Norm (mathematics) (original) (raw)
En matemàtica, la norma és qualsevol funció que assigna, a cada vector d'un espai vectorial, un valor escalar no negatiu i que és homogènia, semidefinida positiva i que compleix la desigualtat triangular. Així, una norma defineix una longitud. Per altra banda, una seminorma permet assignar longitud zero a vectors que no són nuls. Un exemple molt senzill és la definida sobre l'usual espai euclidià. En general, quan es defineix una norma dins d'un espai vectorial es diu que s'ha definit un espai normat. Normalment, la norma del vector v, a vegades anomenada també el mòdul de v, s'indica amb la notació ∥v∥ (o ||v||).
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| dbo:abstract | En matemàtica, la norma és qualsevol funció que assigna, a cada vector d'un espai vectorial, un valor escalar no negatiu i que és homogènia, semidefinida positiva i que compleix la desigualtat triangular. Així, una norma defineix una longitud. Per altra banda, una seminorma permet assignar longitud zero a vectors que no són nuls. Un exemple molt senzill és la definida sobre l'usual espai euclidià. En general, quan es defineix una norma dins d'un espai vectorial es diu que s'ha definit un espai normat. Normalment, la norma del vector v, a vegades anomenada també el mòdul de v, s'indica amb la notació ∥v∥ (o | | v | ). (ca) في الجبر الخطي والتحليل الدالي والمجالات المتعلقة بهما في الرياضيات، معيار (بالإنجليزية: Norm) هو دالة تعطي عددا حقيقيا موجبا لكل متجهة من فضاء متجهي ما.بحيث تحقق ثلاث خاصيات محددة (أنظر التعريف). (ar) Norma je funkce, která každému nenulovému vektoru přiřazuje kladné reálné číslo (tzv. délku nebo velikost), nulový vektor jako jediný má délku 0. V případě seminormy se naopak připouští, aby i nenulovým vektorům byla přiřazena nulová délka. (cs) Eine Norm (von lateinisch norma „Richtschnur“) ist in der Mathematik eine Abbildung, die einem mathematischen Objekt, beispielsweise einem Vektor, einer Matrix, einer Folge oder einer Funktion, eine Zahl zuordnet, die auf gewisse Weise die Größe des Objekts beschreiben soll. Die konkrete Bedeutung von „Größe“ hängt dabei vom betrachteten Objekt und der verwendeten Norm ab, beispielsweise kann eine Norm die Länge eines Vektors, den größten Singulärwert einer Matrix, die Variation einer Folge oder das Maximum einer Funktion darstellen. Eine Norm wird durch zwei senkrechte Striche links und rechts des Objekts symbolisiert. Formal ist eine Norm eine Abbildung, die einem Element eines Vektorraums über den reellen oder komplexen Zahlen eine nicht-negative reelle Zahl zuordnet und die drei Eigenschaften Definitheit, absolute Homogenität und Subadditivität besitzt. Eine Norm kann (muss aber nicht) von einem Skalarprodukt abgeleitet werden. Wird ein Vektorraum mit einer Norm versehen, erhält man einen normierten Raum mit wichtigen analytischen Eigenschaften, da jede Norm auf einem Vektorraum auch eine Metrik und damit eine Topologie induziert. Zwei zueinander äquivalente Normen induzieren dabei die gleiche Topologie, wobei auf endlichdimensionalen Vektorräumen alle Normen zueinander äquivalent sind. Normen werden insbesondere in der linearen Algebra und der Funktionalanalysis studiert, sie spielen aber auch in der numerischen Mathematik eine wichtige Rolle. (de) En lineara algebro, kaj rilatantaj areoj de matematiko, normo estas funkcio kiu asignas pozitivan longon aŭ amplekson al ĉiu vektoroj en vektora spaco, escepte la nula vektoro. Duonnormo estas simila funkcio, al kiu estas permesite asigni nulan longon al ne nulaj vektoroj. Simpla ekzemplo estas la 2-dimensia eŭklida ebeno R2 kun la eŭklida normo. Eroj en ĉi tiu vektora spaco estas kutime desegnitaj kiel sagoj en kartezia ebeno startantaj je la fonto (0,0). La eŭklida normo asignas al ĉiu vektoro la longon de ĝia sago. Vektora spaco kun normo estas . Simile, vektora spaco kun duonnormo estas . (eo) Norma bektore