Differential geometry of surfaces (original) (raw)

dbo:abstract

En matemáticas, la geometría diferencial de superficies propone definiciones y métodos para analizar la geometría de superficies o variedades diferenciales de dos dimensiones inmersas en variedades de Riemann y, en particular, en el espacio euclídeo. Aquí se tratará de las superficies en . (es)
In mathematics, the differential geometry of surfaces deals with the differential geometry of smooth surfaces with various additional structures, most often, a Riemannian metric.Surfaces have been extensively studied from various perspectives: extrinsically, relating to their embedding in Euclidean space and intrinsically, reflecting their properties determined solely by the distance within the surface as measured along curves on the surface. One of the fundamental concepts investigated is the Gaussian curvature, first studied in depth by Carl Friedrich Gauss, who showed that curvature was an intrinsic property of a surface, independent of its isometric embedding in Euclidean space. Surfaces naturally arise as graphs of functions of a pair of variables, and sometimes appear in parametric form or as loci associated to space curves. An important role in their study has been played by Lie groups (in the spirit of the Erlangen program), namely the symmetry groups of the Euclidean plane, the sphere and the hyperbolic plane. These Lie groups can be used to describe surfaces of constant Gaussian curvature; they also provide an essential ingredient in the modern approach to intrinsic differential geometry through connections. On the other hand, extrinsic properties relying on an embedding of a surface in Euclidean space have also been extensively studied. This is well illustrated by the non-linear Euler–Lagrange equations in the calculus of variations: although Euler developed the one variable equations to understand geodesics, defined independently of an embedding, one of Lagrange's main applications of the two variable equations was to minimal surfaces, a concept that can only be defined in terms of an embedding. (en)
Die Weingartenabbildung (nach dem deutschen Mathematiker Julius Weingarten), auch Formoperator genannt, ist eine Funktion aus der Theorie der Flächen im dreidimensionalen euklidischen Raum, einem Teilgebiet der klassischen Differentialgeometrie. (de)
En mathématiques, la géométrie différentielle des surfaces est la branche de la géométrie différentielle qui traite des surfaces (les objets géométriques de l'espace usuel E3, ou leur généralisation que sont les variétés de dimension 2), munies éventuellement de structures supplémentaires, le plus souvent une métrique riemannienne. Outre les surfaces classiques de la géométrie euclidienne (sphères, cônes, cylindres, etc.), des surfaces apparaissent naturellement en tant que graphes de fonctions de deux variables, ou sous forme paramétrique, comme ensembles décrits par une famille de courbes de l'espace. Les surfaces ont été étudiées à partir de divers points de vue : de façon extrinsèque, en s'intéressant à leur plongement dans l'espace euclidien, et de façon intrinsèque, en ne se préoccupant que des propriétés qui peuvent être déterminées à partir des distances mesurées le long de courbes tracées sur la surface. Un des concepts fondamentaux découverts ainsi est la courbure de Gauss, étudiée en profondeur par Carl Friedrich Gauss (entre 1825 et 1827), qui montra son caractère intrinsèque. Dans l'esprit du programme d'Erlangen, les groupes de Lie, plus précisément les groupes de symétrie du plan euclidien, de la sphère et du plan hyperbolique, ont joué un rôle important dans l'étude des surfaces. Ces groupes permettent de décrire les surfaces de courbure constante ; ils forment aussi un outil essentiel dans l'approche moderne de la géométrie différentielle intrinsèque à l'aide de connexions. Les propriétés extrinsèques dépendant du plongement d'une surface dans l'espace euclidien ont été également largement étudiées. Les relations entre ces deux approches sont bien illustrées par le cas des équations d'Euler-Lagrange du calcul des variations : bien qu'Euler ait utilisé les équations à une variable pour déterminer les géodésiques, que l'on peut définir de manière intrinsèque, l'une des applications principales que fit Lagrange des équations à deux variables fut l'étude des surfaces minimales, un concept extrinsèque qui n'a de sens que pour les plongements. (fr)
In de differentiaalmeetkunde, een deelgebied van de wiskunde, bestudeert de differentiaalmeetkunde van oppervlakken gladde oppervlakken met verschillende aanvullende structuren, meestal een Riemann-metriek. Oppervlakken zijn vanuit verschillende perspectieven uitvoerig bestudeerd: extrinsiek, met betrekking tot hun inbedding in de Euclidische ruimte en intrinsiek, inspelend op het feit dat hun eigenschappen uitsluitend worden bepaald door de afstand binnen het oppervlak als gemeten langs krommen op het oppervlak. Een van de eerste onderzochte fundamentele concepten is de Gaussiaanse kromming, die voor het eerst in detail is bestudeerd door Carl Friedrich Gauss. Gauss toonde aan dat kromming een intrinsieke eigenschap van een oppervlak is, een eigenschap die onafhankelijk is van de van dit oppervlak in de Euclidische ruimte. Oppervlakken ontstaan van nature als grafieken van functies van een paar variabelen, en verschijnen soms in parametrische vorm of als plaatsen geassocieerd met ruimtekrommen. Een belangrijke rol in hun studie is gespeeld door de Lie-groepen (in de geest van de Erlanger Programm), namelijk de symmetriegroepen van het Euclidische vlak, de sfeer en de hyperbolische vlak. Deze Lie-groepen kunnen worden gebruikt om oppervlakken met een constante Gaussiaanse kromming te beschrijven; zij voorzien ook in een essentieel ingrediënt in de moderne benadering van de intrinsieke differentiaalmeetkunde door verbindingen. Aan de andere kant zijn de extrinsieke eigenschappen die zich verlaten op een inbedding van een oppervlak in de Euclidische ruimte ook uitgebreid onderzocht. Dit wordt goed geïllustreerd door de niet-lineaire Euler-Lagrange-vergelijkingen in de variatierekening: hoewel Leonhard Euler de een variabele vergelijkingen, onafhankelijk van een inbedding, ontwikkelde om de geodeten te begrijpen, was een van Lagranges belangrijkste toepassingen van de twee variabelen vergelijkingen op het gebied van de minimaaloppervlakken, een concept dat alleen in termen van een inbedding kan worden gedefinieerd. (nl)
Дифференциальная геометрия поверхностей — исторически важная область дифференциальной геометрии. Дифференциальная геометрия поверхностей разделяется на два основных подраздела: внешней и внутренней геометрии.Основным объектом изучения внешней геометрии поверхностей является гладкие поверхности вложенные в евклидово пространство, а также ряд их обобщений.Во внутренней геометрии основным объектом являются абстрактно заданные поверхности с различными дополнительными структурами, наиболее часто — первая фундаментальная форма (то же, что риманова метрика). (ru)
Диференціальна геометрія поверхонь — розділ математики, що вивчає поверхні методами диференціальної геометрії. При цьому досліджувані поверхні зазвичай підпорядковані умовам, пов'язаним з можливістю застосування методів диференціального числення. Як правило, це — умови гладкості поверхні, тобто існування в кожній точці поверхні певної дотичної площини, кривини і т. д. Ці вимоги зводяться до того, що функції, що задають поверхню, передбачаються одноразово, двічі, тричі, а в деяких питаннях — необмежене число разів диференційовними або навіть аналітичними функціями. При цьому додатково накладається умова регулярності. (uk)

