Manifold (original) (raw)

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Unter einer Mannigfaltigkeit versteht man in der Mathematik einen topologischen Raum, der lokal dem euklidischen Raum gleicht. Global muss die Mannigfaltigkeit jedoch nicht einem euklidischen Raum gleichen (nicht zu ihm homöomorph sein). Mannigfaltigkeiten sind der zentrale Gegenstand der Differentialgeometrie; sie haben bedeutende Anwendungen in der theoretischen Physik.

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dbo:abstract في الرياضيات، متعدد الشعب أو الشتيتة (بالإنجليزية: Manifold) هو فضاء طوبولوجي يشبه الفضاء الإقليدي حول كل نقطة. بشكل أدق، لكل نقطة في متعدد شعب نونيّ -الأبعاد جوار هوميمورفي للفضاء الإقليدي النونيّ الأبعاد. من ضمن متعددات الشعب أحادية البعد الخطوط والدوائر. تسمى متعددات الشعب ثنائية البعد أسطحًا. من أمثلة الأسطح: المستوي، الكرة، والطارة والذين يمكن طمرهم (أي إدراجهم بدالة هوميومورفية) في الفضاء ثلاثي الأبعاد، كما توجد زجاجة كلاين اللذان لا يمكن طمرهم في الفضاء ثلاثي الأبعاد دون التقاطع بنفسهم، ولكن بالإمكان طمرهم في الفضاء الرباعي الأبعاد. ورغم أن متعدد الشعب يبدو كالفضاء الإقليدي محليًا (أي في جوار كل نقطة) إلا أنه قد لا يكون كذلك شموليًا. على سبيل المثال، سطح الكرة ليس فضاء إقليديًا، ولكن في منطقة معينة يمكن إحداثه بواسطة إسقاط خرائط للمنطقة على الفضاء الإقليدي (في سياق متعددات الشعب تسمّى نظم إحداثيّات). في حال أن تندرج منطقة تحت نظامين إحداثيين، لا تتطابق الإحداثيات تمامًا وبالتالي يتطلّب تحويل للانتقال من واحد للآخر يسمى «دالة انتقالية». مفهوم متعدد الشعب هو مفهوم جوهري لعديد من فروع الهندسة والفيزياء الرياضية لأنها تسمح بوصف وفهم العديد من البنى المعقدة باستخدام خواص الفضاء الإقليدي الأكثر فهمًا نسبيًا. تطرأ متعددات الشعب تلقائيًا كمجموعات حل لنظم المعادلات وكرسوم بيانية للدوال. لمتعددات الشعب خواص إضافية. أحد الأصناف الهامة من متعددات الشعب هو متعددات الشعب التفاضلية. هذه البنية التفاضلية تسمح باستخدام أساليب التفاضل على متعددات الشعب. المقياس الريماني على متعدد شعب يسمح بقياس المسافات والزوايا. (Symplectic manifolds) تخدم كفضاءات طورية في الميكانيكا الهاميلتونية، بينما تمثّل متعددات الشعب اللورنتزية (Lorentzian manifolds) الرباعية الأبعاد الزمكان في النسبية العامة. (ar) En matemàtiques, més específicament en topologia, una varietat és un espai topològic en el qual tots els punts tenen un veïnat que "s'assembla" (és a dir, és homeomorf) a l'espai euclidià. La dimensió d'una varietat és la dimensió de l'espai euclidià amb què es relaciona: si és amb una recta és unidimensional, amb un pla bidimensional, etc. Encara que una varietat s'assembla a l'espai euclidià localment, l'estructura global de la varietat pot ser molt més complicada. Per exemple, qualsevol punt en una superfície esfèrica té una regió petita que l'envolta que es pot assimilar a una regió del pla (com en un atles del món), tot i que l'esfera no es pot fer correspondre completament al pla: no és homeomorfa al pla. Les varietats són importants en matemàtiques, principalment després que s'hi afegeixi una estructura addicional. Per exemple, les varietats diferenciables tenen definida un (amb la qual es pot reproduir el càlcul infinitesimal), mentre que les varietats riemannianes són varietats diferenciables que també tenen un producte escalar definit en el seu fibrat tangent (que permet calcular distàncies i angles, així com longituds de corbes), les varietats simplèctiques com per exemple l'espai de les fases en mecànica clàssica, o en quatre dimensions les varietats pseudoriemannianes emprades com a model de l'espaitemps en relativitat general. També podríem definir una varietat com un espai topològic abstracte, construït en enganxar de manera apropiada espais més simples. De la mateixa manera que els nens es diverteixen construint amb paper tetraedres, cubs i altres poliedres, dibuixant la figura en un full, tallant-ne les vores, plegant i enganxant, els matemàtics obtenen un cercle unint els extrems d'un segment, i un cilindre o un con plegant una tira plana sobre ella mateixa. Un altre exemple clàssic és la banda de Möbius. També és possible afegir a una esfera. Entre les varietats més simples figuren les corbes i les superfícies del pla i de l'espai euclidià. Tot i que tradicionalment es defineixen a partir d'equacions, les superfícies (per exemple) també es poden definir, igual que els poliedres, enganxant "trossos de pla" segons unes "instruccions de muntatge". Aquesta és la manera general de definir les varietats. És difícil dir qui va ser el primer que va estudiar les corbes i les superfícies. Gauss disposava de la notació de superfície abstracta, però la noció de varietat general en una dimensió qualsevol s'atribueix a Bernhard Riemann. Les varietats són el marc natural per a l'estudi de nombrosos problemes de matemàtiques i de física, ja que permeten treballar en un marc més ampli que el que proporcionen els espais vectorials. A vegades aquests s'anomenen espais plans en oposició als espais corbats que són les varietats. Les varietats