oppervlakte en volume van de euclidische meetkunde aan geschikte deelverzamelingen van toekent. De lebesgue-maat van bijvoorbeeld het interval [0,1] in de reële getallen is zijn lengte met de waarde (nl) Miara – funkcja określająca „wielkości” mierzalnych podzbiorów ustalonego zbioru poprzez przypisanie im liczb nieujemnych bądź nieskończoności przy założeniu, że zbiór pusty ma miarę zero, a miara sumy zbiorów rozłącznych jest sumą ich miar. Pojęcie miary wyrosło z ogólnego spojrzenia na zagadnienia długości, pola powierzchni czy objętości w pracach Lebesgue’a. Jego miara jest uogólnieniem tych pojęć dla podzbiorów przestrzeni które należą do przestrzeni mierzalnej generowanej przez przedziały n-wymiarowe (czyli zbiory postaci ). Na danym zbiorze można określać różne miary. itp. (pl) Ме́ра мно́жества — числовая характеристика множества, интуитивно её можно понимать как массу множества при некотором распределении массы по пространству. Понятие меры множества возникло в теории функций вещественной переменной при развитии понятия интеграла. Частным случаем меры является мера Лебега для подмножеств , обобщающая понятие объёма , площади или длины на случай множеств, более общих, чем просто ограниченные гладкой поверхностью. (ru) Mått inom måtteorin är ett matematiskt begrepp som används för att ange ”storleken” på en mängd. Längd, area och volym är några exempel på vanliga mått. Begreppet är centralt för att på ett korrekt sätt kunna definiera integralen av en funktion på ett generellt sätt. Måtteori är ett mycket viktigt område inom matematisk analys och sannolikhetsteori. (sv) |
| rdfs:label | قياس (رياضيات) (ar) Míra (matematika) (cs) Maß (Mathematik) (de) Μέτρο (μαθηματικά) (el) Mezuro (matematiko) (eo) Teoría de la medida (es) Ukuran (matematika) (in) Mesure (mathématiques) (fr) Misura (matematica) (it) 측도 (ko) Measure (mathematics) (en) Miara (matematyka) (pl) Maat (wiskunde) (nl) Medida (matemática) (pt) Мера множества (ru) Mått (matematik) (sv) 测度 (zh) Міра множини (uk) |
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