espazio bateko elementuetarako, bektoreetarako alegia, definituriko eragiketa da, u eta v bektoreak eta a eskalarra izanik: 1. * baldin eta bakarrik baldin 2. * 3. * Norma bat duen bektore espazioa normalizatua dagoela esaten da. (eu) Un vector es un elemento de un espacio vectorial del que, en ocasiones, especialmente en física y geometría, interesa conocer su longitud. Para ello se hace necesario definir un operador norma que determine la longitud o magnitud del vector bajo consideración ya que este acto, pese a lo que pudiéramos creer, no es un problema trivial; especialmente desde la aparición de las geometrías no euclídeas para las que surge, asociada al concepto de longitud, la noción de geodésica. Para ampliar estas ideas conviene conocer la geometría riemanniana y la geometría diferencial. Por tanto, basándonos en las propiedades básicas que la determinación de la longitud tiene en el espacio euclídeo habitual, definimos matemáticamente qué condiciones mínimas debe satisfacer un operador que actúe sobre un vector para poder ser considerado un operador norma en cualquier geometría. De esta forma, aparecen varias posibilidades que han sido muy fructíferas en diversos campos entre los que cabe destacar la astrofísica y la cosmología. En espacios vectoriales es sinónimo de longitud de un vector. (es) In mathematics, a norm is a function from a real or complex vector space to the non-negative real numbers that behaves in certain ways like the distance from the origin: it commutes with scaling, obeys a form of the triangle inequality, and is zero only at the origin. In particular, the Euclidean distance of a vector from the origin is a norm, called the , or , which may also be defined as the square root of the inner product of a vector with itself. A seminorm satisfies the first two properties of a norm, but may be zero for vectors other than the origin. A vector space with a specified norm is called a normed vector space. In a similar manner, a vector space with a seminorm is called a seminormed vector space. The term pseudonorm has been used for several related meanings. It may be a synonym of "seminorm". A pseudonorm may satisfy the same axioms as a norm, with the equality replaced by an inequality "" in the homogeneity axiom.It can also refer to a norm that can take infinite values, or to certain functions parametrised by a directed set. (en) Dalam matematika, norma adalah fungsi dari bilangan riil atau kompleks ruang vektor ke bilangan riil nonnegatif yang berperilaku dengan cara tertentu seperti jarak dari asal; dengan penskalaan, mematuhi bentuk dari , dan hanya nol pada titik awal. Secara khusus, vektor dari asalnya adalah sebuah norma, yang disebut , atau , yang juga dapat didefinisikan sebagai akar kuadrat dari vektor dengan dirinya sendiri. Pseudonorma atau seminorma memenuhi dua sifat pertama dari suatu norma, tetapi mungkin nol untuk vektor lain selain asalnya. Ruang vektor dengan norma tertentu disebut ruang vektor bernorma. Dengan cara yang sama, ruang vektor dengan seminorm disebut ruang vektor seminorma . (in) En géométrie, la norme est une extension de la valeur absolue des nombres aux vecteurs. Elle permet de mesurer la longueur commune à toutes les représentations d'un vecteur dans un espace affine, mais définit aussi une distance entre deux vecteurs invariante par translation et compatible avec la multiplication externe. La norme usuelle dans le plan ou l'espace est dite euclidienne car elle est associée à un produit scalaire, à la base de la géométrie euclidienne. D'autres normes sont très utilisées sur les espaces vectoriels (de dimension finie ou infinie), appelés alors espaces vectoriels normés. Elles sont notamment très importantes en analyse fonctionnelle pour obtenir des majorations, exprimer la différentiation sur les espaces de fonctions d'une ou plusieurs variables réelles ou complexes, calculer estimations et approximations. Il existe une deuxième notion de norme, utilisée en arithmétique : elle est traitée dans l'article « Norme (théorie des corps) ». (fr) 解析学において、ノルム (英: norm, 独: Norm) は、平面あるいは空間における幾何学的ベクトルの "長さ" の概念の一般化であり、ベクトル空間に対して「距離」を与えるための数学の道具である。