constitueixen a la vegada un marc i un subjecte d'estudi comú tant per matemàtics com a físics. Les varietats són bones eines de treball per a formalitzar la teoria de la relativitat general d'Einstein i són indispensables en la recerca de noves teories físiques, com la teoria de cordes, la teoria de membranes, ... També han esdevingut eines útils (fins i tot indispensables) en els recents treballs de mecànica clàssica. (ca) V matematice je varieta topologický prostor, který je lokálně podobný obecně n-rozměrnému Euklidovskému prostoru, a jsou na něm obvykle definovány tečné vektory. Obvykle se pod slovem varieta rozumí hladká varieta, na rozdíl od algebraické variety. Příkladem jednorozměrné variety je například kružnice – lokálně je podobná jednorozměrnému Euklidovskému prostoru – přímce, ale její topologie je jiná. Kružnici jako varietu označujeme jako . Obdobně např. povrch koule nebo povrch toru jsou příklady dvojrozměrných variet. Na varietách často zavádíme dodatečné struktury, které prostá varieta nutně neobsahuje. Příkladem jsou např. míry, díky nimž můžeme používat integrální počet, Riemannovské variety, na nichž jsou definovány vzdálenosti, úhly, křivost, apod., nebo pseudo-Riemannovské variety, které modelují časoprostor v teorii relativity. (cs) Στα μαθηματικά μια πολλαπλότητα ή πολύπτυχο είναι ένας Τοπολογικός χώρος που τοπικά μοιάζει με Ευκλείδειο χώρο κοντά σε κάθε σημείο. Πιο συγκεκριμένα, κάθε σημείο μίας n-διάστατης πολλαπλοτήτας έχει μια γειτονία που είναι ομοιομορφική με ένα ανοιχτό υποσύνολο του n-διάστατου Ευκλείδειου χώρου. Μονοδιάστατες πολλαπλότητες περιλαμβάνουν γραμμές και κύκλους αλλά όχι οχτάρια (επειδή έχουν σημείο διασταύρωσης που δεν είναι τοπικός ομοιομορφισμός του Ευκλείδειου 1-χώρου). Οι δισδιάστατες πολλαπλότητες ονομάζονται επίσης και επιφάνειες. Παραδείγματα περιλαμβάνουν το επίπεδο, τη σφαίρα και τον τόρο, τα οποία μπορούν να ενσωματωθούν (χωρίς αυτο-διασταυρώσεις) στον τρισδιάστατο πραγματικό χώρο, αλλά επίσης και την Φιάλη του Κλάιν και το Πραγματικό προβολικό επίπεδο τα οποία θα έχουν πάντα αυτο-διασταυρώσεις όταν θα εμβυθίζονται στον πραγματικό χώρο. Αν και μια πολλαπλότητα μοιάζει τοπικά με Ευκλείδειο χώρο, παγκόσμια μπορεί και να μην ισχύει. Για παράδειγμα η επιφάνεια της σφαίρας δεν είναι ένας Ευκλείδειος χώρος αλλά σε μια περιοχή μπορεί να χαρτογραφηθεί με τη βοήθεια της χαρτογραφικής προβολής της περιοχής του Ευκλείδειου χώρου (στο πλαίσιο της πολλαπλότητας ονομάζονται διαγράμματα). Όταν μια περιοχή εμφανίζεται σε δύο γειτονικά διαγράμματα, οι δύο παραστάσεις δεν συμπίπτουν ακριβώς και ένας μετασχηματισμός χρειάζεται για να περάσει από τη μία στην άλλη, που ονομάζεται μεταβατικός χάρτης. Η έννοια της πολλαπλότητας έχει κεντρική σημασία για πολλούς τομείς της γεωμετρίας και της σύγχρονης μαθηματικής φυσικής επειδή επιτρέπει σε πιο περίπλοκες δομές να περιγραφούν και να κατανοηθούν σε σχέση με τις σχετικά καλά κατανοητές ιδιότητες του Ευκλείδειου χώρου. Οι πολλαπλότητες προκύπτουν φυσικά ως λύσεις συνόλων από τα συστήματα των εξισώσεων και των γραφικών λειτουργιών. Οι πολλαπλότητες μπορεί να έχουν επιπλέον χαρακτηριστικά. Μια σημαντική κατηγορία πολλαπλοτήτων είναι των διαφορικών πολλαπλοτήτων. Αυτή διαφορική δομή επιτρέπει στον λογισμό να γίνει με πολλαπλότητα. Ένα Riemannian μέτρο σε μια πολλαπλότητα επιτρέπει αποστάσεις και γωνίες να μετρηθούν. Η συμπλεκτική πολλαπλότητα χρησιμεύει ως η φάση του χώρου στον Χαμιλτονιανό φορμαλισμό της κλασικής μηχανικής, ενώ των τεσσάρων διαστάσεων μοντέλο του χωροχρόνου της γενικής σχετικότητας στην . (el) En matematiko, sternaĵo estas spaco kiu, en unua plana vido, similas la familiaran spacon de eŭklida geometrio, sed kiu povas havi pli komplikan strukturon kiam vidita entute. Sfero, idealigita versio de la surfaco de la Tero, estas sternaĵo. Loke la Tero aspektas kvazaŭ ĝi estas plata, sed vidita entute ĝi estas ronda. sternaĵo povas esti konstruita per gluado de apartaj eŭklidaj spacoj kune; ekzemple, monda mapo povas esti farita per gluado de multaj mapoj de lokaj regionoj kune. Alia ekzemplo de sternaĵo estas cirklo. Malgranda peco de cirklo aspektas kiel (malmulte-kurba) porcio de rekta segmento, sed entute la cirklo kaj la segmento estas malsamaj unu-dimensia sternaĵoj. Cirklo povas esti formita per flekso de rekta segmento kaj gluigo de ĝiaj randoj kune. La surfaco de sfero kaj la surfaco de toro estas ekzemploj de du-dimensia sternaĵoj. sternaĵoj estas gravaj objektoj, en matematiko kaj fiziko ĉar ili permesas al pli komplikaj strukturoj esti esprimitaj kaj komprenitaj en terminoj de la bone komprenataj propraĵoj de pli simplaj spacoj. Aldonaj strukturoj estas ofte difinitaj sur sternaĵoj. Ekzemploj de sternaĵoj kun aldona strukturo estas diferencialeblaj sternaĵoj sur kiuj oni povas uzi kalkulon kaj kvar-dimensia pseŭdo-Rimana sternaĵo kiu modelas spacon kaj tempon en fizika relativeco. (eo) Unter einer Mannigfaltigkeit versteht man