dbo:wikiPageExternalLink

dbo:wikiPageWikiLink

rdfs:comment

En matemáticas, la geometría diferencial de superficies propone definiciones y métodos para analizar la geometría de superficies o variedades diferenciales de dos dimensiones inmersas en variedades de Riemann y, en particular, en el espacio euclídeo. Aquí se tratará de las superficies en . (es)
Die Weingartenabbildung (nach dem deutschen Mathematiker Julius Weingarten), auch Formoperator genannt, ist eine Funktion aus der Theorie der Flächen im dreidimensionalen euklidischen Raum, einem Teilgebiet der klassischen Differentialgeometrie. (de)
Дифференциальная геометрия поверхностей — исторически важная область дифференциальной геометрии. Дифференциальная геометрия поверхностей разделяется на два основных подраздела: внешней и внутренней геометрии.Основным объектом изучения внешней геометрии поверхностей является гладкие поверхности вложенные в евклидово пространство, а также ряд их обобщений.Во внутренней геометрии основным объектом являются абстрактно заданные поверхности с различными дополнительными структурами, наиболее часто — первая фундаментальная форма (то же, что риманова метрика). (ru)
Диференціальна геометрія поверхонь — розділ математики, що вивчає поверхні методами диференціальної геометрії. При цьому досліджувані поверхні зазвичай підпорядковані умовам, пов'язаним з можливістю застосування методів диференціального числення. Як правило, це — умови гладкості поверхні, тобто існування в кожній точці поверхні певної дотичної площини, кривини і т. д. Ці вимоги зводяться до того, що функції, що задають поверхню, передбачаються одноразово, двічі, тричі, а в деяких питаннях — необмежене число разів диференційовними або навіть аналітичними функціями. При цьому додатково накладається умова регулярності. (uk)
In mathematics, the differential geometry of surfaces deals with the differential geometry of smooth surfaces with various additional structures, most often, a Riemannian metric.Surfaces have been extensively studied from various perspectives: extrinsically, relating to their embedding in Euclidean space and intrinsically, reflecting their properties determined solely by the distance within the surface as measured along curves on the surface. One of the fundamental concepts investigated is the Gaussian curvature, first studied in depth by Carl Friedrich Gauss, who showed that curvature was an intrinsic property of a surface, independent of its isometric embedding in Euclidean space. (en)
En mathématiques, la géométrie différentielle des surfaces est la branche de la géométrie différentielle qui traite des surfaces (les objets géométriques de l'espace usuel E3, ou leur généralisation que sont les variétés de dimension 2), munies éventuellement de structures supplémentaires, le plus souvent une métrique riemannienne. (fr)
In de differentiaalmeetkunde, een deelgebied van de wiskunde, bestudeert de differentiaalmeetkunde van oppervlakken gladde oppervlakken met verschillende aanvullende structuren, meestal een Riemann-metriek. Oppervlakken zijn vanuit verschillende perspectieven uitvoerig bestudeerd: extrinsiek, met betrekking tot hun inbedding in de Euclidische ruimte en intrinsiek, inspelend op het feit dat hun eigenschappen uitsluitend worden bepaald door de afstand binnen het oppervlak als gemeten langs krommen op het oppervlak. Een van de eerste onderzochte fundamentele concepten is de Gaussiaanse kromming, die voor het eerst in detail is bestudeerd door Carl Friedrich Gauss. Gauss toonde aan dat kromming een intrinsieke eigenschap van een oppervlak is, een eigenschap die onafhankelijk is van de van (nl)

rdfs:seeAlso

is dbo:wikiPageWikiLink of