ノルムの定義されたベクトル空間を線型ノルム空間または単にノルム空間という。 ものによっては絶対値や賦値（附値、付値）と呼ばれることもある。また、体の拡大におけるノルムや、多元環に対すると本質的に同じものである。 (ja) In algebra lineare, analisi funzionale e aree correlate della matematica, una norma è una funzione che assegna ad ogni vettore di uno spazio vettoriale, tranne lo zero, una lunghezza positiva. (it) Een norm is een grootte-begrip van de elementen (vectoren) van een vectorruimte. Een vectorruimte waarop een norm gedefinieerd is noemt men een genormeerde vectorruimte. (nl) Норма — функционал, заданный на векторном пространстве и обобщающий понятие длины вектора или абсолютного значения числа. (ru) Inom matematiken är norm ett sätt att tilldela en längd till objekt, vilka vanligen är definierade som vektorrum. Normen för ett objekt x betecknas vanligen med | x | . En norm uppfyller villkoren * | x | ||||
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| rdfs:comment | En matemàtica, la norma és qualsevol funció que assigna, a cada vector d'un espai vectorial, un valor escalar no negatiu i que és homogènia, semidefinida positiva i que compleix la desigualtat triangular. Així, una norma defineix una longitud. Per altra banda, una seminorma permet assignar longitud zero a vectors que no són nuls. Un exemple molt senzill és la definida sobre l'usual espai euclidià. En general, quan es defineix una norma dins d'un espai vectorial es diu que s'ha definit un espai normat. Normalment, la norma del vector v, a vegades anomenada també el mòdul de v, s'indica amb la notació ∥v∥ (o | | v | ). (ca) في الجبر الخطي والتحليل الدالي والمجالات المتعلقة بهما في الرياضيات، معيار (بالإنجليزية: Norm) هو دالة تعطي عددا حقيقيا موجبا لكل متجهة من فضاء متجهي ما.بحيث تحقق ثلاث خاصيات محددة (أنظر التعريف). (ar) Norma je funkce, která každému nenulovému vektoru přiřazuje kladné reálné číslo (tzv. délku nebo velikost), nulový vektor jako jediný má délku 0. V případě seminormy se naopak připouští, aby i nenulovým vektorům byla přiřazena nulová délka. (cs) En lineara algebro, kaj rilatantaj areoj de matematiko, normo estas funkcio kiu asignas pozitivan longon aŭ amplekson al ĉiu vektoroj en vektora spaco, escepte la nula vektoro. Duonnormo estas simila funkcio, al kiu estas permesite asigni nulan longon al ne nulaj vektoroj. Simpla ekzemplo estas la 2-dimensia eŭklida ebeno R2 kun la eŭklida normo. Eroj en ĉi tiu vektora spaco estas kutime desegnitaj kiel sagoj en kartezia ebeno startantaj je la fonto (0,0). La eŭklida normo asignas al ĉiu vektoro la longon de ĝia sago. Vektora spaco kun normo estas . Simile, vektora spaco kun duonnormo estas . (eo) Norma bektore espazio bateko elementuetarako, bektoreetarako alegia, definituriko eragiketa da, u eta v bektoreak eta a eskalarra izanik: 1. * baldin eta bakarrik baldin 2. * 3. * Norma bat duen bektore espazioa normalizatua dagoela esaten da. (eu) 解析学において、ノルム (英: norm, 独: Norm) は、平面あるいは空間における幾何学的ベクトルの "長さ" の概念の一般化であり、ベクトル空間に対して「距離」を与えるための数学の道具である。ノルムの定義されたベクトル空間を線型ノルム空間または単にノルム空間という。 ものによっては絶対値や賦値（附値、付値）と呼ばれることもある。また、体の拡大におけるノルムや、多元環に対すると本質的に同じものである。 (ja) In algebra lineare, analisi funzionale e aree correlate della matematica, una norma è una funzione che assegna ad ogni vettore di uno spazio vettoriale, tranne lo zero, una lunghezza positiva. (it) Een norm is een grootte-begrip van de elementen (vectoren) van een vectorruimte. Een vectorruimte waarop een norm gedefinieerd is noemt men een genormeerde vectorruimte. (nl) Норма — функционал, заданный на векторном пространстве и обобщающий понятие длины вектора или абсолютного значения числа. (ru) Em matemática, uma norma consiste em uma função que a cada vetor de um espaço vetorial associa um número real não-negativo. O conceito de norma está intuitivamente relacionado à noção geométrica de comprimento. (pt) 範數（英語：Norm），是具有“长度”概念的函數。