in der Mathematik einen topologischen Raum, der lokal dem euklidischen Raum gleicht. Global muss die Mannigfaltigkeit jedoch nicht einem euklidischen Raum gleichen (nicht zu ihm homöomorph sein). Mannigfaltigkeiten sind der zentrale Gegenstand der Differentialgeometrie; sie haben bedeutende Anwendungen in der theoretischen Physik. (de) En matemática, una variedad es el objeto geométrico estándar que generaliza la noción intuitiva de «curva» (1-variedad) y de «superficie» (2-variedad) a cualquier dimensión y sobre cuerpos diversos (no solamente el de los reales, sino también complejos y matriciales). Un poco más formalmente, una variedad de dimensión es un espacio que se parece localmente a . Una variedad puede ser vista como un objeto compuesto de parches -dimensionales pegados topológicamente (ver variedad diferenciable). Una variedad se llama cerrada si no tiene borde y es compacta. Un campo de investigación muy activo es el estudio de las 3-variedades, que pertenece al área de la topología de dimensiones bajas. (es) In mathematics, a manifold is a topological space that locally resembles Euclidean space near each point. More precisely, an -dimensional manifold, or -manifold for short, is a topological space with the property that each point has a neighborhood that is homeomorphic to an open subset of -dimensional Euclidean space. One-dimensional manifolds include lines and circles, but not lemniscates. Two-dimensional manifolds are also called surfaces. Examples include the plane, the sphere, and the torus, and also the Klein bottle and real projective plane. The concept of a manifold is central to many parts of geometry and modern mathematical physics because it allows complicated structures to be described in terms of well-understood topological properties of simpler spaces. Manifolds naturally arise as solution sets of systems of equations and as graphs of functions. The concept has applications in computer-graphics given the need to associate pictures with coordinates (e.g. CT scans). Manifolds can be equipped with additional structure. One important class of manifolds are differentiable manifolds; their differentiable structure allows calculus to be done. A Riemannian metric on a manifold allows distances and angles to be measured. Symplectic manifolds serve as the phase spaces in the Hamiltonian formalism of classical mechanics, while four-dimensional Lorentzian manifolds model spacetime in general relativity. The study of manifolds requires working knowledge of calculus and topology. (en) Dalam matematika, lipatan adalah suatu ruang topologis yang secara lokal menyerupai ruang euklides di dekat setiap titiknya. Lebih tepatnya, setiap titik dalam n-dimensi lipatan memiliki lingkungan yang ke ruang Euklides dimensi n. Lipatan berdimensi-satu meliputi garis dan lingkaran, tetapi tidak termasuk (karena mereka memiliki titik persimpangan yang secara lokal tidak homeomorfis ke ruang Euklides berdimensi-1). Lipatan berdimensi-dua juga disebut permukaan. Contohnya termasuk bidang, bulatan, dan torus, yang semuanya dapat (terbentuk tanpa swa-simpang, atau tanpa titik potong) dalam ruang nyata tiga dimensi, tetapi juga termasuk Botol Klein dan , yang akan selalu memiliki swa-simpang ketika dalam ruang tiga dimensi nyata. Meskipun lipatan secara lokal menyerupai ruang Euklides, tetapi secara global tidaklah serupa. Misalnya, permukaan bola bukanlah sebuah ruang Euklides, tetapi dalam suatu daerah dapat dipetakan dengan proyeksi peta daerah itu ke dalam (dalam konteks lipatan mereka disebut ). Ketika suatu daerah muncul dalam dua grafik berdekatan, dua representasi tidak bertepatan persis dan transformasi yang diperlukan untuk melampaui dari satu ke yang lain disebut peta transisi . Konsep lipatan adalah pusat dari banyak bidang geometri dan modern. Karena konsep ini memungkinkan struktur yang lebih rumit untuk dijelaskan dan dipahami dalam sifat relatif yang dapat dipahami dari ruang Euklides. Lipatan secara alami muncul sebagai solusi set sistem persamaan dan sebagai grafik fungsi. Lipatan mungkin memiliki fitur tambahan. Salah satu kelas penting dari lipatan adalah kelas lipatan terdiferensialkan. ini memungkinkan penerapan kalkulus pada lipatan. Sebuah pada lipatan memungkinkan jarak dan sudut diukur. berfungsi sebagai dalam formalisme Hamiltonian dalam mekanika klasik, sedangkan model empat-dimensi adalah model ruang-waktu dalam relativitas umum. (in) En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie, la notion de variété peut être appréhendée intuitivement comme la généralisation de la classification qui établit qu'une courbe est une variété de dimension 1 et une surface est une variété de dimension 2. Une variété de dimension n, où n désigne un entier naturel, est un espace topologique localement euclidien, c'est-à-dire dans lequel tout point appartient à une région qui s'apparente à un tel espace. On peut approcher les variétés de deux façons : * En les construisant par recollement d'autres espaces simples, comme les enfants s'amusent à construire avec du papier des tétraèdres, des cubes et autres polyèdres en dessinant la figure d'un patron sur une feuille, en découpant convenablement les bords, en pliant et en recollant ou comme on construit un vêtement en cousant ensemble des morceaux de tissus. Par exemple, les mathématiciens obtiennent un cercle en repliant un segment sur lui-même, un cylindre ou un cône en repliant une bande plane sur elle-même. Un autre exemple classique est le ruban de Möbius illustré ci-contre (en toute rigueur, c'est un exemple de ). Il est également possible de rajouter des anses à une sphère ; * En leur appliquant une trame dont la métrique dépend de la position. Par exemple, pour les coordonnées sphériques terrestres (altitude, latitude et longitude), un changement de longitude correspond à une distance qui dépend de la latitude (un degré de longitude correspond à une distance plus longue à l'équateur qu'ailleurs). On parlera dans ce cas de variété riemannienne. Il est difficile de dire qui le premier a étudié les courbes ou les surfaces en tant qu'objets mathématiques abstraits. Gauss disposait de la notion de surface abstraite, mais la notion générale de variété en dimension quelconque est due à Bernhard Riemann. Les variétés se sont imposées comme le cadre naturel de nombreux problèmes de mathématiques et de physique, permettant de travailler dans un cadre plus vaste que celui des espaces vectoriels. On donne parfois à ces derniers le nom d’espaces plats ou d’espaces euclidiens pour les distinguer des espaces courbes que sont les variétés. La topologie algébrique cherche à classer les variétés (mais aussi des objets plus généraux) en en déterminant des invariants, c'est-à-dire des objets mathématiques — qui peuvent être des nombres réels — associés à chaque variété et qui en caractérisent la topologie. Certaines variétés sont munies de structures plus fortes : il est du ressort de la topologie différentielle, puis de la géométrie différentielle, de la géométrie riemannienne et de la géométrie symplectique de les étudier et de les classifier. Ces domaines sont encore aujourd'hui l'objet de nombreux travaux de recherches. Les variétés constituent à la fois un cadre et un sujet d'étude communs pour les chercheurs en mathématiques et en physique. Elles se sont avérées les bons outils de travail pour formaliser la relativité générale d'Einstein et ont fortement servi dans la physique post-newtonienne, dont la théorie des cordes, la théorie des membranes... Les variétés sont devenues tout aussi utiles (voire indispensables) dans des travaux récents de mécanique classique. Les variétés sont à l'origine d'une hypothèse sérieuse pour expliquer les étonnantes capacités de généralisation des algorithmes d'apprentissage profond. (fr) 多様体（たようたい、英: manifold, 独: Mannigfaltigkeit）とは、局所的にユークリッド空間と見なせるような図形や空間（位相空間）のことである。多様体上には好きなところに局所的に座標を描き込むことができる。 (ja) ( 이 문서는 위상수학의 다양체(manifold)에 관한 것입니다. 대수기하학에서 다루는 대상(variety)에 대해서는 대수다양체 문서를, 보편대수학에서 다루는, 대수 구조들의 모임에 대해서는 대수 구조 다양체 문서를 참고하십시오.) 위상수학과 기하학에서 다양체(多樣體, 영어: manifold 매니폴드[*])는 국소적으로 유클리드 공간과 닮은 위상 공간이다. 즉, 국소적으로는 유클리드 공간과 구별할 수 없으나, 대역적으로 독특한 위상수학적 구조를 가질 수 있다. (ko) Rozmaitość n-wymiarowa – zbiór punktów, wyposażony w geometrię, która ma lokalnie własności geometrii znanej z przestrzeni rzeczywistej -wymiarowej (przestrzeni euklidesowej). Wyposażenie w geometrię jest kluczowe – oznacza bowiem, że podane zostały wzory na obliczanie odległości między punktami, kątów między prostymi, pól powierzchni itp., przy czym lokalnie odległości między punktami są dane wzorami takimi jak w przestrzeni euklidesowej itd. Rozmaitość jest więc lokalnie identyczna z przestrzenią euklidesową. Lokalność zdefiniowana precyzyjnie oznacza, że każdy punkt rozmaitości ma otoczenie, nawet niewielkiego rozmiaru, które jest homeomorficzne z przestrzenią euklidesową . Gdy rozmaitość przestaje być „płaska” – dla punktów rozmaitości bardziej od siebie odległych – to odległości są obliczane wzorami ogólniejszymi. Wyróżnia się rozmaitości: * jednowymiarowe: okręgi, elipsy, parabole i inne krzywe, przy czym nie należą do nich np. lemniskaty, jak lemniskata Bernoulliego (bo mają punkty przecięcia, które nie są lokalnie homeomorficzne z jednowymiarową przestrzenią euklidesową) * dwuwymiarowe: płaszczyzna, sfera, torus i inne powierzchnie; wszystkie te powierzchnie mogą być zanurzone w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej bez spowodowania przecinania się powierzchni samej ze sobą; także butelka Kleina oraz płaszczyzna rzutowa rzeczywista, które będą przecinać się ze sobą, gdy zanurzy się je w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej * wielowymiarowe, np. hiperpowierzchnie w przestrzeni euklidesowej n-wymiarowej (czyli przestrzenie o wymiarze n-1). Rozmaitości przypominają