在線性代數、泛函分析及相關的數學領域，是一個函數，其為向量空間內的所有向量賦予非零的正長度或大小。另一方面，半範數（英語：seminorm）可以為非零的向量賦予零長度。 舉一個簡單的例子，一個二維度的歐氏幾何空間就有歐氏範數。在這個向量空間的元素（譬如：(3,7)）常常在笛卡兒座標系統被畫成一個從原點出發的箭號。每一個向量的歐氏範數就是箭號的長度。 擁有範數的向量空間就是賦範向量空間。同樣，擁有半範數的向量空間就是賦半範向量空間。 (zh) Нор́ма — це функція, що задана на лінійному просторі і є узагальненням поняття довжини вектора. Простір із заданою на ньому нормою називається нормованим простором. (uk) Eine Norm (von lateinisch norma „Richtschnur“) ist in der Mathematik eine Abbildung, die einem mathematischen Objekt, beispielsweise einem Vektor, einer Matrix, einer Folge oder einer Funktion, eine Zahl zuordnet, die auf gewisse Weise die Größe des Objekts beschreiben soll. Die konkrete Bedeutung von „Größe“ hängt dabei vom betrachteten Objekt und der verwendeten Norm ab, beispielsweise kann eine Norm die Länge eines Vektors, den größten Singulärwert einer Matrix, die Variation einer Folge oder das Maximum einer Funktion darstellen. Eine Norm wird durch zwei senkrechte Striche links und rechts des Objekts symbolisiert. (de) Un vector es un elemento de un espacio vectorial del que, en ocasiones, especialmente en física y geometría, interesa conocer su longitud. Para ello se hace necesario definir un operador norma que determine la longitud o magnitud del vector bajo consideración ya que este acto, pese a lo que pudiéramos creer, no es un problema trivial; especialmente desde la aparición de las geometrías no euclídeas para las que surge, asociada al concepto de longitud, la noción de geodésica. Para ampliar estas ideas conviene conocer la geometría riemanniana y la geometría diferencial. (es) En géométrie, la norme est une extension de la valeur absolue des nombres aux vecteurs. Elle permet de mesurer la longueur commune à toutes les représentations d'un vecteur dans un espace affine, mais définit aussi une distance entre deux vecteurs invariante par translation et compatible avec la multiplication externe. La norme usuelle dans le plan ou l'espace est dite euclidienne car elle est associée à un produit scalaire, à la base de la géométrie euclidienne. Il existe une deuxième notion de norme, utilisée en arithmétique : elle est traitée dans l'article « Norme (théorie des corps) ». (fr) In mathematics, a norm is a function from a real or complex vector space to the non-negative real numbers that behaves in certain ways like the distance from the origin: it commutes with scaling, obeys a form of the triangle inequality, and is zero only at the origin. In particular, the Euclidean distance of a vector from the origin is a norm, called the , or , which may also be defined as the square root of the inner product of a vector with itself. (en) Dalam matematika, norma adalah fungsi dari bilangan riil atau kompleks ruang vektor ke bilangan riil nonnegatif yang berperilaku dengan cara tertentu seperti jarak dari asal; dengan penskalaan, mematuhi bentuk dari , dan hanya nol pada titik awal. Secara khusus, vektor dari asalnya adalah sebuah norma, yang disebut , atau , yang juga dapat didefinisikan sebagai akar kuadrat dari vektor dengan dirinya sendiri. (in) Inom matematiken är norm ett sätt att tilldela en längd till objekt, vilka vanligen är definierade som vektorrum. Normen för ett objekt x betecknas vanligen med | x | . En norm uppfyller villkoren * | x | ||||
| rdfs:label | معيار (رياضيات) (ar) Norma (matemàtiques) (ca) Norma (matematika) (cs) Norm (Mathematik) (de) Normo (matematiko) (eo) Norma vectorial (es) Norma (eu) Norme (mathématiques) (fr) Norma (matematika) (in) Norma (matematica) (it) ノルム (ja) 노름 (ko) Norm (mathematics) (en) Norm (vector) (nl) Norma (matemática) (pt) Норма (математика) (ru) Norm (matematik) (sv) Норма (математика) (uk) 范数 (zh) | |||||||||
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