przestrzeń euklidesową w otoczeniu każdego punktu (lokalnie), ale ich globalna struktura może być bardziej skomplikowana. Przykładowo otoczenie dowolnego punktu sfery jest homeomorficzne z płaszczyzną, gdyż można je przekształcić na płaską mapę (co realizuje się np. wykonując mapy geograficzne). Jednakże sfera różni się od płaszczyzny w „wielkiej skali”. Dlatego do odwzorowania sfery na płaszczyznę potrzeba większej liczby map. Mapy te tworzą atlas, analogicznie do atlasu zawierającego mapy geograficzne Ziemi. W ogólnym przypadku rozmaitości lokalnie mają własności przestrzeni euklidesowych wymiaru n (n = 1, 2, 3, 4 itd.), dlatego ich odwzorowanie na przestrzeń euklidesową wymaga map n-wymiarowych. Koncepcja rozmaitości jest kluczowa w wielu gałęziach geometrii i nowoczesnej fizyki matematycznej, ponieważ umożliwia opisanie i rozumienie skomplikowanych struktur za pomocą dobrze poznanych właściwości przestrzeni euklidesowych. Rozmaitości pojawiają się w sposób naturalny jako rozwiązania układów równań oraz jako wykresy funkcji. Rozmaitości mogą posiadać dodatkowe własności: 1. * Rozmaitości różniczkowe – rozmaitości posiadające lokalne układy współrzędnych, zadane za pomocą funkcji -krotnie różniczkowalnych (gdzie ), co umożliwia np. wykonywanie na nich różnego rodzaju różniczkowań i całkowań. 2. * Rozmaitości riemannowskie – rozmaitości różniczkowe uzupełnione o metrykę Riemanna, co pozwala mierzyć na nich odległości i kąty. 3. * Rozmaitości symplektyczne – służą jako przestrzenie fazowe mechaniki klasycznej wyrażonej w formalizmie Hamiltona. 4. * Czterowymiarowe rozmaitości lorentzowskie – są modelami czasoprzestrzeni w ogólnej teorii grawitacji. (pl) In de differentiaalmeetkunde en differentiaaltopologie, deelgebieden van de wiskunde, is een variëteit een topologische ruimte die lokaal, d.w.z. in een voldoend klein gedeelte, op de euclidische (een niet-gekromde) ruimte van een specifieke dimensie lijkt. Een lijn, maar ook een cirkel zijn dus eendimensionale variëteiten, een 8-vormige figuur (zoals de lemniscaat van Bernoulli) niet, want in het dubbelpunt, het punt waar de doorgaande lijn zichzelf snijdt, is er, hoe groot de schaal ook gekozen wordt, d.w.z. hoezeer men ook inzoomt op dit punt, geen gelijkenis met een eendimensionale euclidische ruimte. Een vlak en een sfeer (het oppervlak van een bal) zijn tweedimensionale variëteiten. Kijken we op aarde om ons heen, dan lijkt de aarde vlak en zullen we niet direct opmerken dat de aarde bol is. Ook in willekeurig hogere dimensies bestaan er variëteiten. Meer formeel heeft elk punt van een -dimensionale variëteit een omgeving die homeomorf is met een open deelverzameling van de -dimensionale ruimte . De term 'variëteit' dekt een aantal verschillende begrippen van "gekromde ruimte". Alle definities hebben de volgende filosofie gemeen: Een variëteit is een topologische ruimte die in voldoende kleine omgevingen van elk punt lijkt op de -dimensionale euclidische ruimte, maar die globaal een heel andere structuur kan hebben Hoewel variëteiten in de buurt van elk punt (lokaal) op euclidische ruimten lijken, kan de globale structuur van een variëteit ingewikkelder zijn. Elk punt op het welbekende tweedimensionale boloppervlak wordt bijvoorbeeld omgeven door een cirkelvormig gebied, dat kan worden afgeplat tot een cirkelvormig gebied van het vlak, zoals in een geografische kaart. De sfeer verschilt "in het groot" echter van het vlak: in de taal van de topologie zijn zij niet homeomorf. De structuur van een variëteit is gecodeerd door een collectie van kaarten die samen een atlas vormen, in analogie met een geografische atlas die uit kaarten van het oppervlak van de aarde bestaat. Het "lokaal lijken op" kan verder gepreciseerd worden door bijectieve topologische afbeeldingen, kaarten genaamd, waarvan de samenstelling op de overlappingsgebieden van hun domeinen tot een bepaalde klasse moet behoren. Naargelang de gekozen klasse spreekt men van een topologische variëteit (homeomorfismen), een differentieerbare of gladde variëteit (diffeomorfismen) of een complexe variëteit (complex differentieerbare homeomorfismen). Sommige definities vereisen nog aanvullende structuur, bijvoorbeeld een riemann-variëteit is een gladde variëteit met een positief definiete kwadratische vorm. Het concept van variëteiten staat centraal in veel delen van de meetkunde en de moderne wiskundige natuurkunde, omdat dit concept het toestaat gecompliceerde structuren uit te drukken en te begrijpen in termen van relatief goed begrepen eigenschappen van eenvoudigere ruimten. Een variëteit is bijvoorbeeld typisch uitgerust met een differentieerbare structuur die het toelaat om te differentiëren en te integreren en een riemann-metriek, die het toelaat om afstanden en hoeken te meten. Symplectische variëteiten fungeren binnen de klassieke mechanica als faseruimten in het hamiltonformalisme, terwijl vierdimensionale lorentz-variëteiten de ruimtetijd in de algemene relativiteitstheorie modelleren. De Engelse term manifold (menigvuldigheid) wordt ook in Nederlandse teksten vaak als synoniem van variëteit gebruikt. Voor een algebraïsche variëteit gebruikt het Engels dan weer de term algebraic variety. (nl) In geometria, una varietà è uno spazio topologico che localmente è simile a uno spazio topologico ben conosciuto (ad esempio lo spazio euclideo -dimensionale), ma che globalmente può avere proprietà geometriche differenti (ad esempio può essere "curvo" contrariamente allo spazio euclideo). Le varietà localmente simili alla retta si chiamano curve, mentre quelle localmente simili al piano si chiamano superfici. Le varietà vengono usate in molteplici branche della matematica quali la topologia, l'analisi reale, l'analisi complessa, l'algebra e la geometria algebrica. Le varietà trovano applicazioni in computer grafica e si incontrano spesso in fisica, come ad esempio in meccanica lagrangiana, in meccanica quantistica, in relatività generale e nella teoria delle stringhe. (it) Многообра́зие (топологическое многообразие) — пространство, локально сходное с евклидовым. Евклидово пространство является самым простым примером многообразия. Размерность многообразия определяется по размерности евклидова пространства, с которым оно локально сходно. Более сложным примером может служить поверхность Земли: возможно сделать карту какой-либо области земной поверхности, например, карту полушария, но невозможно составить единую (плоскую и без разрывов) карту всей её поверхности. Исследования многообразий были начаты во второй половине XIX века, они естественно возникли при изучении дифференциальной геометрии и теории групп Ли. Тем не менее первые точные определения были сделаны только в 30-х годах XX века. Обычно рассматриваются так называемые гладкие многообразия, то есть те, на которых есть выделенный класс гладких функций — в таких многообразиях можно говорить о касательных векторах и касательных пространствах. Для того чтобы измерять длины кривых и углы, нужна ещё дополнительная структура — риманова метрика. В классической механике основным многообразием является фазовое пространство. В общей теории относительности четырёхмерное псевдориманово многообразие используется как модель для пространства-времени. (ru) En mångfald (engelska begreppet manifold används ibland) är ett topologiskt rum som i och kring varje punkt liknar ett vanligt, n-dimensionellt euklidiskt rum. Några exempel på tvådimensionella mångfalder är planet, cylindern, sfären (ytan på ett klot) och torusen. Dessa exempel är åskådliga, eftersom vi kan tänka oss föremål av de specificerade formerna. Andra figurer är svårare att föreställa sig, dels för att de kan ha högre dimensioner, dels för att de kan vara, i en matematisk mening, "vikta" på ett sådant sätt att de inte "får plats" i vårt vanliga, tredimensionella rum. Ett exempel härpå är den så kallade Kleinflaskan, som är en tvådimensionell yta. Den är omöjlig att fysiskt tillverka i den tredimensionella rymden, eftersom dess yta alltid skulle komma att skära sig själv. Det betyder att det skulle behövas ett hål i ytan där en annan del av ytan kunde passera. I en fyrdimensionell rymd behövs det inget sådant hål. (sv) Em matemática, uma variedade é um espaço topológico que se parece localmente com um espaço euclidiano nas vizinhanças de cada ponto. Mais precisamente, cada ponto de uma variedade de dimensão n tem uma vizinhança que é homeomorfa ao espaço euclidiano de dimensão n. Nesta terminologia mais precisa, uma variedade é chamada de n-variedade. Variedades unidimensionais incluem as retas e circunferências, mas não as lemniscatas (pois elas possuem pontos de cruzamento). As variedades bidimensionais também são chamadas de superfícies. Os exemplos incluem o plano, a esfera e o toro, que podem ser imersos (formados sem autointerseções) no espaço tridimensional, e também a garrafa de Klein e o plano projetivo real, que sempre terão autointerseções quando imersos no espaço tridimensional real. As variedades são de interesse no estudo da geometria, da topologia, e da análise. As variedades podem ser equipadas com alguma estrutura adicional. Uma classe importante de variedades é a das ; esta estrutura diferenciável permite que o cálculo seja feito sobre variedades. Uma métrica Riemanniana permite que sejam medidas distâncias e ângulos. As variedades simpléticas servem como espaço de fase no formalismo Hamiltoniano da mecânica clássica, enquanto que a variedade lorentziana de dimensão quatro modela o espaço-tempo na relatividade geral. (pt) Многови́д — це об'єкт, який локально має характер евклідового простору розмірності n. (uk) 流形（英語：Manifolds）是可以局部欧几里得空间化的一个拓扑空间，是欧几里得空间中的曲线、曲面等概念的推广。欧几里得空间就是最简单的流形的实例。地球表面这样的球面则是一个稍微复杂的例子。一般的流形可以通过把许多平直的片折弯并粘连而成。 流形在数学中用于描述几何形体，它们为研究形体的可微性提供了一个自然的平台。物理学上，经典力学的相空间和构造广义相对论的时空模型的四维伪黎曼流形都是流形的实例。位形空间中也可以定义流形。环面就是双摆的位形空间。 一般可以把几何形体的拓扑结构看作是完全“柔软”的，因为所有变形（同胚）会保持拓扑结构不变；而把解析几何结构看作是“硬”的，因为整体的结构都是固定的。例如，当一个多项式在 区间的取值确定了，则其在整个实数范围的值都被固定，可见局部的变动会导致全局的变化。光滑流形可以看作是介于两者之间的模型：其无穷小的结构是“硬”的，而整体结构则是“柔软”的。这也许是中文译名“流形”的原因（整体的形态可以流动）。该译名由著名数学家和数学教育学家江泽涵引入。这样，流形的硬度使它能够容纳微分结构，而它的软度使得它可以作为很多需要独立的局部扰动的数学和物理的模型。 (zh)
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dbp:title Manifold (en)
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rdfs:comment Unter einer Mannigfaltigkeit versteht man in der Mathematik einen topologischen Raum, der lokal dem euklidischen Raum gleicht. Global muss die Mannigfaltigkeit jedoch nicht einem euklidischen Raum gleichen (nicht zu ihm homöomorph sein). Mannigfaltigkeiten sind der zentrale Gegenstand der Differentialgeometrie; sie haben bedeutende Anwendungen in der theoretischen Physik. (de) 多様体（たようたい、英: manifold, 独: Mannigfaltigkeit）とは、局所的にユークリッド空間と見なせるような図形や空間（位相空間）のことである。多様体上には好きなところに局所的に座標を描き込むことができる。 (ja) ( 이 문서는 위상수학의 다양체(manifold)에 관한 것입니다. 대수기하학에서 다루는 대상(variety)에 대해서는 대수다양체 문서를, 보편대수학에서 다루는, 대수 구조들의 모임에 대해서는 대수 구조 다양체 문서를 참고하십시오.) 위상수학과 기하학에서 다양체(多樣體, 영어: manifold 매니폴드[*])는 국소적으로 유클리드 공간과 닮은 위상 공간이다. 즉, 국소적으로는 유클리드 공간과 구별할 수 없으나, 대역적으로 독특한 위상수학적 구조를 가질 수 있다. (ko) Многови́д — це об'єкт, який локально має характер евклідового простору розмірності n. (uk) 流形（英語：Manifolds）是可以局部欧几里得空间化的一个拓扑空间，是欧几里得空间中的曲线、曲面等概念的推广。欧几里得空间就是最简单的流形的实例。地球表面这样的球面则是一个稍微复杂的例子。一般的流形可以通过把许多平直的片折弯并粘连而成。 流形在数学中用于描述几何形体，它们为研究形体的可微性提供了一个自然的平台。物理学上，经典力学的相空间和构造广义相对论的时空模型的四维伪黎曼流形都是流形的实例。位形空间中也可以定义流形。环面就是双摆的位形空间。 一般可以把几何形体的拓扑结构看作是完全“柔软”的，因为所有变形（同胚）会保持拓扑结构不变；而把解析几何结构看作是“硬”的，因为整体的结构都是固定的。例如，当一个多项式在 区间的取值确定了，则其在整个实数范围的值都被固定，可见局部的变动会导致全局的变化。光滑流形可以看作是介于两者之间的模型：其无穷小的结构是“硬”的，而整体结构则是“柔软”的。这也许是中文译名“流形”的原因（整体的形态可以流动）。该译名由著名数学家和数学教育学家江泽涵引入。这样，流形的硬度使它能够容纳微分结构，而它的软度使得它可以作为很多需要独立的局部扰动的数学和物理的模型。 (zh) في الرياضيات، متعدد الشعب أو الشتيتة (بالإنجليزية: Manifold) هو فضاء طوبولوجي يشبه الفضاء الإقليدي حول كل نقطة. بشكل أدق، لكل نقطة في متعدد شعب نونيّ -الأبعاد جوار هوميمورفي للفضاء الإقليدي النونيّ الأبعاد. من ضمن متعددات الشعب أحادية البعد الخطوط والدوائر. تسمى متعددات الشعب ثنائية البعد أسطحًا. من أمثلة الأسطح: المستوي، الكرة، والطارة والذين يمكن طمرهم (أي إدراجهم بدالة هوميومورفية) في الفضاء ثلاثي الأبعاد، كما توجد زجاجة كلاين اللذان لا يمكن طمرهم في الفضاء ثلاثي الأبعاد دون التقاطع بنفسهم، ولكن بالإمكان طمرهم في الفضاء الرباعي الأبعاد. (ar) En matemàtiques, més específicament en topologia, una varietat és un espai topològic en el qual tots els punts tenen un veïnat que "s'assembla" (és a dir, és homeomorf) a l'espai euclidià. La dimensió d'una varietat és la dimensió de l'espai euclidià amb què es relaciona: si és amb una recta és unidimensional, amb un pla bidimensional, etc. Encara que una varietat s'assembla a l'espai euclidià localment, l'estructura global de la varietat pot ser molt més complicada. Per exemple, qualsevol punt en una superfície esfèrica té una regió petita que l'envolta que es pot assimilar a una regió del pla (com en un atles del món), tot i que l'esfera no es pot fer correspondre completament al pla: no és homeomorfa al pla. (ca) V matematice je varieta topologický prostor, který je lokálně podobný obecně n-rozměrnému Euklidovskému prostoru, a jsou na něm obvykle definovány tečné vektory. Obvykle se pod slovem varieta rozumí hladká varieta, na rozdíl od algebraické variety. Příkladem jednorozměrné variety je například kružnice – lokálně je podobná jednorozměrnému Euklidovskému prostoru – přímce, ale její topologie je jiná. Kružnici jako varietu označujeme jako . Obdobně např. povrch koule nebo povrch toru jsou příklady dvojrozměrných variet. (cs) Στα μαθηματικά μια πολλαπλότητα ή πολύπτυχο είναι ένας Τοπολογικός χώρος που τοπικά μοιάζει με Ευκλείδειο χώρο κοντά σε κάθε σημείο. Πιο συγκεκριμένα, κάθε σημείο μίας n-διάστατης πολλαπλοτήτας έχει μια γειτονία που είναι ομοιομορφική με ένα ανοιχτό υποσύνολο του n-διάστατου Ευκλείδειου χώρου. (el) En matematiko, sternaĵo estas spaco kiu, en unua plana vido, similas la familiaran spacon de eŭklida geometrio, sed kiu povas havi pli komplikan strukturon kiam vidita entute. Sfero, idealigita versio de la surfaco de la Tero, estas sternaĵo. Loke la Tero aspektas kvazaŭ ĝi estas plata, sed vidita entute ĝi estas ronda. sternaĵo povas esti konstruita per gluado de apartaj eŭklidaj spacoj kune; ekzemple, monda mapo povas esti farita per gluado de multaj mapoj de lokaj regionoj kune. (eo) En matemática, una variedad es el objeto geométrico estándar que generaliza la noción intuitiva de «curva» (1-variedad) y de «superficie» (2-variedad) a cualquier dimensión y sobre cuerpos diversos (no solamente el de los reales, sino también complejos y matriciales). Un poco más formalmente, una variedad de dimensión es un espacio que se parece localmente a . Una variedad puede ser vista como un objeto compuesto de parches -dimensionales pegados topológicamente (ver variedad diferenciable). Una variedad se llama cerrada si no tiene borde y es compacta. (es) In mathematics, a manifold is a topological space that locally resembles Euclidean space near each point. More precisely, an -dimensional manifold, or -manifold for short, is a topological space with the property that each point has a neighborhood that is homeomorphic to an open subset of -dimensional Euclidean space. One-dimensional manifolds include lines and circles, but not lemniscates. Two-dimensional manifolds are also called surfaces. Examples include the plane, the sphere, and the torus, and also the Klein bottle and real projective plane. (en) Dalam matematika, lipatan adalah suatu ruang topologis yang secara lokal menyerupai ruang euklides di dekat setiap titiknya. Lebih tepatnya, setiap titik dalam n-dimensi lipatan memiliki lingkungan yang ke ruang Euklides dimensi n. (in) En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie, la notion de variété peut être appréhendée intuitivement comme la généralisation de la classification qui établit qu'une courbe est une variété de dimension 1 et une surface est une variété de dimension 2. Une variété de dimension n, où n désigne un entier naturel, est un espace topologique localement euclidien, c'est-à-dire dans lequel tout point appartient à une région qui s'apparente à un tel espace. On peut approcher les variétés de deux façons : (fr) In geometria, una varietà è uno spazio topologico che localmente è simile a uno spazio topologico ben conosciuto (ad esempio lo spazio euclideo -dimensionale), ma che globalmente può avere proprietà geometriche differenti (ad esempio può essere "curvo" contrariamente allo spazio euclideo). (it) In de differentiaalmeetkunde en differentiaaltopologie, deelgebieden van de wiskunde, is een variëteit een topologische ruimte die lokaal, d.w.z. in een voldoend klein gedeelte, op de euclidische (een niet-gekromde) ruimte van een specifieke dimensie lijkt. Een lijn, maar ook een cirkel zijn dus eendimensionale variëteiten, een 8-vormige figuur (zoals de lemniscaat van Bernoulli) niet, want in het dubbelpunt, het punt waar de doorgaande lijn zichzelf snijdt, is er, hoe groot de schaal ook gekozen wordt, d.w.z. hoezeer men ook inzoomt op dit punt, geen gelijkenis met een eendimensionale euclidische ruimte. Een vlak en een sfeer (het oppervlak van een bal) zijn tweedimensionale variëteiten. Kijken we op aarde om ons heen, dan lijkt de aarde vlak en zullen we niet direct opmerken dat de aarde (nl) Rozmaitość n-wymiarowa – zbiór punktów, wyposażony w geometrię, która ma lokalnie własności geometrii znanej z przestrzeni rzeczywistej -wymiarowej (przestrzeni euklidesowej). Wyposażenie w geometrię jest kluczowe – oznacza bowiem, że podane zostały wzory na obliczanie odległości między punktami, kątów między prostymi, pól powierzchni itp., przy czym lokalnie odległości między punktami są dane wzorami takimi jak w przestrzeni euklidesowej itd. Rozmaitość jest więc lokalnie identyczna z przestrzenią euklidesową. Lokalność zdefiniowana precyzyjnie oznacza, że każdy punkt rozmaitości ma otoczenie, nawet niewielkiego rozmiaru, które jest homeomorficzne z przestrzenią euklidesową . Gdy rozmaitość przestaje być „płaska” – dla punktów rozmaitości bardziej od siebie odległych – to odległości są ob (pl) Em matemática, uma variedade é um espaço topológico que se parece localmente com um espaço euclidiano nas vizinhanças de cada ponto. Mais precisamente, cada ponto de uma variedade de dimensão n tem uma vizinhança que é homeomorfa ao espaço euclidiano de dimensão n. Nesta terminologia mais precisa, uma variedade é chamada de n-variedade. As variedades são de interesse no estudo da geometria, da topologia, e da análise. (pt) En mångfald (engelska begreppet manifold används ibland) är ett topologiskt rum som i och kring varje punkt liknar ett vanligt, n-dimensionellt euklidiskt rum. Några exempel på tvådimensionella mångfalder är planet, cylindern, sfären (ytan på ett klot) och torusen. (sv) Многообра́зие (топологическое многообразие) — пространство, локально сходное с евклидовым. Евклидово пространство является самым простым примером многообразия. Размерность многообразия определяется по размерности евклидова пространства, с которым оно локально сходно. Более сложным примером может служить поверхность Земли: возможно сделать карту какой-либо области земной поверхности, например, карту полушария, но невозможно составить единую (плоскую и без разрывов) карту всей её поверхности. (ru)
rdfs:label Manifold (en) متعدد شعب (ar) Varietat (matemàtiques) (ca) Varieta (matematika) (cs) Mannigfaltigkeit (de) Πολλαπλότητα (el) Sternaĵo (eo) Variedad (matemáticas) (es) Lipatan (matematika) (in) Varietà (geometria) (it) Variété (géométrie) (fr) 다양체 (ko) 多様体 (ja) Variëteit (wiskunde) (nl) Rozmaitość (pl) Variedade (matemática) (pt) Многообразие (ru) Многовид (uk) Mångfald (matematik) (sv) 流形 (zh)
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